數列 數列 等差數列 等差數列

自我評量

數列 數列 等差數列 等差數列

等差中項 等差中項

臺北市計程車的計費表起跳為 70 元，

每跳一次表加 5 元；將計費表上的數字依序

記錄下來就是 70, 75, 80, 85, 90, 95, …… 。二

年甲班第一次段考的數學成績依座號紀錄如

下： 95, 88, 97, 72, 58, …… 。像這樣依序排列

的一串數稱為數列。

一個數列中的第一個數稱為第 1 項或首項，

通常記為 a₁ ；第二個數稱為第 2 項，記為 a₂ ；第 三個數稱為第 3 項，記為 a₃ ；……；第 n 個數稱為 第 n 項，記為 a_n ；數列中的最後一項也稱為末項

。

例如，數列 70, 75, 80, 85, 90, 95 中，第 1 項

（首項） a₁＝ 70 ，第 2 項 a₂＝ 75 ，第 3 項 a₃＝ 80 ，……，第 6 項（末項） a6＝ 95 。

數列 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 中，

第 1 項 a

＝ ____ ，第 2 項 a

＝ ____ ， 第 3 項 a

＝ ____ ，第 4 項 a

＝ ____ ， 第 7 項 a

＝ ____ 。

1 3

5 7

13

數列可能具備某種規律。例如：

(1) 以棉花棒排成正方形，依序在其一側增加 正方形的個數，如圖 1-1 ：

圖 1-1 觀察圖 1-1 可得

正方形個數 1 2 3 4 5 棉花棒總數 4 7 10 13 16

將棉花棒總數寫成數列 4, 7, 10, 13, 16 ，觀察數 列可以發現：

第 1 項 a

＝ 4

第 2 項 a

＝ a

＋ 3 ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7 第 3 項 a

＝ a

＋ 3 ＝ 7 ＋ 3 ＝ 10 第 4 項 a

＝ a

＋ 3 ＝ 10 ＋ 3 ＝ 13 第 5 項 a

＝ a

＋ 3 ＝ 13 ＋ 3 ＝ 16

這個數列的規律是前一項加 3 等於後一項。

它的意義是

每增加 1 個

正方形，便

需增加 3 枝

棉花棒。

(2) 觀察數列 1, 4, 9, 16, 25, 36 可以發現：

第 1 項 a

＝ 1 ＝ 1

第 2 項 a

＝ 4 ＝ 2

第 3 項 a

＝ 9 ＝ 3

第 4 項 a

＝ 16 ＝ 4

第 5 項 a

＝ 25 ＝ 5

第 6 項 a

＝ 36 ＝ 6

這個數列的規律是由 1 開始的連續正整數的

平方。

(3) 觀察數列 3, 6, 12, 24, 48, 96 可以發現：

第 1 項 a

＝ 3

第 2 項 a

＝ a

× 2 ＝ 3 × 2 ＝ 6 第 3 項 a

＝ a

× 2 ＝ 6 × 2 ＝ 12 第 4 項 a

＝ a

× 2 ＝ 12 × 2 ＝ 24 第 5 項 a

＝ a

× 2 ＝ 24 × 2 ＝ 48 第 6 項 a

＝ a

× 2 ＝ 48 × 2 ＝ 96

這個數列的規律是前一項乘以 2 等於後一項

。

(4) 觀察數列 2, 3, 5, 8, 13, 21 可以發現：

第 1 項 a

＝ 2 第 2 項 a

＝ 3

第 3 項 a

＝ a

＋ a

＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 第 4 項 a

＝ a

＋ a

＝ 3 ＋ 5 ＝ 8 第 5 項 a

＝ a3 ＋ a

＝ 5 ＋ 8 ＝ 13 第 6 項 a

＝ a

＋ a

＝ 8 ＋ 13 ＝ 21

這個數列的規律是前兩項相加等於後一項。

已知下列數列分別隱含某種規律，試依其規 律在空格中填入適當的數。

(1) 2, 6, 10, 14, ____ , 22

(2) 1, 2, 4, 8, ____ , ____ , 64, 128 (3) 216, ____ , ____ , 27,8,1

18

16 32 125 64

配合習作基礎題 1

1

觀察數列的規律

下圖是仁愛國中校車的座位表，已知共有 48 個 座位，試寫出第一行全部的座位號碼。

1 3

5 7

9 11

第一行 第二行 第三行 第四行

走 道

…… ……

4 2

8 6

12 10

…… ……

配合習作基礎題 2

解解

觀察第一行的座位號碼 1, 5, 9, ……

a₁

＝ 1

a₂

＝ 5 ＝ a

＋ 4 ＝ 1 ＋ 4

＝ 9 ＝ a

＋ 4 ＝ 5 ＋ 4

因此我們推得 a

＝ a

＋ 4 ＝ 9 ＋ 4 ＝ 13

這個數列的規律是前一項加 4 等於後一項，

因此第一行的座位號碼依序

為 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 。

承例題 1 ，

第二行全部的座位號碼為

3, 7, 11, ______________________________

，

第四行全部的座位號碼為

2, 6, 10, ______________________________

。

15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47

14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46

承例題 1 ，仁愛國中校車第一行與第三行座位 號碼所成的數列如下，這兩個數列對應的項 之間有甚麼關係？

第一行： 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 第三行： 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 4 8 1 ＋ 3 ＝ 4 ， 5 ＋ 3 ＝ 8 ， 9 ＋ 3 ＝ 12 ，…

…

第一行的每一項加 3 ，就是第三行對應的項

。

在例題 1 中，第一行的座位號碼形成數列 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 ，其中 任意相鄰的兩項，後項減去前項所得的差都相 同（這個差稱為公差 ，通常用 d 來表示），

我們稱這樣的數列為等差數列。

一數列 a

, a

, a

, a

, a

, ……, a

－ 1, a

，若 a

－

＝ a

－ a

＝ a

－ a

＝ a

－ a

＝…＝ a

－ a

－ 1

＝ d ，則此數列是公差為 d 的等差數列。也 就是說，等差數列中，

後項為前項加上公差 ，即 a

＝ a

＋ d ，

前項為後項減去公差， a

＝ a

－ d 。

2

判別等差數列

試問下列各數列是否為等差數列？如果是，請 寫出該數列的公差。

(1) 7, 4, 1, － 2, － 5 (2) 3, 5, 7, 10, 13

(3) － 3, － 3, － 3, － 3

解解

(1) 因為 4 － 7 ＝ 1 － 4 ＝ ( － 2) － 1 ＝ ( － 5) － ( － 2) ＝－ 3 ，相鄰兩項的差 ( 後項 減前項 ) 都是

－ 3 ，所以 7, 4, 1, － 2, － 5 是等差數列

，

公差為－ 3 。 (2) 因為 5 － 3 ＝ 2

7 － 5 ＝ 2 10 － 7 ＝ 3 13 － 10 ＝ 3

後項減前項的差不固定，所以 3, 5, 7, 10, 1

3 不是等差數列。

(3) 因為 ( － 3) － ( － 3) ＝ 0 ， 後項減前項的差都是 0 ，

所以－ 3, － 3, － 3, － 3 是等差數列，

公差為 0 。

等差數列的 公差可以 是正數、負 數或 0 。

解解

試問下列各數列是否為等差數列？如果是，

請寫出該數列的公差。

(1) 5, 10, 15, 20, (2) 1, 0, 1, 0, 1 10 － 5 ＝ 5 ，

15 － 10 ＝ 5

，

20 － 15 ＝ 5

，

25 － 20 ＝ 5 是等差數列，

公差為 5 。

0 － 1 ＝－ 1 ， 1 － 0 ＝ 1

不是等差數列。

(3) － 8, － 3, 2, 7, 12 (4) 36, 25, 14, 3, － 8, － 19 ( － 3) － ( － 8)

＝ 5 ，

2 － ( － 3) ＝ 5 ， 7 － 2 ＝ 5 ，

12 － 7 ＝ 5 是等差數列，

公差為 5 。

25 － 36 ＝－ 11 ， 14 － 25 ＝－ 11 ， 3 － 14 ＝－ 11 ，

( － 8) － 3 ＝－ 11 ， ( － 19) － ( － 8) ＝

－ 11

是等差數列，

公差為－ 11 。

等差數列的各項及公差並不侷限於整數，

也可能是分數、小數，就連含有根號的數或文

字符號也都可以形成等差數列。

3

利用公差完成數列

請在下列空格中填入適當的數，使得各數列成 為等差數列。

(1) 15, 18, ____ , ____ , ____

(2) ____ , ____ , 9, 15, _____

配合習作基礎題 3

(1) 公差 d ＝ 18 － 15 ＝ 3 ，且 a

＝ 18 。

＝ a

＋ d ＝ 18 ＋ 3 ＝ 21

a₄

＝ a

＋ d ＝ 21 ＋ 3 ＝ 24

＝ a

＋ d ＝ 24 ＋ 3 ＝ 27

因此可得等差數列 15 , 18, 21 , 24, 27 。

解解

a_n

＝ a

＋

(2) 公差 d ＝ 15 － 9 ＝ 6 ，且 a

＝ 9 。

＝ a

－ d ＝ 9 － 6 ＝ 3

a₁

＝ a

－ d ＝ 3 － 6 ＝－ 3

＝ a

＋ d ＝ 15 ＋ 6 ＝ 21

因此可得等差數列－ 3, 3, 9, 15, 21 。

解解

a_{n － 1} ＝ _an － d

a_n ＝ _{an － 1} ＋ d

請完成下列各等差數列，並寫出公差。

(1) － 2, 3, ____ , ____ , ____ ，公差為 ____ 。 (2) 2.4, 3, ____ , ____ , ____ ，公差為 ____ 。

8 13 18 5

3.6 4.2 4.8 0.6

4

利用公差完成數列

請在下列空格中填入適當的數，使得各數列 成為等差數列。

(1) 5b, 3b, ____ , ____ , ____

(2) ____ , , 2 , ____ , ____

(3) ____ , 3a+2b , 5a-b , ____ , ____

2 2

配合習作基礎題 3

(1) 公差 d ＝ 3b － 5b ＝ － 2b ，且 a

＝ 3b

。

a₃

＝ a

＋ d ＝ 3b ＋ ( － 2b) ＝ b

＝ a

＋ d ＝ b ＋ ( － 2b) ＝ － b

a₅

＝ a

＋ d ＝ ( － b) ＋ ( － 2b) ＝ － 3b

因此可得等差數列 5b , 3b , b , － b , － 3b 。

解解

(2) 公差 d ＝ 2 － ＝ ，且 a

＝ 。

a₁

＝ a

－ d ＝ － ＝ 0

＝ a

＋ d ＝ 2 ＋ ＝ 3

＝ a

＋ d ＝ 3 ＋ ＝ 4

因此可得等差數列 0 , , 2 , 3 , 4 。

解解

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

(3) 公差 d ＝ (5b － b) － (3a+2b) ＝ 2a － 3b ， 且 a

＝ 3a+2b 。

a₁

＝ a

－ d ＝ (3a+2b) － (2a － 3b) ＝ a+5b

＝ a

＋ d ＝ (5a － b) ＋ (2a － 3b) ＝ 7a

－ 4b

a₅

＝ a

＋ d ＝ (7a － 4b) ＋ (2a － 3b) ＝ 9a

－ 7b

因此可得等差數列 a+5b, 3a+2b, 5a － b,

7a － 4b, 9a － 7b 。

解解

請完成下列各等差數列，並寫出公差。

(1) , , 3 , , ， 公差為 。

(2) , a , a+8 , , ， 公差為 。

(3) , , a+3b , 2a+b , ，

公差為 。

a － 8 a+16 a+24

8

－ a+7b 5b 3a － b

a － 2b

3

7 5 3 3 3  3 3

 2

以下我們將以一些實例來探討等差數列

的性質，進而形成等差數列的公式。

5

由 a

、 d 推出前 n 項

已知一個等差數列的首項為 11 ，公差為 4

，請寫出這個等差數列的前五項。

解解

首項 a

＝ 11 ，公差 d ＝ 4 。

第 2 項 a

＝ a

＋ d ＝ 11 ＋ 4 ＝ 15 第 3 項 a

＝ a

＋ d ＝ 15 ＋ 4 ＝ 19 第 4 項 a

＝ a

＋ d ＝ 19 ＋ 4 ＝ 23 第 5 項 a

＝ a

＋ d ＝ 23 ＋ 4 ＝ 27

故這個等差數列的前五項為 11, 15 , 19 , 23, 27

。

1. 已知一等差數列的首項為 20 ，公差為－ 5 ，請寫出這個等差數列的前六項。

20 ＋ ( － 5) ＝ 15 ， 15 ＋ ( － 5) ＝ 10

，

10 ＋ ( － 5) ＝ 5 ， 5 ＋ ( － 5) ＝ 0 ， 0 ＋ ( － 5) ＝－ 5

此等差數列的前六項為

20 , 15 , 10 , 5 , 0 , － 5 。

2. 已知一等差數列的首項為 a ，公差為 5 ， 請寫出這個等差數列的前五項。

a ＋ 5 ＝ a ＋ 5 ， (a ＋ 5) ＋ 5 ＝ a ＋ 10

，

(a ＋ 10) ＋ 5 ＝ a ＋ 15 ， (a ＋ 15) ＋ 5 ＝

此等差數列的前五項為

a , a ＋ 5 , a ＋ 10 , a ＋ 15 , a ＋ 20 。

在例題 5 中，我們由首項與公差逐步推算

出下一項，但是如果要求第 36 項呢？逐項推算

恐怕要耗費相當多的時間。我們觀察例題 5 中

各項與首項及公差的關係：

首

項 第

2

項 第

3

項 第

4

項 第

5

項

11 15 a

a

a

11 15 19 a

a

×

11 15 19 23 a

×

11 15 19 23 27

×

4 4 4

4 4 4 4

4 4

4

由上面的觀察我們發現：

首項為 a

，公差為 d 的等差數列，其

第

項等於首項加 1 個公差，即 a

＝ a

＋ d 。 第

項等於首項加 2 個公差，即 a

＝ a

＋ 2d 。 第

項等於首項加 3 個公差，即 a

＝ a

＋ 3d 。 第

項等於首項加 4 個公差，即 a

＝ a

＋ 4d 。 依此類推，第 n 項等於首項加 n － 1 個公差，

即 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 。也就是說，

如果一個等差數列的首項為 a

，公差為 d ，

則第 n 項 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 。

已知一等差數列的首項為 5 ，公差為 2 ，試 求此等差數列的第 8 項。

解解

首項 a

＝ 5 ，公差 d ＝ 2 ，項數 n ＝ 8 ， 代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得

a₈

＝ 5 ＋（ 8 － 1 ） × 2 ＝ 5 ＋ 14 ＝ 19 該等差數列的第 8 項為 19 。

6

利用公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 求 a

配合習作基礎題 4(1)

已知一等差數列的第 15 項 a

＝ 30 ，公差 d ＝

－ 3 ，試求此等差數列的首項。

解解 a₁₅

＝ 30 ， n ＝ 15 ， d ＝－ 3 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得 30 ＝ a

＋（ 15 － 1 ） × （－ 3 ） 30 ＝ a

－ 42

a₁

＝ 72

此等差數列的首項為 72 。

7

利用公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 求 a

配合習作基礎題 4(2)

1. 已知一等差數列的首項為－ 9 ，公差為 4

，試求此等差數列的第 9 項。

a₁

＝－ 9 ， d ＝ 4 ， n ＝ 9 ，

代入公式 a

＝ a

＋ (n － 1) d 得

a₉

＝ ( － 9) ＋ (9 － 1) × 4 ＝ ( － 9) ＋ 3

2 ＝ 23

2. 已知一等差數列的第 46 項為 5 ，公差為 2

，試求此等差數列的首項。

a₄₆

＝ 5 ， d ＝ 2 ， n ＝ 46 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得 5 ＝ a

＋（ 46 － 1 ） × 2

5 ＝ a

＋ 90

＝－ 85

解解

已知一等差數列的首項 a

＝－ 9 ，公差 d ＝ ，第 n 項 a

＝ 15 ，求 n 。 3 2

a₁

＝－ 9 ， d ＝ ， a

＝ 15 ， 代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得 15 ＝（－ 9 ）＋（ n － 1 ） ×

24 ＝（ n － 1 ） × 36 ＝ n － 1

n ＝ 37

3 2

3 2 3 2

8

利用公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 求 n

配合習作基礎題 4(3)

已知一等差數列的首項 a

＝ 21 ，公差 d ＝－ 2

，第 n 項 a

＝－ 3 ，求 n 。

a₁

＝ 21 ， d ＝－ 2 ， a

＝－ 3 ， 代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得

－ 3 ＝ 21 ＋（ n － 1 ） × （－ 2 ）

－ 3 ＝ 21 － 2n ＋ 2 2n ＝ 26

n ＝ 13

9

以符號表示 a

解解

已知一等差數列的首項為 37 ，公差為－ 5 ，試 求此等差數列的第 n 項。（用 n 的多項式表

示） 首項 a

＝ 37 ，公差 d ＝－ 5 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得

a_n

＝ 37 ＋（ n － 1 ） × （－ 5 ）＝－ 5n

＋ 42

已知一等差數列的第 9 項為 426 ，公差為 7 ， 試求此等差數列的第 n 項。 ( 用 n 的多項式表 示 )

＝ 426 ， d ＝ 7 ，代入公式 a

＝ a

＋ (n

－ 1)d 得

426 ＝ a

＋ (9 － 1) × 7

426 ＝ a

＋ 56 a

＝ 370 以 a

＝ 370 ， d ＝ 7

代入公式 a

＝ a

＋ (n － 1) d 得

a_n

＝ 370 ＋ (n － 1) × 7 ＝ 370 ＋ 7n － 7 ＝ 7

解解

10 ^{代入公式 a}_n ^{＝ a}₁ ＋（ n － 1 ） d 解聯立方程式

已知一等差數列的第 3 項為 13 ，第 9 項為－

5 ，試求此等差數列的首項與公差。

設此等差數列的首項為 a₁ ，公差為 d 。 由公式 a_n ＝ a₁ ＋ (n － 1) d 可知：

13 ＝ a₁ ＋ (3 － 1) d

－ 5 ＝ a₁ ＋ (9 － 1) d

由式－式得－ 18 ＝ 6d ， d ＝－ 3

將 d ＝－ 3 代入式得 13 ＝ a₁ ＋ 2

×

此等差數列的首項為 19 ，公差為－ 3 。

13 ＝ a

＋ 2d



－ 5 ＝ a

＋ 8d



得

配合習作基礎題 5

若一等差數列的第 5 項為 35 ，第 10 項為－ 5

，試求此等差數列的首項與公差。

35 ＝ a

＋（ 5 － 1 ） d 

－ 5 ＝ a

＋（ 10 － 1 ） d 

 式－式得 40 ＝－ 5d ， d ＝－ 8

代入式得 35 ＝ a

－ 32 ， a

＝ 67

11

等差數列的應用

三月一日俊仲有存款 350 元，他自三月二日起

每日儲蓄 55 元，某日他結算存款總額為 2000

元，請問當日是幾月幾日？

解解

設自三月一日算起第 m 天，俊仲的存款總額為 2000 元。

俊仲每日存款總額成等差數列 350, 405, 460,

……, 2000 ，此等差數列的

首項 a

＝ 350 ，公差 d ＝ 55 ，第 m 項 a

＝ 2 000 。

a_m

＝ a

＋ ( m － 1)d

2000 ＝ 350 ＋ ( m － 1) × 55 55m ＝ 1705

所以三月三十一日俊仲的存款總額為 2000 元

。

1. 承例題 11 ，請問幾月幾日俊仲的存款才能 超過 3000 元？

設第 n 天的存款超過 3000 元，即 a

＞ 300 0

350 ＋（ n － 1 ） ×55 ＞ 3000 350 ＋ 55n － 55 ＞ 3000

55n ＞ 2705 ， n ＞ ＝ 49 ， 49 ＋ 1=50 ，　 50 － 31=19

所以四月十九日，存款會超過 3000 元。

541 11

11 2

2. 某戲院第一排有 24 個座位，每一排依次 比前一排多 2 個座位。已知最後一排有 72 個座位，請問這個戲院的座位共有多少排

？

＝ 24 ， d ＝ 2 ， a

＝ 72 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得 72 ＝ 24 ＋（ n － 1 ） ×2

72 ＝ 24 ＋ 2n － 2 n ＝ 25

共有 25 排座位。

如果 a, b, c 三數成等差數列，則 b 稱為 a 與 c 的 等差中項 。例如， 7, 11, 15 成等差數列

，則 11 為 7 與 15 的等差中項；－ 8, 12, 32 成 等差數列，則 12 為－ 8 與 32 的等差中項。

如果 a, b, c 成等差數列，則

2b ＝ a ＋ c

後項減前項等於公差 2

a



算術平均數

從上述的說明可知：

給予任意兩數 m 與 n ，則 m, , n 三數即成 等差數列。也就是說， 為 m 與 n 的等 差中項。

2

 2

m



12

等差中項的應用

已知 a, b, 3 成等差數列，且 a 、 b 兩數的和為

－ 9 ，求 a 、 b 的值。

解解

因為 a, b, 3 成等差數列， b 為 a 與 3 的等差中 項，所以 b ＝ 。

又 a 、 b 兩數的和為－ 9 ，即 a ＋ b ＝－ 9 。 聯立得

將式代入得 a ＋ ＝－ 9 2a ＋ a ＋ 3 ＝－ 18

a ＝－ 7

代入式得 ( － 7) ＋ b ＝－ 9 b ＝－ 2 2 3



b ＝



a ＋ b ＝－ 9 

2 3



2  3

1. 若 5 與 x 的等差中項為 7 ，求 x 的值。

＝ 7 ， 5 ＋ x ＝ 14 ， x ＝ 9 5 x  2

配合習作基礎題 7

2. 設 2a ＋ b, 8, 3a － 2b 成等差數列， a － b , 5,

a － 3b 也成等差數列，求 a 、 b 的值。

 式 ×4 －式得 18a ＝ 54 ， a ＝ 3 代入式得 15 － b ＝ 16 ， b ＝－ 1

(2a ＋ b) ＋ (3a － 2b)

＝ 16

(a － b) ＋ (a － 3b) ＝ 10

5a － b ＝ 16



2a － 4b ＝ 10



13

等差中項的應用

已知 a, b, 8, m, n 五數成等差數列，求此數列所

有數的和為多少？

解解

設此數列的公差為 d ，

則 b ＝ 8 － d ， m ＝ 8 ＋ d 所以 b ＋ m ＝ 16

又 a ＝ 8 － 2d ， n ＝ 8 ＋ 2d 所以 a ＋ n ＝ 16

a ＋ b ＋ 8 ＋ m ＋ n

＝ (a ＋ n) ＋ 8 ＋ (b ＋ m) ＝ 16 ＋ 8 ＋ 16 ＝ 40

事實上，由例題 13 的解題過程，我們可以 推導出：

對於任意一個等差數列 a

, a

, a

, a

, a

，設其公 差為 d ，則

a₁

＝ a

－ 2d ， a

＝ a

－ d ， a

＝ a

＋ d ， a

＝

＋ 2d

所以 a

＋ a

＝ (a

－ d) ＋ (a

＋ d) ＝ 2a

，得 a

＝ 。

a₁

＋ a

＝ (a

－ 2d) ＋ (a

＋ 2d) ＝ 2a

，得 a

＝ 。

即 a

是 a

和 a

的等差中項，也是 a

和 a

的等差中 項。

2

2 a

a

 2

1 a

a



已知 a

, a

, a

, a

, a

, a

, a

七數成等差數列，

若 a

＝－ 3 ， a

＝ 5 ，求：

(1) a

＝﹖

(2) a

＋ a

＝﹖

(1) 因為 a

＝ ，所以 5 ＝ ，得 a

＝ 13

(2) 因為 a

＝ ，所以 a

＋ a

＝ 2a

4

＝ 10

2

2 a

a



2 ) 3

(  

2

1 a

a



1. 數列：依序排列的一串數稱為數列，其中 的第一個數稱為第 1 項或首項，記為 a

；第 二個數稱為第 2 項，記為 a

；第三個數稱為 第 3 項，記為 a

；……；第 n 個數稱為第 n 項，記為 a

；數列中的最後一項也稱為末項

。而第 n 項的前一項即為第 n － 1 項，記為

a_{n － 1}

；第 n 項的後一項即為第 n ＋ 1 項，記

為 a

。

2. 等差數列：若一個數列中，任意相鄰兩項，

後項減去前項所得的差都相同，我們稱這樣 的數列為等差數列，並稱這個差為公差，通 常用 d 來表示。

3. 等差數列第 n 項公式：若一等差數列的首項 為 a

，公差為 d ，則第 n 項 a

＝ a

＋（ n

－ 1 ） d 。

4. 等差中項：

(1) 若 a, b, c 三數成等差數列，則 b 稱為 a 與 c 的等差中項，且 b ＝ ， b 為 a

、 c 的算 術平均數。

(2) 給予任意兩數 m 與 n ，則 m , , n 三數

即成等差數列。也就是說，

為 m 與 n

的等差中項。

2



2



2



1-1 自我評量

1. 已知下列各數列分別隱含某種規律，試依其規 律在空格中填入適當的數。

(1) 6, 1, － 4, － 9, － 14, ____ , － 24 。 (2) 1, － 1, 1, － 1, 1, ____ , 1 。

(3) 1, , , , , , 。

－ 19

－ 1 1 2

1 3

1 4

5 1

7 1

1 6

2. 請寫出下列各等差數列的前七項：

(1) 首項為 4 ，公差為 6 。 (2) 首項為 8 ，公差為－ 5 。 (3) 首項為 8 ，公差為－ 2d 。

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40

8, 3, － 2, － 7, － 12, － 17, － 22

8, 8 － 2d, 8 － 4d, 8 － 6d, 8 － 8d, 8 － 10d, 8 － 12d

3. 一等差數列的首項為 7 ，公差為 3 ，試求此 等差數列的第 15 項。

a₁

＝ 7 ， d ＝ 3 ， n ＝ 15 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得

a₁₅

＝ 7 ＋（ 15 － 1 ） × 3 ＝ 7 ＋ 42 ＝ 49

4. 一等差數列的首項為 21 ，第 13 項為－ 3 ， 試求此等差數列的公差。

a₁

＝ 21 ， a

＝－ 3 ， n ＝ 13 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得

－ 3 ＝ 21 ＋（ 13 － 1 ） d

－ 3 ＝ 21 ＋ 12d

5. 一等差數列的第 10 項為 9 ，第 6 項為－ 3 ， 試求此等差數列的首項與公差。

 式－ 式得 12 ＝ 4d ， d ＝ 3

代入式得 9 ＝ a

＋ 27 ， a

＝－ 18 9 ＝ a

＋（ 10 － 1 ） d



－ 3 ＝ a

＋（ 6 － 1 ） d



6. 請在下列空格中填入適當的數，使得各數列 成為等差數列。

(1) ____ , ____ , 6 , ____ , 16 , ____

16 ＝ 6 ＋ 2d ∴d ＝ 5 6 － 5 ＝ 1 ， 1 － 5 ＝－

4 ；

6 ＋ 5 ＝ 11 ， 16 ＋ 5 ＝ 21 。

－ 4 1 11 21

(2) 1, , , , － 17, 2

 7 － 8  25 2

43 2



－ 17 ＝ 1 ＋ 4 d ∴ d ＝

1 ＋（ ）＝ ，（ ）＋（

）＝－ 8 ，

（－ 8 ）＋（ ）＝

（－ 17 ）＋（ ）＝

9 2

 9 2

  2 7

7 2

  9 2 9 2

  25 2 9 2

  43 2

(3) m ＋ 2n, ________ , m － 6n, ________ , ______

__

∴ d ＝－ 4n

（ m ＋ 2 n ）＋（－ 4 n ）＝ m － 2 n

（ m － 6 n ）＋（－ 4 n ）＝ m － 10 n ，

（ m － 10n ）＋（－ 4n ）＝ m － 14n

m － 2n m － 10n m － 14n

32

7 113 2

3 2

19 233 2

(4) , , , , , 2 5 2

＝ ＋ 3d ∴ d ＝

＋ ＝ ， ＋ ＝ ；

＋ ＝ ，

＋ ＝ 。 2

5 2

2

2

5

7. 一等差數列的首項為 0 ，末項為 16 ，公差為 ，試問此等差數列共有多少項？

a₁

＝ 0 ， d ＝ ， a

＝ 16 ，

代入公式 a

＝ a

＋（ n － 1 ） d 得 16 ＝ 0 ＋（ n － 1 ） ×

n ＝ 33

此等差數列共有 33 項。

1 2

1 2

1 2

8. 已知 a, 8, b 三數成等差數列，且 2a － 3b ＝－

38 ，求 a 、 b 的值。

∵ a, 8, b 成等差數列　∴ a ＋ b ＝ 16

2a － 3b ＝－ 38 

 式 ×2 －式得 5b ＝ 70 ， b ＝ 14

代入式得 a ＝ 2

9. 喬巴練習長跑，他計畫星期一跑 1200 公尺，

以後每天增加某相同的距離，若星期六跑 3000 公尺，請問這六天喬巴每天各跑多少公尺？

設喬巴每天增加跑步距離 d 公尺，則 3000 ＝ 1200 ＋（ 6 － 1 ） d

d ＝ 360

故喬巴這六天跑步距離分別為 1200 公尺、

1560 公尺、 1920 公尺、 2280 公尺、 2640 公

尺、 3000 公尺。