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單元 _28: 對數函數的導函數

( 課本 x 4.5)

一_. 自然對數函數的導函數

因為 _e^x 與 _{ln x} 互為反函數_, 故對於 _{x > 0,} e^{ln x} = x

將兩邊對 _x 微分_, 得 d

dx[e^{ln x}] = d

dx[x] (1)

接著_, 根據自然指數函數的導函數公式 d

dx[e^u] = e^u
du dx 由 ₍₁₎ 式_, 得

e^{ln x}
d

dx[ln x] = 1 亦相當於

x
d

dx[ln x] = 1 故_, 兩邊同除 _x, 得

d

dx[ln x] = 1

x (2)

又設 _u 為 _x 的可微函數_, 則根據連鎖法則及 ₍₂₎ 式_, 得 d

dx[ln u] = d

du[ln u]
du dx

= 1

u
du dx

= 1 u
u⁰

結論 _:

(1) 對於自然對數函數_, d

dx[ln x] = 1 x

亦即_, 自然對數的導函數就是自變數的倒數_.

(2) 對於自然對數函數與可微函數的合成函數_, d

dx[ln u] = 1

u
du

dx = 1 u
u⁰

亦即_, 自然對數合成函數的導函數就是內部函數的倒 數乘以內部函數的導函數_.

例 _1.

(a) f(x) = ln(2x² + 4)

(b) g(x) = x ln x

(c) h(x) = ln ^p3x + 1

(d) k(x) = ln

2

64x(x² + 1)²

q2x³ + 1

3 75

<解_{> (a)} 因為 _f 為自然對數函數的合成函數_, 故根據 上述結論 ₍₂₎ 的公式_, 得

f⁰(x) = 1

2x² + 4
(2x² + 4)⁰

= 4x

2x² + 4

(b) 根據乘積法則以及自然對數函數的導函數公式_, 得 g⁰(x) = (x)⁰ ln x + x(ln x)⁰

= (1) ln x + x ^1 x



= ln x + 1

(c) 首先_, 根據對數律將 _h 改寫為 h(x) = ln(3x + 1)¹⁼² = 1

2 ln(3x + 1)

如此可避免直接微分時_, 會用到較複雜的廣義冪次法則以 及化簡過程_.

接著_, 根據純量乘積法則以及自然對數合成函數的導函數 公式_, 得

h⁰(x) = 1

2
1

3x + 1
(3x + 1)⁰

= 3

2(3x + 1) (d) 首先_, 根據對數律改寫_, 得

k(x) = ln[x(x² + 1)²] ln(2x³ + 1)¹⁼²

= ln x + 2 ln(x² + 1) 1

2 ln(2x³ + 1) 因此_, 逐項微分並根據自然指數函數的導函數公式_, 得

k⁰(x) = 1

x + 2
1

x² + 1(x² + 1)⁰ 1

2
1

2x³ + 1
(2x³ + 1)⁰

= 1 x

4x x² + 1

3x² 2x³ + 1

註 _.

例 _2.

f(x) = x² ln x 的圖形_.

<解_> 首先_, 函數 _f 的定義域為 _{x > 0,} 因為 _f 的組成 部份 _{ln x} 的定義域為 _{x > 0.}

(i) 當 _x 由右任意靠近 ₀ 時_,

x!0lim⁺ f(x) = lim

x!0⁺(x² ln x)

= 0 ln 0⁺

= 0 ( 1) = 1 故_, 根據定義_, 得

x = 0 為一垂直漸近線_.

(ii) 求相對極值_. 根據自然對數函數的導函數公式_, 對 _x 微分並化簡_, 得

f⁰(x) = 2x 1

x = 2x² 1 x 第一類臨界數_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於分子

2x² 1 = 0 得

x² = 1 2 故_,

x = p1

2 (負不合₎ 因為定義域為 _{x > 0.}

無第二類臨界數_, 因為 _f⁰ 在 _f 的定義域 _{x > 0} 上恆定 義_.

驗證_: 根據所得的一個臨界數_, 得二個子區間以及 _f⁰ 在 每個子區間的符號_, 如下述及圖示_.

0; ^p1₂^: f⁰ = ₍₊₎^{( )} = ( ), 遞減_.

p1

2; 1^: f⁰ = ⁽⁺⁾₍₊₎ = (+), 遞增_. 故_{, f} 在 _{x = p}¹

2 有相對極小值_, 亦為絕對最小值_, f p1

2

!

= p1 2

!₂

ln p1 2

!

= 1

2 ln 1 + 1

2 ln 2

= 1

2 + 1

2 ln 2 其中第三個等號成立乃因為

ln 1 = 0 所致_.

(iii) 求反曲點_. 再對 _x 微分_, 得 f⁰⁰(x) = 2 + 1

x²

因為在 _f 的定義域 _{x > 0} 上_{, f}⁰⁰ 恆定義且為正_, 故無 第一類及第二類反曲候選點_, 而無反曲點_. 又 _f⁰⁰ 恆為正_, 故 _f 恆為上凹_.

(iv) 描點與連結_. 描出所求得的絕對最小值_, 繪出垂直漸 近線 _{x = 0,} 並將 _f⁰ 與 _f⁰⁰ 的符號分別標記在 _x 軸的

上方與下方_, 再逐次地由左至右_, 在每個子區間上_, 根據遞 增遞減性以及凹性_, 繪出對應的曲線_, 並連結所描出的點_, 如下述及圖示_.

0; ^p1₂^: f⁰ = ( ), f⁰⁰ = (+), 遞減且上凹_.

p1

2; 1^: f⁰ = (+), f⁰⁰ = (+), 遞增且上凹_. 因此_, 得 _f 的圖形_, 如圖示_.

二_. 其它底數的指數與對數函數 設 _{a > 0} 且 _{a 6= 1.}

指數函數

a^x

為一對一函數_, 故有反函數_, 並稱此反函數為_, 以 _a 為底 數的對數函數_, 且表示成

log_a x 亦即_,

log_a x = b , a^b = x

如圖示_.

(i) 性質_. 根據 _a^x 與 _{loga x} 互為反函數_, 得

(1) 對於 _{x > 0,}

a^logax = x

(2) 對於 1 < x < 1,

log_a a^x = x

例如_,

log₂ 8 = log₂ 2³ = 3 且

log₁₀ ^ 1 10



= log₁₀ 10 ¹

= 1

以及

log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4

(ii) 換底公式_. 將底數 _a 換成底數 _e 公式為

(1) 指數函數_:

a^x = e^{(ln a)x}

(2) 對數函數_:

log_a x = ln x ln a

為何如此_? 根據 _e^x 與 _{ln x} 互為反函數_, 故先取對數再 取指數_, 可相互抵銷_, 得

a^x = e^{ln ax} 再根據對數律化簡上式的等號右邊_, 得

a^x = e^{x ln a} = e^{(ln a)x} 如所求_.

根據 _a^x 與 _{loga x} 互為反函數_, 得 a^logax = x

將上式兩邊同取 _ln, 並根據對數律化簡_, 得 ln x = ln a^logax

= (log_a x) ln a

最後_, 將上式兩邊同除 _{ln a,} 得

log_a x = ln x ln a 如所求_.

例如_,

log₂ 3 = ln 3

ln 2  1:585 且

log₃ 6 = ln 6

ln 3  1:631 以及

log₁₆ 0:25 = ln 0:25 ln 16

= ln 2 ²

ln 2⁴ = 2 ln 2

4 ln 2 = 1 2 三_. 一般指數與對數函數的導函數

設 _u 為 _x 的可微函數_, 以及 _{a > 0} 且 _{a 6= 1,} 則 (1) 底數為 _a 的指數函數_:

d

dx[a^x] = (ln a)a^x

且

d

dx[a^u] = (ln a)a^u
du dx

亦即_, 指數函數的導函數還是有一項為函數本身_, 但 要乘上 _{ln a;} 若為合成函數_, 則需再乘上內部函數的 導函數 _u⁰_.

(2) 底數為 _a 的對數函數_: d

dx[log_a x] = ^ 1 ln a

 1 x 且

d

dx[log_a u] = ^ 1 ln a

 1

u
du dx

亦即_, 對數函數的導函數還是有一項為倒數_, 但要除 上 _{ln a;} 若為合成函數_, 則需再乘上內部函數的導函 數 _u⁰_.

為何如此_?

(1) 首先_, 根據指數函數的換底公式_, a^x = e^{(ln a)x}

再根據自然指數合成函數的導函數公式以及換底公式_, 將 上式兩邊對 _x 微分_, 得

d

dx[a^x] = d

dx[e^{(ln a)x}]

= e^{(ln a)x}
d

dx[(ln a)x]

= a^x
ln a = (ln a)a^x 得證_.

最後_, 根據連鎖法則以及上式_, 得 d

dx[a^u] = d

du[a^u]
du dx

= (ln a)a^u
du dx 如所求_.

(2) 首先_, 根據對數函數的換底公式_, log_a x = ln x

ln a

再根據純量乘積法則以及自然對數函數的導函數公式_, 將 上式兩邊對 _x 微分_, 得

d

dx[log_a x] = d dx

ln x ln a



= 1

ln a
d

dx[ln x] = ^ 1 ln a

 1 x

得證_.

最後_, 根據連鎖法則以及上式_, 得 d

dx[log_a u] = d

du[log_a u]
du dx

= ^ 1 ln a

 1

u
du dx 如所求_.

例 _3.

(a) f(x) = log₅(x² + 6x)

(b) g(x) = 6^5x2+2x

(c) h(x) = x3^{1 x}

<解_{> (a)} 因為 _f 是底數為 ₅ 的對數合成函數_, 故根據 一般對數函數的導函數公式_,

f⁰(x) = ^ 1 ln 5

 1

x² + 6x
(x² + 6x)⁰

= ^ 1 ln 5

 2x + 6 x² + 6x

(b) 因為 _g 是底數為 ₆ 的指數合成函數_, 故根據一般指 數函數的導函數公式_,

g⁰(x) = (ln 6)6^5x2+2x
(5x² + 2x)⁰

= (ln 6)6^5x2+2x
(10x + 2)

= 2(ln 6)(5x + 1)6^5x2+2x

(c) 根據乘積法則以及一般指數函數的導函數公式_, 得 h⁰(x) = (x)⁰3^{1 x} + x(3^{1 x})⁰

= (1)3^{1 x} + x
(ln 3)3^{1 x}(1 x)⁰

= 3^{1 x} + x
(ln 3)3^{1 x}( 1)

= [1 (ln 3)x]3^{1 x}