重點二 餘弦定理及投影定理

國立台灣師大附中高一下補充教材 Ch2-5 正弦定理與餘弦定理 重點一 二邊角面積公式及正弦定理

1. 二邊角面積公式：

令ΔABC之面積以a ABCΔ 或Δ 表示,AB=c, BC=a, CA=b, 則a ABCΔ =

( 1

Δ = ×2

∵ 底×高 1

a (b sin C))

= ⋅ ⋅2 2. 正弦定理：

設ΔABC的外接圓半徑記為 R , AB=c, BC=a, CA=b, 則

(由 1 1 1

a ABC ab sin C bc sin A ca sin B

2 2 2

Δ = = = 以 2

abc乘之可得)

例題演練

例題 1. 在ΔABC中,若 a, b, c, 分別表 A∠ , B∠ ,∠C的對邊長,依下列各條件求ΔABC 的面積。

(1)b=5,c=6, ∠ =A 60^o (2)a=7, b=10, ∠ =C 45^o

例題 2. 在半徑為 4 之一圓上取三點 A , B ,C使AB之度數： BC 之度數： CA 之度數為 3 : 4 : 5 , 則ΔABC之面積為 。

例題 3. 設 a, b, c, 為ΔABC之三邊長, 且a+ −b 2b=0, 3a+4b 5c− =0, 求 sin A : sin B : sin C= 。

例題 4. ΔABC中, ∠ =B 55^o, ∠ =C 65^o, a=10, 則ΔABC的外接圓面積為 。

例題 5. 設圓內接四邊形ABCD中∠CAD=30^o, ∠ACB=45^o, CD=2, 求

AB= 。

課後練習

1. Δ 之外接圓半徑為 4 , 若 度數： BC 度數：CA 度數為 , 則Δ 之

24.ΔABC之三邊長為 a, b, c ,外接圓半徑為 R ,若 a, b, c 均小於 3 R ,則ΔABC必為 (A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)無法判斷

25.若方程式8x³−60x²+142x 105− = 的三根分別為 , ,0 α β γ ,現以此三根為邊長構成 一三角形,試求所形成三角形面積。

21.ΔABC中, 各邊BC, CA, AB 的高分別為h , h , h ,若_{a b c} h_a =20,h_b =15,h_c =12, 則三邊長(a, b, c)= 。

22.設ΔABC三邊BC,CA, AB 上的中線長分別為 5, 6, 7 ,則ΔABC的面積為 。

23.ΔABC中,若 AB 4= ,AC=5,BC=6, D, E 為BC之三等分點,若∠DAE= θ, 則cosθ =

2. 三角形之三內角比為A : B : C=1: 2 : 3, 則a : b : c= 。

3. 於ΔABC中, AB=5AC, P∈BC但異於 B, C 點, 設 R, r 分別表 ABPΔ 與ΔACP之外 接圓半徑, 試求 r

R 之值。

4. 設圓內接四邊形ABCD中, AB=30, ∠CAD= ∠CBD=45^o, AC交 BD 於O且 ∠AOB=75^o, 則 CD= 。

5. 設圓內接四邊形ABCD, AB=AD=5, ∠ =C 90^o, ∠ =D 105^o, 則

(1) AC= 。(2) BD= 。(3)四邊形ABCD面積為 。

β γ α

E D

A

B C

θ 30°

45° 45°

B D E C

A 6. 如右圖,ΔABC中,∠ =C 90^o,且 AD DE= =EB,

已知∠ACD= α, DCE∠ = β , ECB∠ = γ , 則sin sin

sin α ⋅ γ =

β

7. 如右圖所示,已知大圓的半徑是小圓半徑的兩倍, 則θ =

8. 如右圖, D, E 點在ΔABC的BC邊上, 如果∠ACB= ∠ADC=45^o,

試問ΔABC, ABDΔ 與 ABEΔ 的外接圓 的半徑r , r 與_{1 2} r 的大小關係為何？ ₃

課後練習

18.甲,乙,丙三鄉,兩兩相距 4 公里,6公里,8公里,今欲設一個到三鄉距離相等的公園,

此距離為 公里。

19.梯形ABCD中, 若AD // BC且AB 13= , BC=25, CD=15, AD 11= , 則梯形面

積= 。

20.ΔABC中, AB 4= ,AC=3,∠ =A 60^o,求：

(1)Δ 的面積= 。 (2) BC= 。 (3)Δ 的外接圓半徑= 。 (4)分角線 AD= 。(5)中線 AM= 。

例題 14.ΔABC中,已知BC=5,CA=7,AB=8,則最長邊上之中線長為 。

例題 15.ΔABC之內切圓半徑為 r ,切 BC, CA, AB 於 D, E, F ,BC=a,CA=b,AB=c, a b c

s 2

= + +

(1)求證 A (s b)(s c) tan 2 s(s a)

− −

= − 。

(2) 若 a, b, c 成等差, 則 A C tan tan

2⋅ 2 = 。 (3)a DEF

a ABC

Δ =

Δ 。

重點二 餘弦定理及投影定理

1. 餘弦定理：

ΔABC中, AB=c, BC=a, CA=b, 則

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cos A b c a 2ca cos B c a b 2ab cos C

⎧ = + −

⎪ = + −

⎨⎪ = + −

⎩

並由餘弦定理可得

o 2 2 2

o 2 2 2

o 2 2 2

A 90 a b c A 90 a b c A 90 a b c

⎧∠ = ⇔ = +

⎪∠ > ⇔ > +

⎨⎪∠ < ⇔ < +

⎩

(廣義之畢式定理)

2. 投影定理：

a b cos C c cos B b c cos A a cos C c a cos B b cos A

= +

⎧⎪ = +

⎨⎪ = +

⎩

例題演練

例題 6. ΔABC中, 若 (b c) : (c a) : (a b) 6 : 7 : 5+ + + = , 求最大角的cos值= 。

例題 7. ΔABC中, D 在BC上且AB=7, BD=3, AC=3, CD=2, 求 AD= 。

例題 8. 四邊形ABCD內接於圓, 已知AB=5, BC=5, CD=2, ∠ =B 60^o, 求

DA= 。

例題 9. 若 (a b c)(a b c) 3ab+ + + − = , 則∠ =C 。

例題 10.ΔABC中,(1)若c⁴−2(a²+b )c^{2 2}+a⁴+a b^{2 2}+b⁴ = , 則0 ∠ =C 。 (2)若 (sin A sin B sin C)(sin A sin B sin C) 3sin A sin B+ + + − = , 則∠ =C 。

(4)已知外接圓半徑 R： abc Δ = 4R 證明：

2. 相關幾何定理：

(1)平行四邊形性質定理：平行四邊形各邊的平方和等於對角線的平方和。

(2)三角形的中線定理：Δ ABC 中令 AD 為BC邊上的中線,則

2 2 2 2

AB +AC =2(AD +BD )

(3) 三角形的角平分線：利用面積可求得。

例題演練

例題 12.設ΔABC中, 其三邊長為 5, 6, 7 ,求：(1)此三角形之面積 (2)外接圓之半徑 (3)內切圓之半徑

重點三 三角形邊角關係的應用

1. 面積公式：

(1)已知三邊：Δ = s(s a)(s b)(s c)− − − , a b c

s 2

= + + (海龍公式) 證明：

(2)已知兩邊與夾角： 1 1 1

ab sin C bc sin A ca sin B

2 2 2

Δ = = =

(3)已知內切圓半徑 r：Δ =rs 證明：

例題 11.ΔABC中, a, b, c 表三邊長, 其對角為 A , B , C ,若 a= 5 1+ , b= 3 1+ , c= −5 5, 則(b c) cos A+ + +(c a) cos B (a+ +b) cos C= 。

課後練習

9. ΔABC中, 若 1 tan A

= , 3 BC=5, AC 3 10= , 則 AB= 。

10.ΔABC中, AB 5, BC 6, CA 7= = = ,其內切圓切三邊 BC, CA, AB 於 D, E, F,求 AD= 。

11.凸四邊形ABCD內接於圓, 已知AB=BC=3, CD=5, DA=8, 則 BD= 。

G D B

F C

E A

12.ΔABC中, 若log (a₃ + + +b c) log (a₃ + − = +b c) 1 log a₃ +log b₃ , 則∠ =C 。

13.ΔABC中, 若a cos A=b cos B, 試證ΔABC為等腰三角形或直角三角形。

14.設ΔABC中, AB 4= ,BC=5,CA=7,如圖分別

B C

D E

A

15.如右圖,已知ΔABC, AB 4= ,BC=6,CA=5, 由AC邊作一個正方形ACDE,試求 BE 的長

16.ΔABC中,若 b a a c+b c =1

+ + ,則∠ =C

17.三角形ABC之三邊長為x²+ + , x 1 x²− , 2x 11 + ,則最大角角度為幾度？