重點一多項式的定義

(1)

第章

03

式的運算

3-1 多項式的基本概念

重點一多項式的定義

多項式的定義：

設

a 、_n a_n_₁

、…、

a 、₁ a 都是實數，₀ n

為正整數或 0，則形如

f x

( ) 

a x_n ⁿ



a x_n_₁ ⁿ^¹

  

a x a₁



₀

，稱

f x 為不定元

( )

x

的多項式。

1.

a 稱為 ( )_k f x 中x 項的^k

係數，

a 稱為 ( )₀ f x 的

常數項。

2. 若

a_n

 ，則稱 ( ) 0

f x 為n

次多項式，

_n

為

f x 的次數

( ) ，以

deg ( )f x n

表示，此時

a 為 ( )_n f x

的領導係數。

3. 若

f x

( )  ，則稱 ( )

a₀ f x 為

常數多項式（多項式只有常數項，其他各項係數均為 0）。

(1)若

a₀

 ，則稱 ( ) 0

f x 為零次多項式（其次數為

0）。

f x

( ) 3  、 ( )

f x

  。 2 (2)若

a₀

 ，則稱 ( ) 0

f x 為

零多項式（無次數可言）。

f x

( ) 0  。

4. 升冪與降冪排列：

為了運算方便，通常我們將多項式中的每一項，按照

_x

的次方，由大而小或者由小而大排列。由大而小的排列叫做降冪排列，由小而大的排列叫做升冪排列。

5. 多項式的值：將多項式 ( )

f x 中，指定一個實數a

為不定元

_x

的值，則所得的結果，稱為多項式

f x 在

( )

x a

的值，以

f a 來表示。

( )

設

f x

( ) 2 

x²

 3

x

 ，則 4

f

(1) 2 1       。

²

3 1 4 3

小叮嚀

設 _{f x}_{( )}_{a x}_n ⁿ_a_n_₁_xⁿ^¹  _{a x a}₁  ₀ (1)f(0)a₀ 常數項。

(2)f(1)a_na_n_₁   a₁ a₀各項係數和。

(3)f( 1) (偶次項係數和)(奇次項係數和)。

小叮嚀

零次多項式與零多項式均為常數多項式。

小叮嚀

例不定元x不能出現在「分母」、「根號」內、「絕對值」中。

①3x² 2x5、₍_x₁₎₍_x₂₎、10 都是多項式。

② ₂³ 1

x  、 x3、_|_x²₅_x_{2 |}均不是x的多項式。

例

(2)

下列哪些式子是

x

的多項式？

(A)

x² 2x

(B) 3

x

 (C) 1

x

 2 (D)

x³

 | |

x

。

(A)是多項式

(B)

x

在分母，不是多項式 (C)

x

在根號內，不是多項式 (D)

x

在絕對值中，不是多項式故選 (A)

下列哪些式子是

x

的多項式？

(A) 1 2

x x



 (B)|

x

 (C) 1|

x

 1 (D)

2

(A)

x

在分母，不是多項式 (B)

x

在絕對值中，不是多項式 (C)

x

在根號內，不是多項式 (D)是多項式

故選 (D)

設

f x

( ) 2 

x⁴

 3

x²

 5

x

 ，試求 7

(1) deg ( )

f x (2)領導係數 (3)x 項係數 ³

(4)常數項。

(1) deg ( ) 4

f x

 (2)領導係數為 2 (3)

x 項係數為 0 ³

(4)常數項為 7

設

f x

( )   

x³

3

x²

 ，試求 4

(1) deg ( )

f x (2)領導係數 (3)x 項係數 ²

(4)常數項。

(1) deg ( ) 3

f x

 (2)領導係數為 1  (3)

x 項係數為 3 ²

(4)常數項為 4

設

f x

( ) ( 

a

 2)

x³

 (2

a b x

 )

²

  (

a b x

)  為 3 一次多項式，試求：

(1)

a

、

_b

之值 (2) ( )

f x 的領導係數。

(1)∵ ( )

f x 為一次多項式

∴ 2 0

2 0

a a b

  

  

 

a2

、

_b_{ }₄

(2) ( ) (

f x



a b x

 )  3

 2x3

∴

f x 的領導係數為 2

( ) 

設

f x

( ) ( 

a

 2 )

b x⁴

  (

b

2)

x³

  (

a

1)

x²

 ， 5 若 deg ( ) 2

f x

 ，試求：

(1)

a

、

_b

之值 (2) ( )

f x 的領導係數。

(1)∵ deg ( ) 2

f x

 ∴ 2 0

2 0

a b

b

  

  

 

a4

、

_b_₂

(2)

f x

( ) ( 

a

 1)

x²

 5

 3

x²

 5

∴

f x 的領導係數為 3

( )

演練

例題 1

多項式的定義

1

演練

例題 2

多項式的基本概念

2

演練

例題 3

多項式的基本概念

3

(3)

試將

f x

( ) 3 

x²

 4

x³

  7 2

x

 5

x⁴

，依降冪及升冪方式重新排列。

降冪：

f x

( ) 5 

x⁴

 4

x³

 3

x²

 2

x

 7 升冪：

f x

( ) 7 2  

x

 3

x²

 4

x³

 5

x⁴

試將

f x

( )   

x

4

x³

 2

x²

 3

x⁴

 ，依降冪及 5 升冪方式重新排列。

降冪：

f x

( )  3

x⁴

 4

x³

 2

x²

 

x

5 升冪：

f x

( )     5

x

2

x²

 4

x³

 3

x⁴

設

f x

( ) ( 

a

 2)

x²

  (

b

3)

x c

  為零多項 5 式，試求

_a

、

_b

、

_c

之值。

由零多項式的定義知：

2 0

a 

、

b 3 0

、

c 5 0

∴

a2

、

b 3

、

c

 5

設

f x

( ) (2 

a

 4)

x²

 (3

b

 6)

x a b

  為零次多項式，試求：

(1)

a

、

_b

之值 (2) ( )

f x 。

(1)∵ ( )

f x 為零次多項式

∴

2a 4 0

、

3b 6 0



a 2

、

b 2

(2) ( ) ( 2) ( 2)

f x

      4

設多項式

f x

( ) 

x³

 2

x²

 5

x

 ，試求： 6 (1) (0) ( 1)

f



f



f

 之值。

(1) 1 2 5 6

f

      2 (0) 6

f

 

( 1) 1 2 5 6 14

f

       

∴ (1)

f



f

(0) 

f

( 1)        ( 2) ( 6) ( 14)   22

設多項式

f x

( ) 2 

x³



x²

 3

x k

 ，若

f

( 2) 3   ，試求

k

之值。

3 2

( 2) 2 ( 2) ( 2) 3 ( 2) 3

f

          

k



    16 4 6 k 3



k29

演練

例題 5

零多項式與零次多項式

5

演練

例題４

升冪、降冪排列

４

演練

例題 6

多項式求值

6

(4)

設

f x 為二次多項式，且 (1) 2

( )

f

 、 (0) 3

f

 、 ( 1) 6

f

  ，試求 (2)

f

之值。

設

f x

( ) 

ax²



bx c



(1) 2

(0) 3

( 1) 6

f a b c

f c

f a b c

   

  

     





a1

、

_b_{ }₂

、

_c_₃

∴

f x

( ) 

x²

 2

x

 3



f

(2) 2 

²

    2 2 3 3

設

f x 為二次多項式，且

( )

f

( 2) 3   、 (1) 6

f

 、 (2) 3

f

 ，試求 (0)

f

之值。

設

f x

( ) 

ax²



bx c



( 2) 4 2 3

(1) 6

(2) 4 2 3

f a b c

f a b c

f a b c

    

    

    





a 1

、

_b_₀

、

c

 7

∴

f x

( )   

x²

7  (0) 7

f



重點二多項式相等

多項式相等

設

f x

( ) 

a x_n ⁿ



a x_n_₁ ⁿ^¹

  

a x a₁



₀

、

g x

( ) 

b x_m ^m



b x_m_₁ ^m^¹

  

b x b₁



₀

為任意兩個非零多項式，則

( ) ( )

f x



g x



n m

，且

a_n



b_m

、

a_n_₁



b_m_₁

，…，

a₁

 ，

b₁ a₀

 。

b₀

小叮嚀

(1)若兩多項式相等，則其次數相同且對應的同次方項係數皆相等。

(2)若 f x( )g x( )，則對所有實數a， f a( )g a( )恆成立。

演練

例題 7

多項式求值應用

7

(5)

設

f x

( ) ( 

a

 2)

x²

 3

x

  ， (

c

1) ( ) 3

2

(2 1) 6

g x



x



b



x

 ，

若

f x

( ) 

g x

( ) ，試求

_a

、

_b

、

_c

之值。

∵ ( )

f x



g x

( )

由多項式相等的定義知：

2 3

a 

、

_{3 2}_ _b_₁

、

_c_{ }_{1 6}

∴

a1

、

_b_₂

、

c

 5

設 3

x⁴

 2

x²

  1 (

a

 1)

x⁴

  (

b

1)

x³

  (

c

1)

x²

(

d

3)

x e

   ，試求

a b c d e   

之值。

由多項式相等的定義知：

1 3

a 

、

b 1 0

、

c 1 2

、

d  3 0

、

1

e



a2

、

b1

、

c1

、

d 3

、

e1

∴

a b c d e    8

設

x³

 2

x²

 3

x

  4

a x

(  1)

³



b x

(  1)

²

 ( 1)

c x

  ，試求：

d

(1)

a b c d  

之值。

(2)

a b c d  

之值。

提示： (1)令

x 1 1

代入原式 (2)令

x  1 1

代入原式

(1)令

x 1 1



x2

代入得

8 8 6 4 a b c d      



a b c d   26

(2)令

x  1 1



x0

代入得

4    a b c d



a b c d    4

設 2

x³

 3

x²

 4

x

  5

a x

(  2)

³



b x

(  2)

²

( 2)

c x d

   ，試求：

(1)

a b c d  

之值。

(2)

a b c d  

之值。

(1)令

x 2 1



x 1

代入得

2 3 4 5 a b c d

       



a b c d   2

(2)令

x  2 1



x 3

代入得

54 27 12 5 a b c d

        



a b c d   34

演練

例題 8

多項式相等

8

演練

例題 9

多項式相等的應用（進階題）

9

(6)

重點三多項式的加法和減法

多項式的加減法

兩多項式相加或相減時，是把次數相同的單項係數相加或相減，即

a x_k ^k



b x_k ^k

 (

a_k



b x_k

)

^k

，計算的方式有橫式運算、直式運算、分離係數法。

( ) 2

2

3 5

f x



x



x

 ，

g x

( ) 

x²

 

x

1 (1)橫式運算

f x

( ) 

g x

( ) (2 

x²

 3

x

  5) (

x²

 

x

1)  (2 1) 

x²

  (3 1)

x

  (5 1)  3

x²

 4

x

 6

f x

( ) 

g x

( ) (2 

x²

 3

x

  5) (

x²

 

x

1)  (2 1) 

x²

  (3 1)

x

  (5 1) 

x²

 2

x

 4

(2)直式運算

2 2

2

2 3 5

) 1

3 4 6

x x

 

  

 

2 2

2

2 3 5

) 1

2 4

x x

 

  

  (3)分離係數法

2

2 3 5 ) 1 1 1 3 4 6

x x



常數

2

2 3 5 ) 1 1 1 1 2 4

x x



常數

故

f x

( ) 

g x

( ) 3 

x²

 4

x

 故 6

f x

( ) 

g x

( ) 

x²

 2

x

 4

小叮嚀

(1)用分離係數法做兩多項式相加或相減時，遇缺項時，以「0」補之。

(2)兩多項式，若次數相同，相加或相減後，次數可能變小。

(3)兩多項式，若次數不同，相加或相減後，次數為兩多項式次數較高者。

例

(7)

若兩多項式

f x

( ) 

x³

 2

x²

 3

x

 ， 4

3 2

( ) 3 2

g x

  

x x

 ，試求：

(1) ( )

f x



g x

( ) (2) ( )

f x



g x

( ) 。 (1) ( )

f x



g x

( )

 (

x³

 2

x²

 3

x

 4) (   

x³

3

x²

 2)  5

x²

 3

x

 2

(2) 1 2 3 4 ) 1 3 0 2 2 1 3 6

  

    

  

∴

f x

( ) 

g x

( ) 2 

x³



x²

 3

x

 6

設兩多項式

f x

( )    3

x

2

x³



x²

 ， 5

3 2

( ) 5 6

g x



x



x x

  ，試求：

(1) ( )

f x



g x

( ) (2) ( )

f x



g x

( ) 。 (1) ( )

f x



g x

( )

 (2

x³



x²

 3

x

  5) (

x³



x²

 5

x

 6)  3

x³

 8

x

 11

(2) ( )

f x



g x

( )

 (2

x³



x²

 3

x

  5) (

x³



x²

 5

x

 6) 

x³

 2

x²

 2

x

 1

設

f x

( ) 

g x

( ) 

x³

 3

x²

 5

x

 且 1

3 2

( ) ( ) 5 3 7

f x



g x



x



x



x

 ，試求 ( )

g x 的

領導係數。

3 2

( ) ( ) 3 5 1

f x



g x



x



x



x

 ……(1)

3 2

( ) ( ) 5 3 7

f x



g x



x



x



x

 ……(2) (1) (2)  ： 2 ( ) 2

g x



x²

 2

x

 8



g x

( ) 

x²

 

x

4 ∴

g x 的領導係數為 1

( )

設

f x

( ) 

g x

( ) 2 

x³

 5

x²

 4

x

 且 3

3 2

( ) ( ) 4 2 5

f x



g x

 

x



x



x

 ，試求 (1) ( 1)

f

  之值。

g

3 2

( ) ( ) 2 5 4 3

f x



g x



x



x



x

 ……(1)

3 2

( ) ( ) 4 2 5

f x



g x

 

x



x



x

 ……(2) (1) (2)

2  ：

f x

( )   

x³

2

x²

 

x

1 (1) (2)

2  ：

g x

( ) 3 

x³

 3

x²

 3

x

 4

∴

f

(1)      

g

( 1) 1 ( 13)   14

演練

例題 10

多項式加減法

10

演練

例題 11

多項式加減法的應用

11

(8)

重點四多項式的乘法

多項式的乘法

1. 單項式的乘法規則：

axⁿ



bx^m



abx^{n m}^

。

2. 多項式的乘法規則，是利用乘法對加法的分配律來計算。

3 3

(

x

 2

x

 3)(

x

  1)

x x

(   1) 2 (

x x

  1) 3(

x

 1) 

x⁴



x³

 2

x²

 2

x

 3

x

 3 

x⁴



x³

 2

x²

 5

x

 3

直式運算分離係數法

3 2

4 3 2

0 2 3

) 1

0 2 3

2 5 3

x x x

x

x x x

x x x x

  

 

  

   

1 0 2 3

) 1 1

1 0 2 3 1 0 2 3 1 1 2 5 3

  

 

  

   

故 (

x³

 2

x

 3)(

x

  1)

x⁴



x³

 2

x²

 5

x

 3

設

f x

( ) ( 

x³

 3

x

 、 ( ) 2 2)

g x



x

 ，試求 3 ( ) ( )

f x



g x

。

1 0 3 2 2 3 3 0 9 6 2 0 6 4 2 3 6 13 6

  

  

  

   

∴

f x

( ) 

g x

( ) 2 

x⁴

 3

x³

 6

x²

 13

x

 6

設

f x

( ) 4 

x³

 5

x

 、 1

g x

( ) 2 

x²

 ，試求 3 ( ) ( )

f x



g x

。 ( )

f x



g x

( )

3 2

(4

x

5

x

1)(2

x

3)

   

5 3 3 2

8

x

12

x

10

x

15

x

2

x

3      

5 3 2

8

x

22

x

2

x

15

x

3     

例

小叮嚀

設_{f x}_{( )}、_{g x}_{( )}皆不為零多項式，若_{deg( ( ))}_{f x} _n，_{deg( ( ))}_{g x} _m，則deg[ ( )f x g x ( )] n m。

演練

例題 12

多項的乘法

12

(9)

試求

f x

( ) (2 

x³



x²

 2

x

 5)(

x²

 

x

3) 乘開後，

x 項的係數為何？ ³

乘開後

x 項有 ³

3 2 2

2

x

   3 (

x

) (   

x

) 2

x x



3 3 3 3

6

x x

2

x

9

x

   

∴

x 項的係數為 9 ³

試求 (

x⁴

 3

x²

 2

x

 1)(

x³

 2

x²

 乘開後， 1)

x⁴

項的係數為何？

4 2 3 2

(

x

 3

x

 2

x

 1)(

x

 2

x

 1)

x 項係數為1 1 ( 3) ( 2) 2 14

      

   1 6 2 9

試求 (

x³

 2

x²

 3

x

 4)(

x²

 1)(

x

 乘開後， 1)

x 項的係數為何？ 4

原式  (

x³

 2

x²

 3

x

 4)(

x³



x²

 

x

1)

x 項係數為1 1 2 ( 1) ( 3) 14

       1 ( 2) ( 3)     

  4

試求 (2

x³

 3

x²

 4

x

 5)

²

展開後，

x 項的係數³

為何？

3 2 2

(2

x

 3

x

 4

x

 5)

3 2 3 2

(2

x

3

x

4

x

5)(2

x

3

x

4

x

5)

      

x 項係數為 3

2 ( 5) ( 3) 4 4 ( 3) ( 5) 2            ( 10) ( 12) ( 12) ( 10)

       

  44

演練

例題 13

多項式乘法的應用

13

演練

例題 14

多項式乘法的應用

14

(10)

自我評量 _評量

自我

1 ( Ｄ ) 1.下列何者為

x

的多項式？ (A)

x

 (B)| | 2 2

x

 (C) 2

x

(D) 2。

2 2. 已知二次多項式

f x

( ) ( 

a

 2)

x³

   (

a b

1)

x²

 5

x

 的領導係數為 4，則 6

a2b

12 。

3 3. 設

f x

( ) ( 

a

 2 )

b x³

  (

b

2)

x²

  (

c

1)

x

 為一次多項式，且 (1) 5 3

f

 ，則

a b c  

 1 。

5 4. 已知

f x

( ) ( 

a

 1)

x³

 (3

a b x

 )

²

 (2

c

 4)

x c d

  為零多項式，則

a b c d   

 8 。

6 5. 設

f x

( ) 2 

x³

 3

x²



mx

 ，若 (2) 4 6

f

 ，則

m

 3 。

7 6. 設 ( )

f x 為二次多項式，若 f

( 1) 4   、 (1) 4

f

 、 (2) 7

f

 ，則 (0)

f

 3 。

8 7. 設二多項式

f x

( ) ( 

a

 2)

x²

 4

x

 、 3

g x

( ) 5 

x²

 (3

b

 2)

x c

  ，若 ( ) 1

f x



g x

( ) ，則

a b c  

11 。

10 8. 設

f x

( ) 2 

x³

 4

x²

 ， 1

g x

( )   3

x³

 5

x

 ，則3 ( ) 2 ( ) 1

f x



g x



12x²10x5

。

12 9. 設

f x

( ) 

x³

 5

x

 、 ( ) 3 2

g x



x

 ，則 ( ) 1

f x



g x

( ) 

3x⁴x³15x² x 2

。

11,12 10. 已知 ( )

f x 、 ( )g x 為兩多項式，且 f x

( ) 

g x

( ) 

x²

 、 1

f x

( ) 

g x

( )   

x²

2

x

 ， 3 則

f x

( ) 

g x

( ) 

x³3x2

。

■ 對應例題

(11)

自我評量 _評量

自我

13 11. 設

f x

( ) (2 

x³

 3

x

 1)(

x⁴

 5

x³

 4

x

 ，則 ( ) 7)

f x 展開式中x 項的係數為⁴

 8 。

13 12. 設

f x

( ) ( 

x³

 2

x²

 3

x

 4)(

x

 1)(

x

 ，則 ( ) 2)

f x 展開式中x 項係數為³

 1 。

9 13. 設

x³

 3

x²

 5

x

  7

a x

(  1)

³



b x

(  1)

²



c x

(   ，則 1)

d

(1)

a b c d   

7 ， (2)

a b c d   

23 。

9 14. 設 (

x²

 3

x

 1)

²



ax⁴



bx³



cx²



dx e

 ，則

a b c d e    

9 。

9 15. 設

x²

 3

x

  4

a x

(  1)(

x

  2)

b x

(  2)(

x

  3)

c x

(  3)(

x

 ，則 1)

a b c  

1 。

13 16. 設

f x

( ) ( 

x⁴

 2

x³

 3

x

 5)(

x³

 2

x²

 ，若 ( )

k

)

f x 展開後x 項的係數為 7，則³ k 

 4 。

(12)

3-2 除法原理與餘式定理

重點一多項式的除法 1. 多項式的除法

設

f x 、

( )

g x 為兩多項式，且

( )

g x

( ) 0  ，則 ( )

f x 除以g x ，我們以「

( )

f x

( ) 

g x

( ) 」來表示，其中

f x 稱為被除式， ( )

( )

g x 稱為除式。多項式的除法運算以直式運算（長除法）為

主。

2. 多項式除法原理

設

f x 、 ( )

( )

g x 為兩多項式，且 ( ) 0g x

 ，則恰存在兩多項式 ( )

q x 和 ( )r x ，滿足

( ) ( ) ( ) ( )

f x



g x q x



r x

，其中

r x

( ) 0  或 deg ( ) deg ( )

r x



g x

。

設

f x

( ) 

x³

 2

x

 、 3

g x

( ) 

x²

  ，試求

x

1 ( )

f x 除以 ( )g x 的商式及餘式。

2 3 2

3 2

2 2

1

1 0 2 3

3 1 2 4 x

x x x x x

x x x

x x

x



    

 

  

  

 

商式：

_x_₁

；餘式：

₂_x_₄

設

f x

( ) 2 

x⁴

 3

x³

 4

x²

 5

x

 、 6

g x

( ) 

x²

 ， 1 試求

f x 除以 ( )

( )

g x 的商式及餘式。

2 3 2

1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2

3 2 5 3 0 3

2 8 6 2 0 2 8 4

 

     

   

    

  

 

商式： 2

x²

 3

x

 ；餘式： 2

8x4

小叮嚀

1. 被除式除式商式餘式。

2. deg[ ( )f x g x( )] deg ( ) deg ( ) f x  g x ，_{g x}_{( ) 0} 。小叮嚀

1. 在進行除法運算時，被除式、除式均須先按降冪排列，缺項時，以「0」補之。

2. 餘式的次數必須低於除式之次數或者餘式為 0。

演練

例題 1

多項式的除法

1

(13)

設

f x

( ) 

x³



px²



qx

 ， 3

g x

( ) 

x²

 ，若 1 ( )

f x 能被 ( )g x 整除，試求 p 、 q 之值。

1 3

1 0 1 1 3

1 0 1

( 1) 3

3 0 3

( 3) ( 1) 0

p q



    

 

   

  

   

∵ ( )

f x 能被 ( )g x 整除

∴

r x

( ) 0 

故

p

  且 3 0

q

  1 0



p

  、 3

q

 1

設 2

x³

 3

x²



ax b

 除以

x²

  之餘式為

x

1

3

x

，試求

a

、

b

之值。

2 1 1 1 1 2 3

2 2 2

1 ( 2)

1 1 1

( 3) ( 1)

a b



    

     

  

   

∵ 餘式為

x3

∴

a 3 1

、

_b_{ }_{1 3}



a4

、

_b_₄

已知多項式

f x 除以

( )

x²

  ，得商式

x

2

x1

，餘式

₂_x_₃

，試求

f

(3) 之值。

由多項式除法原理知

( ) (

2

2)( 1) 2 3

f x



x

 

x x

 

x



∴

f

(3) (3 

²

  3 2)(3 1) 2 3 3    

19

已知多項式

f x 除以

( )

x²

  ，得餘式為

x

2

3x2

，試求

f

(1) 之值。

由多項式除法原理知

( ) (

2

2) ( ) 3 2

f x



x

 

x q x



x



∴

f

(1) (1 

²

  1 2) (1) 3 1 2

q

   5 

演練

例題 2

多項式的除法

2

演練

例題 3

多項式的除法原理

3

(14)

重點二綜合除法

1. 綜合除法

兩個多項式相除，當除式為一次式，且領導係數為 1 時，則長除法可用一種更簡便的運算方法，稱為綜合除法。

2. 綜合除法之運算步驟及注意事項

(1)被除式按降冪排列，需注意缺項補 0。

(2)除式為

x b

，則右側應記為

_b

；除式為

_{x b}_

，則右側記為

__b

。

(3)先將被除式的領導係數往下移至商式的第一個位置，作為商式的領導係數。

(4)以商式的領導係數乘以記於右側之數，得積列於被除式第二項之下與被除式第二項相加列於商式的第二個位置，即商式的第二項係數。

(5)重複(4)的演算步驟直到得到商的所有項之係數及最後一項餘式為止。

(6)需注意的是：與長除法不同的地方，是上下兩項數字要相加。

求

x³

 2

x²

 3

x

 除以 4

x1

的商式及餘式。

1 2 3 4 1 1 1 2 1 1 2 2

   

  

  

商式：

x²

  ，餘式：2

x

2 (7)若除式為

ax b

（

_a_₀

），可改寫為 (

b

)

a x



a

，先以

b

x

 為除式，求得商式及餘式，

a

再將所得的商式除以

_a

，餘式不變，即可求得除式為

_{ax b}_

的商式及餘式。

求 2

x³

 3

x²

 4

x

 除以 5

2x1

的商式及餘式。

1 2 1 2( )

x

 

x

 2

2 3 4 5 1 1 2 3 2 8 2 2 4 6

1 2 3

  



 

商式：

x²

 2

x

 ，餘式：8 3 例

例

商式餘式

3 2

1

2

2 3 4 5 ( )(2 4 6) 8

x



x



x

 

x

 2

x



x

  1

²

( ) 2( 2 3) 8

x

2

x x

       (2

x

 1)(

x²

 2

x

  3) 8

商式餘式

(15)

3. 綜合除法的應用

設

x³

 2

x²

 3

x

  4

a x

(  1)

³



b x

(  1)

²



c x

(   ，試求 1)

d a

、

_b

、

_c

、

_d

之值。

1 1 2 3 4

1 3 6 1 3 6 10

1 4 1 4 10

1 1 5

d c b a

  

   

 

  



 



∴

a1

、

_b_₅

、

_c_₁₀

、

_d _₁₀

利用綜合除法求 2

x³

 5

x²

 除以 3

x2

的商式及餘式。

2 5 0 3 2 4 2 4 2 1 2 1

  

  

  

商式： 2

x²

  ，餘式： 1

x

2 

利用綜合除法求

x⁴



x³

 2

x²

 除以 1

x2

的商式及餘式。

1 1 2 0 1 2 2 2 0 0 1 1 0 0 1

    

   

商式：

x³

 ，餘式：1

x²

例

演練

例題４

綜合除法

４

3

2

3 4

x



x



x



(

x

1)(

x2

3

x

6) 10

    

(

x

1)[(

x

1)(

x

4) 10] 10

     

(

x

1){(

x

1)[(

x

1) 1 5] 10} 10

       

(

x

1){(

x

1)

2

5(

x

1) 10} 10

      

3 2

(

x

1) 5(

x

1) 10(

x

1) 10

      

重點一 多項式的定義

第 章

03

式的運算

3-1 多項式的基本概念