圖 4-1 模型示意圖

第四章 磁力煞車系統之模擬方法與結果

由於第三章實驗時所用的磁通密度 B 是選用任意量測 100 點的平均磁通 密度的固定數值，為了要了解 9 個氣隙間距所造成不同的磁通密度，以及磁 場分布的情形，本章以第二章所提出之基本理論分析為基礎，針對不同的氣 隙間距進行電腦模擬分析，利用有限元素軟體 Ansoft/Maxwell 建立模型，

分析出適當的磁通密度及磁場分布的情形，並根據選用不同的合金材料，與 實驗值作比對。圖 4-1 為磁力煞車系統示意圖。此模型是按照第三章實際 U 型鋼座內的磁鐵大小所建立的。上下各當作一塊磁鐵來看(由 於 同 極 相 斥 的 原 理 ， 磁 鐵 無 法 緊 密 的 並 排 在 一 起 ， 所 以 兩 磁 鐵 會 有 0.1cm 的 間 隙 )， 其 長 寬 高 規格為 13cm*8cm*2cm，如圖 4-2 所示。

圖 4-1 模型示意圖

- 27 -

13cm 8cm

2cm

圖 4-2 模型尺寸圖

4.1 Maxwell 分析方法

利用有限元素方法為其基本分析法，首先將幾何結構(四面體)切割，切 割率以切割百分比來設定表示，切割成元素後，在每一元素上用一低階多項 式來近似其場解，然後利用變分法求解，此時每一元素上節點未知數變成矩 陣方程式，最後求解矩陣方程式算出節點未知數，便可得到每一元素上的場 解。

- 28 -

4.2 模擬分析步驟

圖 4-3 為模擬分析步驟的流程圖。以下針對模擬分析步驟作說明：

1. 建立模型架構：首先建立如實驗中的物件模型，如圖 4-1，並針對 9 個不同的氣隙進行模擬。

2. 訂定物質條件：輸入整體模型架構中，各個模型的材料性質。

3. 選擇模型物件：選取模型物件，以建立一般磁力的大小及方向。

4. 訂定需求標準：如執行結果的誤差率、要執行幾次才能到此誤差率 以下等等。

5. 執行結果：結果如果正確，就可進入後處理部分，分析結果；如果 有誤，就重回第二步重新設訂檢查，直到正確為止。

6. 分析結果：最後描繪分析 9 個不同的氣隙下磁通密度大小及磁場分 布的情形。

圖 4-3 為模擬分析步驟的流程圖。

- 29 -

訂定物質條件

選擇模型物件

訂定需求標準

執行結果

不正確 正確

分析結果 建立模型架構

圖 4-3 模擬分析流程圖

- 30 -

接著介紹整個模擬情形：

1．首先建立實驗中昇降座上 U 型鋼座內的磁鐵物件，並針對空氣氣 隙(air gap)分別作 1mm、2mm、3mm、4mm、6mm、8mm、10mm、

15mm、20mm 的 9 種改變進行模擬。在此值得一提的是，由於空 氣氣隙(air gap)於實驗架構上是量測磁鐵與合金導板一邊的距 離，我們將以圖 4-4 示意實驗 U 型鋼座內的磁鐵。因此，兩邊的 磁鐵(NÆS)的距離也就為兩倍氣隙距離加上合金導板的厚度 (4mm)，如圖 4-5。

合金導板

y

外部結構

x

滑

軌 昇降座

合金導板

合金導板厚度 4mm 空氣氣隙(air gap)距離

磁鐵(前)

x y

磁鐵(後)

圖 4-4 空氣氣隙(air gap)距離示意圖與機構示意簡圖[41]

- 31 -

y S x

N

上下磁鐵的距離=2 倍空氣

氣隙(air gap)距離+合金導板 的厚度(4mm)

圖 4-5 上下磁鐵的距離及磁場方向

2．

3．

4．

5．

將磁鐵物件按實際磁鐵材料設定為 NdFeB，牌號為 N35 的規格。

選取模型物件後，將磁力方向定為由上至下(NÆS)，如圖 4-4 建立 30%物件切割率，誤差率為 0.1%

開始執行結果

- 32 -

4.3 模擬分析結果

由於實驗時，磁通密度 B 的量測是在磁鐵上任取 100 點後平均的值，為了 使模擬時能夠更精準，我們將模型之上方磁鐵的下方面 (N 極) ，在磁鐵寬 度 (Y 軸方向) 平均每 4mm 取一點，共取 21 點(頭尾要算)，而磁鐵長度(X 軸方向)在寬度每 4mm 時取 1000 點，每點距離約 0.13mm，如圖 4-6 所示，

因此整個面會產生 21000 點的磁通密度值。表 4-1 為各空氣氣隙(air gap)下 的平均 21000 點的磁通密度 B 的值。

y x

10mm 130mm 70mm

60mm

1000 點

80mm

0

y S x N

y=72mm

共21點 y=48mm

y=24mm

y=0mm

圖 4-6 磁通密度 B 取點示意圖

- 33 -

表 4-1 各空氣氣隙(air gap)下的平均磁通密度 B 的值

Air gap 1mm 2mm 3mm 4mm 6mm 8mm 10mm 15mm 20mm

磁鐵距離 6mm 8mm 10mm 12mm 16mm 20mm 24mm 34mm 44mm

B 值(T) 0.5479 0.5436 0.5232 0.5122 0.4817 0.4767 0.4735 0.4688 0.4553

由表 4-1 知，模擬出的 B 值符合空氣氣隙(air gap)愈小，磁通密度 B 就 愈大的情形；並且對於實驗測量的值 B=0.5094(T)也趨於接近，但各空氣氣 隙(air gap)所呈現的 B 值並沒有一比例關係，這是由於電腦在各氣隙下所切 割的四面體物件並不相同，且最後的誤差率也不盡相同所導致的情況。

- 34 -

圖 4-7∼圖 4-15 分別為 9 個氣隙(air gap)下，上下磁鐵的距離切割 xz 平 面所產生的磁通密度向量圖。左上方或右上方的色階，表示磁場的大小值；

箭頭表示磁場的方向；圖中(a)、(b)、(c)為磁鐵左邊、中間、右邊的磁通密度 放大向量圖。由圖我們可以清楚看出及了解 9 個氣隙所產生的磁場分布的方 向與大小。

- 35 -

圖 4-7 氣隙(air gap)為 1 mm 的磁通密度向量圖

圖 4-7(a) 1mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-7(b) 1mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-7(c) 1mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 36 -

圖 4-8 氣隙(air gap)為 2mm 的磁通密度向量圖

圖 4-8(a) 2mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-8(b) 2mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-8(c) 2mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 37-

圖 4-9 氣隙(air gap)為 3mm 的磁通密度向量圖

圖 4-9(a) 3mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-9(b) 3mm 時 中闣磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-9(c) 3mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 38-

圖 4-10 氣隙(air gap)為 4mm 的磁通密度向量圖

圖 4-10(a) 4mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-10(b) 4mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-10(c) 4mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

-39-

圖 4-11 氣隙(air gap)為 6mm 的磁通密度向量圖

圖 4-11(a) 6mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-11(a) 6mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-11(a) 6mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 40-

圖 4-12 氣隙(air gap)為 8 mm 的磁通密度向量圖

圖 4-12(a) 8mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-12(b) 8mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-12(c) 8mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 41 -

圖 4-13 氣隙(air gap)為 10mm 的磁通密度向量圖

圖 4-13(a) 10mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-13(b) 10mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-13(c) 10mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 42-

圖 4-14 氣隙(air gap)為 15 mm 的磁通密度向量圖

圖 4-14(a) 15mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-14(b) 15mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-14(c) 15mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 43 -

圖 4-15 氣隙(air gap)為 20 mm 的磁通密度向量圖

圖 4-15(a) 20mm 時 左邊磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-15(b) 20mm 時 中間磁鐵的磁通密度 向量圖

圖 4-15(c) 20mm 時 右邊磁鐵的磁通密度 向量圖

- 44 -

由圖 4-7~4-15 各磁通密度圖所呈現的意義如下：

1. 磁場方向在磁鐵內部由 S 極→N 極，在磁鐵外部由 N 極→S 極，構 成一封閉磁力線廻路。圖形上下兩部磁鐵，中間由於有 10 mm 的間 隙，使得磁場方向會由磁鐵本身 N 極→S 極；左右兩邊磁鐵外部的 磁場方向也是相同的會由磁鐵本身 N 極→S 極。

2. 圖中的所顯示的色階，每一種顏色，表示圖中相同顏色箭號的大小 範圍值，是一區間值，也就是代表一磁場大小的範圍值，本文設定 切割為 11 等分，當切割等分愈細(多)，磁場大小(數值及箭號方向) 也會愈精密。

3. 由每個氣隙(gap)所呈現的磁場分布知，四塊磁鐵內部的兩邊的磁 通密度皆較大，內部中間的磁通密度較小。

4. 我們將氣隙(gap)為 1mm 時與氣隙(gap)為 6mm 時的磁通密度圖放大 做比較，如圖 4-16，兩者在相同位置(箭號所指的地方)所產生的 磁通密度，由於 gap(氣隙)為 1mm 圖形的色階較深，因此所產生的 磁通密度會較大。

圖 4-16 氣隙(gap)為 1mm 時與 6mm 時，在同一位置，磁通密度 放大比較圖

- 45-

5. 我們將第 4.點兩者的相同位置(箭號所指的地方)，也就是在長為 13.013mm，寬為 40mm 的位置，9 個不同氣隙(gap)下的磁通密度實 際值大小列表，如表 4-2。由表知，在相同的位置，氣隙(gap)愈 小，產生的磁通密度愈大，反之亦然。在氣隙(gap)為 1mm 所產生 的磁通密度 0.5713 大於氣隙(gap)為 6mm 所產生的磁通密度 0.4778

，因此，我們可以確認第 4.點的結果，並且可由磁通密度圖比較 下，找出與表列相同的結果。

表 4-2 長為 13.013mm，寬為 40mm 的位置下，9 個氣隙(gap)的磁通密度

氣隙 1mm 2mm 3mm 4mm 6mm 8mm 10mm 15mm 20mm

(T) 0.5713 0.5567 0.5468 0.5199 0.4778 0.4634 0.4088 0.3698 0.3612

- 46-

4.4 模擬分析--α通式

由於第二章理論探討知磁阻力 F= ，當磁阻力造成 的減速度等於重力加速度時，物體就會成等速度運動，也就是物體的終端速

度

，所以

v B w L × × ×

×

×

× σ δ

α

B

w L

g v m

×

×

×

×

×

= ×

δ σ

α ，我們如果能預先知道物體的終端速

度，一方面可得知此時的磁阻力的大小；另一方面可知此時的速度是否太快 或太慢，又能否符合人體所能負荷的範圍，來作適當的修正。我們利用上述 觀 念 及 公 式 ， 將 實 驗 值 與 模 擬 值 代 入 ， 首 先 找 出 α 值 ， 其 中

ν δ

σ 、 、 L 、 w 、

m、 為實驗物件的值，而磁通密度 B 為模擬情形得到的各個 氣隙(air gap)的值，g 為重力加速度值=9.8 m/s。因此，在不同的 9 個磁通密 度 B 下，我們可得到 9 點的α值，我們以 3 階~5 階的多項式來近似這 9 點的 資料，並試著找出最佳的近似多項式。以下為 3 階、4 階、5 階的多項式表示 式：

中 x 為上、下兩磁鐵相距的距離，當氣隙(air gap) 為 1mm 到 20 mm 的距離，

4 . 30 018 . 3 317 . 0 017 . 0 10

18 . 4 10

61 . 3 )

( ^{6 5 4 4 3 2}

5 x =− × ⁻ x + × ⁻ x − x + x − x+

α

5 . 22 289 . 0 012 . 0 10

35 . 2 )

( ^{4 3 2}

3 x = × ⁻ x + x + x+

α

28 . 21 015 . 0 036 . 0 10

58 . 9 10

36 . 7 )

( ^{6 4 4 3 2}

4 x =− × ⁻ x + × ⁻ x − x + x+

α

式

所以 x 為 6mm 到 44mm。圖 4-17 為 9 點的α值與 3 階、4 階、5 階的近似多項 式和磁鐵距離的關係圖。

- 47-

圖 4-17 9 點的α值與 3 階、4 階、5 階的近似多項式和磁鐵距離的關係圖

由圖 4-17 可以看出 5 階近似多項式有明顯的誤差，因此將捨去不考慮，

僅對 3 階和 4 階兩者近似多項式作比較。

知道

近似多項式，由於這是原始實驗值代入後所得到的近似關係 式，而實驗物體的長、寬及合金導體的厚度分別為 0.13m、0.08m、0.004m，

對不同的重量(m)及不同的導電率(σ)的物體會有不同的結果，所以我們需要 做一修正的動作：

( )

修正

δ α α

×

= ×

w L

x) (

而

原 修正

( )

) ) (

( δ

δ δ

×

×

×

= ×

×

× L w

w w L

L

- 48-

我們舉二個例子來說明。例一：首先，我們來推估不同物體條件下的速 度值。假設氣隙(air gap)為 20mm，物體的長、寬分別為 0.435m、0.143m、合

金導板的厚度為 0.006m、導板之導電率(σ) =

⋅m

×10 Ω 8 .

5 ⁷

(x)之值。當氣隙 x=2

1

，物體的重量為

250kg。首先我們來求 3 階和 4 階近似多項式α (air gap)為 20mm 時 ， 磁 通 密 度 為 0.4553(tesla) ， 磁 鐵 距 離

20+4=44mm ， 代 入 可 得

) 44

3

(

α

=78.47，

( 44 ) = 6.26，接著求出

004 . 0 08 . 0 13 .

0 × ×

修正 0.435 0.143 0.006 8.97 )

(L×w×δ = × × =

再求出α之修正值：

. 8

47 . 78

3_修正 = =

α ，α

=

. 8

26 .

6 =

_{。我們求出α修}

端速度公式

正值後，最後再代入終 × ×

v m

×

×

×

= ×

修正 σ δ

α

^{，得到 v}

^=0.062 (m/s)，v

=0.847 (m/s)。

我們利用文獻[37]所做實驗量測出的終端速度，與上述方法結果比較之。

物體的條件皆不變，也就是長、寬、厚度及導電率、重量皆與上述一樣，物 體的

例二：我們來推估與實驗條件一樣，合金導板為鋁時的速度值。假設物 體的重量為 55kg，物體的長、寬、分別為 0.13m、0.08m、合金導板的材質為 鋁，

終端速度量測值為 0.8567(m/s)。顯示由 4 階多項式計算出的速度與實驗 量測值較接近。

其厚度為 0.004m、合金導板之導電率(σ) =

⋅m Ω

，當氣隙(air gap) )

12

× 1

10 18 .

5 ⁶

，而空氣氣隙 (air gap)距離為 4mm。首先我們來求函數值α(x) 為 4mm 時，

磁通密度為 0.5122(tesla)，x=12(mm)，可得

( =28.1，

( 12 ) =17.78，因為

- 49-

δ

、

、w

L

與原始物體一樣，因此不需要作修正的動作。所以α之修正值：

α

=

(

終端速度公式

與空氣氣隙

圖 4-18 α與空氣氣隙(air gap)、重量(55~65kg)的關係圖 )

12

( 12 )

B2

v

= × × ×

δ σ

α

g m

×

×

×

修正

式計算出的速度

由上述兩個例子可以知道，使用 4 階近似多項式所計算出來的終端速度 較 3 階近似多項式所計算出來

=28.1，α

= =17.78。我們知道α修正值後，最後再代入

，得到 v

=0.339 (m/s)，v

=0.536 (m/s)。

我們從第三章知由實驗測量出來的速度值為 0.534 (m/s)，比較顯示由 4 階多項 較為接近。

的為準確，因此，4 階多項式為最佳的近似多項 式。最後，我們將使用 4 階近似多項式作為計算α值的標準式。圖 4-18 為α

(air gap) 0~20mm、重量(55~65kg)的關係圖。

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我們利用上述方法，將合金導板為鋁時的其他氣隙的速度值給估算出 來，並與實驗值比較，如表 4-3 所示。由表中可知，利用上述法則估算出來 的速度值與實驗所量測出來的速度值，雖然兩者之誤差有達到近 15%，但由 於實驗量測值本身也就有誤差原因(見第三章)，因此，由α通式估算之速度 值可作為了解在當時氣隙(gap)下所產生的速度快慢，知道速度的趨勢，作 適當調整的參考方向，以達到最適當的下降速度。

表 4-3 實驗量測(合金導板為鋁)與利用α通式估算的速度值之比較 Air gap 1mm 2mm 3mm 4mm 6mm 8mm 10mm 15mm

實驗量測之

速度值 0.366 0.408 0.466 0.534 0.648 0.713 1.055 1.319

(m/s) α通式估算之

速度值(m/s) 0.411 0.432 0.487 0.536 0.685 0.806 0.954 1.510

兩者之誤差

(%) 12.3 5.88 4.51 0.37 5.71 13.04 9.57 14.48

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