基于模糊多目标规划的出租车补贴模型

基于模糊多目标规划的出租车补贴模型 摘要

出租车“打车难”是当前社会的热点话题，乘客与出租车的供需不匹配也成 为实现他们信息互通的障碍，随着多家公司建立打车软件服务平台，推出多种出 租车补贴方案，出租车和乘客间的供需匹配问题逐渐成为“互联网+”时代的重 要课题之一。本文以上海市为例，通过出租车和乘客供求平衡指标，构建基于模 糊多目标规划和层次分析法的出租车资源供求匹配模型，并设计新的补贴方案，

从而有效缓解“打车难”问题。

针对问题一，首先从苍穹滴滴快的智能出行平台和数据堂网站搜集相关数 据，分析反映出租车资源供需匹配程度的 5 个指标。由于数据存在一定的模糊性，

本文利用连续区间有序加权平均（COWA）算子将相关指标转化为含参变量的实 指标，通过 K 均值聚类模型将上海的出租车分布和乘客需求量进行聚类，并构 建基于空车率、空车总代价、乘客总成本的模糊多目标规划模型，同时，利用基 于 COWA 算子的模糊层次分析法将模糊多目标规划模型转化为单目标规划模 型，结果表明，上海地区呈现供不应求的出租车资源分布状况，并且在上下班高 峰期时间段显得尤为突出。

针对问题二，通过在模糊多目标规划模型中增加补贴方案，重新求解模型，

并分析出租车等待时间、乘客等待时间、空车率的变动，结果表明，适当的补贴 能够在一定程度上提高供求匹配程度，缓解“打车难”的问题；然而一旦超过一 定补贴范围，出租车的供给与乘客的乘车需求匹配程度就会下降。

针对问题三，根据乘客与出租车的距离、单位出租车服务人数、乘车费用、

乘客人数等因素，构建新的补贴方案，并重新求解模糊多目标规划模型，结果表 明，新的补贴方案能有效地缓解“打车难”问题，模型结果也同时验证了补贴方 案的合理性。

最后，本文对所建模型进行了灵敏度分析，并对模型进行了优缺点分析。

关键词：多目标优化；层次分析法；供求匹配；补贴；COWA 算子.

一、问题重述

随着信息技术的飞速发展，出租车已经成为了现代生活出行必不可少的交通 工具，极大的方便了我们的日常生活。过去，乘客用传统的方式在街上寻找空的 出租车，但是在拥堵路段、重要节假日以及上下班高峰期或是遇上恶劣天气时打 车会产生效率低、乘客等待时间长等问题，打车难已经成为国内一二线城市的普 遍现象，也是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，即把 互联网技术与传统产业相结合，不断创新发展，有多家公司依托互联网建立了打 车服务平台。其中有两家占据了手机打车市场 80%以上的份额，他们分别是阿里 巴巴集团的快的打车和腾讯公司的滴滴打车。这些打车软件转变了传统的打车模 式，用户通过打车软件可以便捷地通过手机发布位置信息吸引周边的空车司机，

司机抢单后能及时与司机进行沟通，极大地提高了打车效率。同时为了鼓励司机 和乘客使用这些打车客户端，阿里巴巴和腾讯分别推出了针对司机和针对乘客不 同的补贴方案。打车软件满足了用户和司机的共同需求，降低了出租车的空载率，

提高了乘客的打车率。它们的出现正是满足了人们对市场需求的积极响应，是“互 联网+”时代发展的必然结果。

为了解决打车难这一社会问题并建立良好的市场竞争制度，本文着重通过搜 集相关数据、建立合理的模型来解决下列问题：

问题 1：建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。

问题 2：分析各出租车公司补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。

问题 3：设计一种新的补贴方案，促进新的打车服务平台的创建，并论证其合理 性。

二、 问题分析

针对问题一，为了简化出租车运营系统，我们首先选取上海市 24 小时内出 租车供给量和乘客需求量作为研究目标。然后，我们考虑乘客打车成本、出租车 需求量、运营出租车总量、空车负效用及空车数量等 5 个指标，构建基于空车率、

空车总代价、乘客总成本的模糊多目标规划模型。最后，利用基于 COWA 算子 的模糊层次分析法将模糊多目标规划模型转化为单目标规划模型来反映上海市 不同时空的出租车资源供求匹配程度。

针对问题二，我们选取滴滴快的打车软件公司为代表，将他们自创立以来对 于乘客和司机不同的补贴方案进行分类。将补贴政策实行前后以及补贴金额的不

同时上海市空车数量、空车等待时间以及乘客等待时间进行对比分析，以此来反 映上海市出租车资源供求分布情形。

针对问题三，考虑乘客与出租车的距离、单位出租车服务人数、乘车费用、乘客 人数等因素，就上海市出租车资源供求关系分情况讨论，构建新的补贴方案，使 供求匹配程度达到最大，然后重新求解模糊多目标规划模型。

三、基本假设 假设 1 乘客及出租车司机均能熟练使用打车软件；

假设 2 在某个特定区域内的所有地点出租车都可以到达；

假设 3 出租车司机以及乘客均为经济人，以自身利益最大化为导向；

假设 4 乘客出行均服从Origin Destination (OD)出行需求路线；

假设 5 上海市内的运营的出租车总数量是固定不变的；

假设 6 出租车的行驶路线与乘客的出行需求在特定区域的道路网中是稳定存在 的。

四、符号说明及术语解释

符号 解释说明

I 出租车乘客出发点的集合 J 出租车乘客目的地的集合

 所有 O-D 出行路线的集合

C ijt 从出发地_i到目的地 j 的打车费用，C_ijt [c_ijt^L,c^U_ijt] t^0 出租车司机接单后到达乘客所在地的时间，t₀ [ ,t t₀^L ₀^U]

1

Fijt

乘 客 从 出发 地i到 目 的 地 j 选 择 路 边招 手 打车的 出 行 总支 出 ，

1 1 1

[ ^L, ^U]

ijt ijt ijt

F  f f

2

Fijt

乘 客 从 出发 地i到 目 的 地 j 选 择 使 用打 车 软件的 出 行 总支 出 ，

2 2 2

[ ^L, ^U]

ijt ijt ijt

F  f f

'

S ijt 在出发地_i和目的地 j 之间的载客出租车流量，S_ijt^' [s_ijt^'L,s_ijt^'U]

1

Skit

从 _k 地 区 到 _i 地 区 的 路 上 等 待 接 客 的 空 车 数 量 ，

1 1 1

[ ^L, ^U]

kit kit kit

S  s s (kJ i, I)

2

Skijt

从k地区到i地区使用打车软件寻找到 j 地区乘客的空车数量，

2 2 2

[ ^L, ^U]

kijt kijt kijt

S  s s (kJ i, I j, J)

1

Vkit 从k地区到i地区的路上等待接客的空车的机会成本，V_kit¹ [v¹_kit^L,v¹_kit^U]

2

Vkijt

从k地区到i地区使用打车软件寻找到 j 地区乘客的空车的机会成 本，V_kijt² [v_kijt^2L,v_kijt^2U]

1

Mkt 从_k地区出发路边寻找乘客的空车总数，M_kt¹ [m¹_kt^L,m¹_kt^U]

2

Mkt 从k地区出发使用打车软件寻找乘客的空车总数，M_kt^2L [m_kt^2L,m_kt^2U] (x_qt,y_qt) t 时刻第q类乘客类中心的坐标

(x_pqt,y_pqt)

t 时 刻 第 q类 乘 客 中 第 _p 个 乘 客的 位 置坐 标 ，_x_{pqt [x}^L_pqt,x^U_pqt]， [ ^L , ^U ]

pqt pqt pqt

y  y y

dqst t 时刻第q类乘客类中心到第 s 类出租车类中心的距离 h qt t 时刻第q类乘客的人数，h_qt [h_qt^L,h_qt^U]

ˆ

h qst t 时刻离第q类乘客类中心最近的第 s 类出租车的数量

t^mn 乘客乘车从第 m 类出租车类到第 n 类出租车类的时间，t_mn[t_mn^L ,t_mn^U ] 五、模型建立及求解

由于全国的道路网错综复杂，人口规模大，不便于全面系统的研究全国各地 不同时间的出租车供给量和乘客需求量。因此为了简化出租车运营系统，我们特 意选取了中国大陆经济最发达的城市上海市 9 月 8 日 24 小时内的出租车分布、

打车需求量等数据。为了区分高峰时期与非高峰时期，我们选择 7:00—9:00、

16:00—18:00、20:00—22:00 三个时间段内出租车分布与打车订单的分布情况，

使用K均值聚类算法进行聚类分析。然后以出租车在OD区域内空车数量、空车 的总代价之和、乘客打车总成本之和为指标来衡量上海区域出租车资源的供求关 系，并构建模糊多目标规划模型。为了求解模糊多目标规划模型，将模糊多目标 规划模型转化为模糊单目标规划模型，给出了基于COWA算子的去模糊化处理 方法和模糊权重确定模型，最后通过求解单目标规划模型分析上海市出租车资源 供求匹配程度。

5.1 数据收集

根据苍穹滴滴快的智能数据平台提供的上海地区各个路段每天的打车订单、

出租车分布、抢单时间、出行轨迹、打车难易度的数据，再利用 gooseeker 软件 抓取苍穹数据平台上显示的 24 小时内上海各个路段打车需求量、出租车分布的 数据，然后结合由数据堂网站提供的部分数据，可以得到 9 月 8 日这天上海市各 个地区打车的需求量以及出租车供给量的分布，但因为 GPS 的存在精确度问题，

所以，本文中的打车需求量均用区间数表示。例如：D_ijt¹ 是在[d_ijt^1L,d_ijt^1U]上的区间 数，表示从出发地_i到目的地 j 路边招手打车的出租车需求量。D_ijt² 是在_[dijt^2L_,dijt^2U_] 上的区间数，表示从出发地_i到目的地 j 使用打车软件的出租车需求量。

为了对相关区间指标进行处理，本文利用连续区间有序加权平均（COWA）

算子来进行集成。

定义 5.1.1 COWA算子是与BUM 函数有关的一个映射 F： ^ R^

1 0

( )( ( )

( ) ^{p P L} )

Q

dQ y a y a a dy

F a y

d  







 是一个闭区间且下界为正数， R+是正实数区间，[ ,a a^{L P}]  . ^ 定理 5.1.1 设a[a a^L, ^U] ^，若 ¹

0Q y dy( )





^{为态度参数，则}

( ) (1 ) ^{L U}. F aQ    a a

由定理 4.3.1 可知，F a_Q( _ij)可以看成区间数a的两个端点的凸组合形式。

对于区间数指标，可以利用 COWA 算子将它转化为含参变量的实数形式。

为方便起见，令_0.5。

5.2 基于K均值聚类的不同时空出租车资源供给与需求的匹配

K均值算法以K为参数，将 n 个对象分为K簇，使簇内的数据具有较高的相 似度，而不同簇之间的数据对象之间具有较高的相异度。

由 9 月 8 日上海地区使用滴滴快的软件的乘客需求量与司机供给量数据，我 们将聚类分析方法应用于划分不同地区的乘客与出租车司机，便于了解他们的分 布情况，从而进一步分析不同地区的需求量与供给量之间的联系与区别。同时，

为了区别上班高峰期与非高峰期，我们特意选取了 7:00—9:00、16:00—18:00、

20:00—22:00 这三个时间段内上海地区打车的乘客需求量与出租车供给量数据 进行聚类分析。

Step 1 运用MATLAB进行K均值聚类

根据先验经验，我们不妨假设聚类参数K 5。

(1) 输入K以及 2 个小时内的打车需求量进行K均值聚类分析，输出 5 个簇反映 了上海 5 个地区打车需求量的不同分布

(2) 输入K以及 2 个小时内的出租车供给量进行K均值聚类分析，输出 5 个簇反 映了上海 5 个地区出租车资源供给的不同分布

(3) 画出图像来形象地反映不同区域需求量与供给量的分布，二维图像如下所示：

图 1 7:00—9:00 出租车分布情况 图 2 7:00—9:00 打车订单分布情况

图 3 16:00—18:00 出租车分布情况 图 4 16:00—18:00 打车订单分布情况

图 5 20:00—22:00 出租车分布情况 图 6 20:00—22:00 打车订单分布情况

三维图像如下所示：

图 7 7:00—9:00 出租车分布情况 图 8 7:00—9:00 打车订单分布情况

图 9 16:00—18:00 出租车分布情况 图 10 16:00—18:00 打车订单分布情况

图 11 20:00—22:00 出租车分布情况 图 12 20:00—22:00 打车订单分布情况 Step 2 聚类结果分析

(1) 我们将图 1-图 6 中的 6 个图聚类的结果与上海市地图匹配，可以将上海市划 分为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ一共五个地区。区域Ⅰ代表了上海西北部地区包括 嘉定区和青浦区以及崇明县，区域Ⅱ代表了上海北部地区如宝山区，区域Ⅲ代表 了上海市中心区域，包括徐汇区、静安区等地，区域Ⅳ代表了上海东部地区如浦 东新区，区域Ⅴ代表了上海南部地区。

(2) 从图 2 中 7:00—9:00 出租车分布情况的聚类图可以很容易的看出出租车的分 布比较集中，而且呈现出多数集中于市中心的这一分布特点。而同一时间段 7:00—9:00 打车订单分布的聚类图则较为分散，分布在上海市各个地区。从 16:00—18:00 出租车分布情况的聚类图可以看出出租车的分布也是较为集中，而 同一时间段 16:00—18:00 打车的订单分布情况的聚类图则呈现出较为分散的特 点。同理，从 20:00—22:00 出租车分布情况的聚类图可以看出出租车的分布相对 于上下班高峰期 7:00—9:00 和 16:00—18:00 这两个时间段的出租车分布则呈现 出相对分散的特点，而同一时间段内打车订单的分布也呈现出分散的特点，但我

们还是会发现这一时间段打车订单的分布还是比出租车的分布更为分散。

(3) 从图 7-图 12 的三维聚类图中我们可以很清楚的看到数量的分布以及集中趋 势，但是由于坐标轴尺度的不同，直观的数量对比存在一定的误差。因为在出租 车分布图中 z 轴的坐标范围大致为[0,700],在打车订单分布图中 z 轴的坐标范围大 致在[0，1000]区域内，所以从这点我们也可以看出上海市在上下班高峰期出租 车资源处于供不应求的状态。另外，从图 8-图 13 的三组三维图片对比中我们也 不难发现打车订单的分布较出租车分布更为分散，在一些远离市中心的地区打车 的需求量也很多然而出租车的分布却很少。

(4) 很显然，从以上的分析中我们得知这样的出租车分布必然会导致 7:00-9:00，

16:00-18:00，20:00-22:00 这三个时间段内上海市出租车资源供求不匹配。另外从 这三个时间段内的打车订单数与出租车的分布之间的不均衡也影射出整个上海 市出租车资源供求不平衡的现状。

5.3 问题一的分析与求解 5.3.1 基本分析

问题一中要求建立合理的指标，并运用指标对不同时空的出租车资源供求匹 配程度进行分析。

随着人民生活水平的提高，信息技术的飞跃式发展，人们通常会选择打出租 车的方式来减少他们自己认为的出行成本，所以我们将出行的乘客划分为使用打 车软件按照传统模式打车的和使用打车软件“叫车”的两部分。

我们假定有一个稳定的上海的道路网，在上海市交通区域内运营的出租车数 量是固定不变的，而乘客的行程服从_OD出行需求，并且出租车的行驶路线与 乘客的出行需求在上海市道路网中是稳定存在的。首先我们应该找到供需平衡下 的平衡点，即所有出行乘客的需求量与运营的出租车的供给量相等，考虑并分析 有哪些变量可以影响或衡量出租车资源的供给量、需求量以及供求匹配程度。从 乘客的角度出发，乘客的车费、等待的时间和乘车时间都可以影响到乘客对于出 租车的需求。车费越高、等待时间与乘车时间越长，乘客对于出租车的需求越低，

由于时间无法量化，我们运用了价值转换系数a t b和  将乘客的等待时间和 乘车时间转换为一种和车费一样的成本。考虑到时间具有价值且随着等车时间的

延长，时间的价值越大，我们用一次线性函数作为一种刻画价值的刻度。同时乘 车时间是必须要付出的，所以我们用常数 作为转换系数。从出租车的角度出发，

出租车的空车率以及空车等待时间都可以来衡量出租车的供给量，空车率越高，

空车等待时间越长就可以反映出租车供给的剩余缺口越大。由于模型中假定上海 市出租车总量为_N且固定不变，所以空车率可以用空车的总数与_N 的比值来衡 量。针对空车的等待时间可以跟乘客乘车时间做同样的处理，用常数 来把时间 转化成空车等待的代价。针对这三个指标，我们运用了模型 1 里的基于 C OWA 算子的模糊权重确定模型来确定三个指标的相对重要性权重，最后构造出一个总 指标来衡量上海市出租车资源匹配程度。

5.3.2 建立指标 (1)乘客打车成本

在所有OD路线的集合里从出发点i到目的地 j ，乘客使用打车软件与不使 用打车软件在街上打车的全程费用，分别用F_ijt¹ 和F_ijt²表示成如下形式：

F F_Q( _ijt¹)F C_Q(_ijt) ( a t b)T_i¹t_ij， ( , )i j   (1)

2 2

( ) ( ) ( ) ( ( ))+0 ( )

Q ijt Q ijt ij Q ij ij

F F F C  a t b  T F t t g t ,( , )i j   (2) 其中_{a t b}和 分别是乘客等待出租车和在出租车上所花费时间的价值系数；

更精确地说，T_i¹表示_i地区乘客选择路边招手打车的平均等车时间，T_ij²表示出租 车司机通过打车软件确认服务之前所需要的时间，即出租车司机的抢单时间；t^₀ 表示出租车司机通过打车软件确认服务之后到他到达乘客所在位置所需的时间。

ij( )

g t 表示打车软件对乘客的补贴。

上述方程意味着乘客的全程费用由乘坐出租车的费用、候车时间成本和在出租车 上所花费的时间成本构成。

(2) 出租车需求量

乘客通过打车软件叫出租车从出发地_iI到达目的地 j J 的概率可以通过 Logit 模型计算得出：

2 2 1

1 2 1 2

1 1

( ) exp( ( ))

( ) ( ) exp( ( )) exp( ( ))

Q ijt Q ijt

Q ijt Q ijt Q ijt Q ijt

F D F F

F D F D F F F F



 

 

   

 

    ， ( , ) i j   . (3)

易见 是一个非负参数。₁ D_ijt¹ 和D_ijt² 表示乘客在两种打车方式下对出租车的需求，

从单个乘客的角度看， 的值反映了乘客的出租车需求及出租车服务的不确定₁ 性程度。

由上述说明知：F D_Q( _ijt¹ )F (_Q D_ijt²)F R_Q(_ijt)，则使用打车软件与不使用打车 软件时的出租车需求量分别为：

1 1

0 1

2 1

1 1

( ) exp{ ( ( ) ( ) )}

( ) ,

exp{ ( ( ) ( ) )} exp{ ( ( ) ( )( ( )) ( ))}

Q ijt Q ijt ij

Q ijt

Q ijt i

i

i j Q ijt ij Q ij ij

F R F C a t b t

F D F C a t b t F C a t b F t t g t

T

T T

 

   

      

              



 

  

( , )i j

   (4)

1 0

2

2

2 0 1

1 1

( ) exp{ ( ( ) ( )( ( ))+ ( ))}

( ) ,

exp{ ( ( ) ( ) )} exp{ ( ( ) ( )( ( ))+ t ( ))}

Q ijt Q ijt Q ij ij

Q ijt

Q ijt

ij

ij Q ijt Q ij ij

i ij

F R F C a t b F t t g t

F D F C

T

T T

a t b t F C a t b F t g t

 

   

      

             



 

   

( , )i j

   (5) (3) 运营出租车总量

考虑在一个固定的出租车总量为_N 状态下的一个单位周期内，所有出租车

载客的时间为 ^'

,

( )

Q ijt ij i j

F S t





^{ ，S 为在出发地ijt' i}和目的地 j 之间的载客出租车流 量。出租车司机可以利用打车软件得到附近需要搭乘的乘客信息。不失一般性，

我们假设在打车软件的使用中，某个地区乘客的乘车请求信息只发送到同一地区 流通的出租车。因此，未被占用的出租车总时间为：

1 2

0

, ,(

1 2

, )

( )( ) ( )( ( ))

Q kit ki Q kijt ki Q

i I k J k J

i ij

i j

F S t w F S t w F t

   

   



^



^{ }

即总的未被占用的出租车时间包括从上一个乘客的目的地到下一个乘客的出发 地的时间以及遇见下一个客户之前等待的时间。考虑到载客和空车行驶的时间总 和应等于总的出租车服务时间，因此，对所考虑的一个单位周期_N ，我们有下 面的出租车服务时间条件：

1

' 1 2

0

, , ,(

2 , )

( ) { ( ) ( ) ( )( ( ))}

Q ijt ij Q kit ki Q kijt ki Q

i j i I k J k J i j

i ij

F S t F S t w F S t w F t N

    

      



^



^



^{ }

(6) (4) 空车负效用

一旦成为空车状态，出租车将决定在何处以及如何寻找他们的下一个乘客来尽量 减少他们的空车负效用，这个负效用取决于空车时间和负的净营收。具体来说，

我们通过以下函数来表示空车司机耗费的时间成本以及负的净营收（此处的净营 收是一个机会成本概念，即为如果出租车处于载客状态应该得到的营业收入）：

F V_Q(_kit¹ ) F C_Q(_it)(w_i¹t_ki F t_Q( ))_i^' F y_Q( ),_i^'  k J i,  (7) I

2 2

( ) ( ) ( ( ))0 ( ),

Q kijt Q ijt wij ki ij Q j ij

F V  F C  t t F t y  f t  k J i j, ( , )  (8) 其中C 表示出租车收入平均值： _ijt

1 ,( , )

1 ,( , )

( ) ( )

( )

( )

Q ijt Q ijt

j i j

Q ijt

Q ijt

j i j

F C F D

F C F D











 

 

'

ti表示占据出租车在i地区寻找乘客的时间：

1 ,( , )

'

1 ,( , )

( )

( ) ( )

ij Q ijt j i j

Q i

Q ijt

j i j

t F D

F t F D













 

'

yi是空车司机在i地区接客所放弃的其他地区的平均收益，表示为：

1 ,( , )

'

1 ,( , )

( )

( ) ( )

j Q ijt

j i j

Q i

Q ijt

j i j

y F D F y

F D















yj为空车司机在 j 地区通过打车软件到其他地区接客所放弃的在 j 地区的收益。

鉴于上述负效用函数，空车司机选择去哪里寻求下一个乘客的决定是由在街道上 搜索下一个乘客和通过打车软件之间的选择所决定的。此外，由于出租车司机他 们性格各异和所获取的信息不同，他们的空车负效用值往往有所不同，因此我们 假定空车司机的选择行为可以通过分层 Logit 模型来确定。

(5) 空车数量

我们用 ^{2 2 1 1}

2 4 2 3

1 1 1 1

( )(ln ( ) 1) ( )(ln ( ) 1)

Q kt Q kt Q kt Q kt

k J k J

F M F M F M F M

   

 

 

 

      

 

   



^{ }



^{ }

来表示使用打车软件与不使用打车软件的空车数量之和。

图 13 空车的分层选择模型

使用打车软件的空车通过打车软件寻找到在i区域的乘客并将其载到 j 区域，而 不使用打车软件的空车只能不断在i区域寻找乘客。

设M¹_kt^为从k地区出发在街道上寻找乘客的空车总数，M_kt² 则表示从k^{地区出发使用} 打车软件寻找乘客的空车总数。基于上述定义，对于M¹_kt和M_kt²我们有下列等式：

_Q( ¹_kt) _Q( ¹_kit),

i I

F M F S







^

  k J (9) ^{2 2}

( , )

( ) ( ),

Q kt Q kijt

i j

F M F S







^

  k J (10) ^{' 1 2}

,( , )

( ijt) ( ) ( ),

Q Q kt Q kt

i i k

F S F M F M



 



^{   k J} (11) (11) 式表明对于给定的一小时，出租车在某一特定区域内完成的服务数量应该等 于空车从该区域离开的数目。

从k地区出发的空车司机通过打车软件寻找下一个乘客的可能性通过 Logit 模型给出：

2 2

2

1 2 2 1

2 2

( ) exp( ( ))

( ) ( ) exp( ( )) exp( ( )),

Q kt Q kt

Q kt Q kt Q kt Q kt

F M F H

F M F M F H F H



 

 

   

 

     k J (12) 考虑从_k地区出发的空车司机选择在街道上寻找下一个乘客，则该司机选择_i地 区来寻找乘客的可能性可表示为：

1 1

3

1 1

3

( ) exp( ( )) ( ) exp( ( )),

Q kit Q kit

Q kt Q kit

i I

F S F V

F M F V







 





 

   i I (13) 考虑从k地区出发的空车司机选择使用打车软件寻找下一个乘客，则该司机驱车 前往i地区等待到 j 地区乘客的可能性可表示为：

2 2

4

2 2

4 ( , )

( ) exp( ( )) ( ) exp( ( )),

Q kijt Q kijt

Q kt Q kijt

i j

F S F V

F M F V







 





 

  ( , )i j   (14)

其中 为上层 Logit 模型的分散系数；₂  和₄  分别为下层 Logit 模型中出租车司₃ 机选择使用打车软件与不使用打车软件的分散系数。在 (12) 式中，引入H¹_kt描述 从k地区出发的空车司机选择在街道上寻找乘客的负效用，在这里我们运用信息 熵的形式来表示这种负效应。信息熵的形式可以很好的反映出整体效率，对于离

散型随机变量 X，设其分布为 ^{1 2}

1 2

( ) ...

n n

x x x X

P X p p p

 

 

  

 

   

，

1

1

0 1, 1

n

i i

i

p p





 





X 的信息熵则可定义为“加权平均信息熵”，

1 1

1

ln

n

n i i

i

H p p







 



所以这种负效用的表达式为：

1 1

3 3

( ) (1 ) ln exp( ( )),

Q kt Q kit

i

F H  F V

  





 

同时引入H_kt²描述从_k地区出发的空车司机选择使用打车软件寻找乘客的负效 用，表达式为：

2 2

4 ( , )

4

( ) ( 1 ) ln exp( ( )),

Q kt Q kijt

i j

F H  F V

 

 





 

注意到分层 Logit 模型的一致性使得分散系数必须满足₃₂且₄ ₂。在一 个动态平衡系统中，空车的移动应与所有地区的出租车需求相符，无论乘客选择 何种打车方式，每个乘客在等待足够时间后都能够得到服务，即

^{1 1}

,( , )

( ) ( ),

Q kit Q ijt

k J j i j

F S F D

 



^ 



^{  i I} (15) _Q( _kijt² ) _Q( _ijt²),

k J

F S F D





^  ^{ ( , )i j}   (16)

考虑在街道上乘客和出租车司机的相互需求，在 Cobb Douglas 型生产函数的基 础上建立等车时间函数如下：

1 2

1 1

1

1 1

1 1 1 1

,( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ,

Q i i Q ijt Q kit i

j i j k J

F T P F D F S w

 

 



 



 

   

    

 









^

   i I (17)

式中 、₁  为按照未接受服务的乘客数量和空车数量得到的相遇概率弹性系数。₂ 易见0₁ 且1 0₂  ；1 P 为_i i地区的参数。

特别地，当₁₂  时，1 ( ¹) ¹_{1 1} , ( )

Q i

Q kit i i

k J

F T F S w P







 

一般来说，很难有充足时间等待乘客与出租车司机自然相遇，更进一步地说，使 用打车软件增大了双方相遇的可能性。类似地，我们得到在使用打车软件的情况 下出租车司机的抢单时间函数：

 

2

1 1

1 1

1 1

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ,

Q ij Q ijt Q kijt ij

k J

F T P F D F S w



 

 

 





 

  





^ 

  ( , )i j   (18)

其中 P 表示通过打车软件双方相遇的概率系数。

假定每位乘客与出租车司机是相互独立的，并且没有市场调节机制的影响，则出 租车市场达到服务供给与服务需求相匹配的静止平衡状态：

F S_Q(_ijt^' )F D_Q( _ijt¹ )F D_Q(_ijt²), ( , )i j   (19)

5.3.3 模型建立

定义集合Y{(..., D ,..., D ,...)| D_ijt¹ ²_ijt ¹_ijtD_ijt² R_ijt, ( , )i j  ; D , D¹_ijt _ijt² 0}，任取

1 2

(..., D ,..., D ,...)_ijt _ijt Y，考虑目标函数：

2 2 1 1

1

2 4 2 3

1 1 1 1

min _Q( ) _Q( _kt)(ln _Q( _kt 1) _Q( _kt)(ln _Q( _kt 1),

k J k J

F z F M F M F M F M

   

 

 

 

         

   



^{ }



^{ }



z1是以上文中叙述的信息熵形式表示的使用打车软件与不使用打车软件时的空 车数量之和。一般而言，当OD区域内总的空车数量最少时，供需就会达到一 个相对的平衡状态。

2 2 1 1

2

( . ) , 4 i I, 3

1 1

min _Q( ) _Q( _kijt)(ln _Q( _kijt 1) _Q( _kit)(ln _Q( _kit 1),

i j k J k J

F z F S F S F S F S

 

   





^{ }  



^{ } 



z2是使用打车软件与不使用打车软件时对于空车司机而言的空车代价之和，这里 的空车代价是指空车的负收益（即前文中提出的机会成本）以及用空车等待时间

衡量的一种时间价值，（7）式与（8）式中我们使用了价值系数 来把空车时间 转换成价值。这个指标对于整体目标——供求匹配程度来说自然是越小越好。

2 1 ' '

3 0

( , ) ,k J ,

1 1 2 1

( , ) 5 ( , ) 6

min ( ) ( )[ ( ) ( ( )) ] ( )[ ( ) ( ( )) ( )]

1 1

( ) ln( ( )-1) ( ) ln( ( ) 1),

Q Q kijt Q ijt ki ij Q j Q kit Q it ki Q i Q i

i j k J i I

Q ijt Q ijt Q ijt Q ijt

i j i j

F z F S F C t t F t y F S F C t F t F y

F F F F F F F F

 

 

   

 

          

  

 

 

     



   

z3是使用打车软件与不使用打车软件时对于乘客而言的总成本之和，这里的总成 本包括打车的费用，乘客候车时间的价值以及乘客坐在出租车上到达目的地的时 间价值之和。由（1）式与（2）式中的价值转换系数a t b和 ，我们可以把 乘客的等待时间转换为成本。乘客打车的总成本越小，供求匹配程度越大。

为了求解多目标规划问题，本文提出基于 COWA 算子的权重确定模型，将多目 标规划转化为单目标规划。

定义 5.3.1 若矩阵A(a_{ij n n}) _ ，a_ij [a a_ij^L, _ij^U],则称A为区间数判断矩阵。

定义 5.3.2 若区间数判断矩阵A(a_{ij n n}) _ 满足a_ij^La^U_ji a_ij^Ua_ji^L  , 1 i j, N.

U L 0.5

ii ii

a a  ,iN，则称A为区间数互补判断矩阵。

基于算子的权重确定模型：

Step1 设Y {Y Y1, 2, 3Y }为决策指标集，决策者给出的决策矩阵为区间数互补判 断矩阵^A=

 

^{aij 3 3 aij [a aijL, ijU]，aji [a aLji, Uji],}

L U U L 1

ij ji ij ji

a a a a  ，a^U_ij a^L_ji 0,a^U_ii a_ii^L 0.5, ,i jN. Step2 根据 COWA 算子，得到^{F AQ( ) FQ}

 

^aij _{3 3} ^，这里

( ) ([ ^L, ^U]) (1 ) ^{L U}

Q ij Q ij ij ij ij

F a F a a   a a

( ) (1 ) ^{L U},

Q ji ji ji

F a   a a i j

 为BUM函数， ¹

0Q y dy( )





^{为态度参数。}

Step3 由

 

 

3

1

i 3 3

1 1

,

Q ij

j

Q ij

i j

F a w

F a



 













, i=1,2,3



^5.1



计算第i个指标的相对重要性权重

考虑上述三个指标——空载率、空车的等待代价、乘客的打车成本，构建区间数 互补判断矩阵：

[0.5, 0.5] [0.7, 0.8] [0.6, 0.8]

[0.2, 0.3] [0.5, 0.5] [0.3, 0.4]

[0.2, 0.4] [0.6, 0.7] [0.5, 0.5]

 

 

 

 

 

，

由



^5.1



计算需集成的各个指标的相对重要性权重如下：

([0.3673, 0.5122],[0.2041, 0.2927],[0.2653, 0.3902])

w  .

故可建立约束条件求解使供求匹配程度达到最大的时候的空车的数量、出租车等 待时间以及乘客候车时间的单目标优化模型

1 1 2 2 3 3

minF z_Q( ) min(w F z_Q( ) w F z_Q( ) w F z_Q( )) 约束条件为

(9), (10), (15), (16)

^{1 2}



^{1 2}



,( , )

( ) ( ) ( ) ( ) ,

Q kt Q kt Q ikt Q ikt

i i k

F M F M F D F D



 





     k J (20)

式 (20) 由式 (11) 和式 (19) 得到。注意到当(..., D ,..., D ,...)¹_ijt ²_ijt 固定不变，C 和 _it

'

ti为定值。由于₃₂且₄ ₂，故目标函数为凸线性规划函数。则约束条件 改为：

(9), (10), (15), (16), (20)

¹

2 3

1 1

lnF M_Q( _kt) m_k r_k 0,

 

 

   

 

 

  k J (21)

²

2 4

1 1

lnF M_Q( _kt) n_k r_k 0,

 

 

   

 

 

  k J (22)

2

0 4

1 lnF S_Q( _kijt) [ F C_Q( _ijt) (t_ki t_ij F t_Q( )) y_j] q_ij n_k 0,

              k J i j, ( , )  (23)

^{1 ' '}

3

1 lnF S_Q( _kit) [ F C_Q( _it) (t_ki F t_Q( ))_i F y_Q( )]_i p_i m_k 0,

              k J i,  I (24)

其中m 为约束_k (9) 的拉格朗日乘子，n 为约束_k (10) 的拉格朗日乘子，p 为约束_i (15) 的拉格朗日乘子，q_ij为约束 (16) 的拉格朗日乘子，r 为约束_k (20) 的拉格朗日 乘子。

5.3.4 模型求解 Step1 指标分析

首先，我们构造了 3 个指标——出租车在OD区域内空车率、空车的总代价、

乘客的总成本为指标来衡量上海区域出租车资源的供求关系。而由 4.4.2 的模型 准备过程中空车率使用空车的数量与运营出租车的总量 N 的比值来确定的，而 空车的总代价是以出租车的等待时间为自变量构造的函数得出的，乘客的总成本 也是以乘客的等待时间为自变量建立的函数得出的。所以在下文的供求关系分析 中，我们直接以空车率、空车等待时间、乘客等待时间为指标来衡量 24 小时内 上海市 5 个区域的供求匹配程度。

Step2 结果分析

为了能更直观形象用指标分析供求匹配程度，我们用图片的形式将模型结果表现 出来，结果如下图：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

时间

乘客平均等待时间/min

区域1 区域2 区域3 区域4 区域5

图 14 各区域乘客 24 小时内平均等待时间分布

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

时间

车平均等待时间/min

区域1 区域2 区域3 区域4 区域5

图 15 各区域空车 24 小时平均等待时间

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0.2

0.25 0.3 0.35 0.4

时间

空车率

区域1 区域2 区域3 区域4 区域5

图 16 各区域 24 小时内的空车率

（1）基于乘客平均等待时间这一指标，从图 14 可以看出在不同时空有着不同的

乘客平均等待时间。其中区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ在 7:00-9:00 这段时间内乘 客平均等待时间逐渐减大，这说明了出租车资源的供求匹配程度相对也越来越 低；在 16:00-18:00 这段时间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的乘客平均等待时间 逐渐减小，其中区域Ⅰ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的乘客平均等待时间变化速率相对较快，

总体上反映出出租车资源的供求匹配相对也越来越均衡；在 20:00-22:00 这段时 间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的乘客平均等待时间整体上是区域逐渐增大的，

这说明了出租车资源供求匹配程度逐渐在减小。

（2）基于出租车平均等待时间这一指标，从图 15 可以看出在不同时空有着不同 的出租车平均等待时间。在 7:00-9:00 这段时间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的 出租车平均等待时间逐渐减小，这说明了出租车资源的供求匹配程度相对越来越 高；在 16:00-18:00 这段时间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ与 7:00-9:00 这一时 间段内的出租车平均等待时间有着相同的变化趋势，这说明了出租车资源的供求 匹配程度相对越来越高；区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ在 20:00-22:00 出租车的平 均等待时间逐渐增大，这反映出出租车资源供求匹配程度逐渐在减小。

（3）基于出租车空车率这一指标，从图 16 可以看出在不同时空有着不同出租车 空车率。在 7:00-9:00 这段时间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的出租车空车率逐 渐减小，这说明了出租车资源的供求匹配程度相对越来越高；在 16:00-18:00 这 段时间内区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ的出租车空车率的变化趋势是逐渐减小，

这说明了出租车资源的供求匹配程度相对越来越高；区域Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ、 Ⅴ 在 20:00-22:00 出租车的空车率逐渐增大，这反映出出租车资源供求匹配程度逐 渐在减小。

（4）基于上面的分析，我们发现——在不同的时间内，这三项指标在不同的时 空的变化趋势基本上是相同的。这也更加说明了乘客平均等待时间、出租车平均 等待时间、出租车空车率这三个指标的有效性，即它们都能够很好的衡量出租车 资源供求匹配程度的高低。

5.4 针对问题二的分析与求解 5.4.1 问题分析

问题二中要求分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。

为了打破传统打车方式的市场格局和限制，近年来，中国手机打车软件市场 逐步兴起，尤其在前两年，手机打车软件的使用呈爆发式增长，软件的覆盖领域