t 导数 导数

•教学目的：导数

•教学重点：导数定义等价形式

•教学难点：基本初等函数导数

•副知识点 : 可导与连续

导数

导数

导数

导数引入 ^{基本初等函数}_的导数 可导与连续 导数定义

单侧导数 导数几何意义

指数函数 对数函数

幂函数 导函数

变速直线运动的瞬时速度：

0 0 0

) ( )

) (

( t t

t s t

s t

t s

v 

 



 

0 t⁰ t

) (t₀

S S

) (t S

0 t₀ t

) (t₀

S S

) (t S

0 t0 ^{t t}

S

t

S )

(t₀ S

) (t S

A

B

导数引入

的变化快慢程度。

随时间 距离

处

度即：在越小，在时间点的速度。之间的平均速度就越来反应 处的速 度，接近 时间段中 变化快慢的平均程

上式反应了

t x

S t

x

t t

t t

t

x S t

t

) ( ,

) (

0

0 0

0 0





为割线 处的切线，

是 其中

或

的瞬时速度，数学上称 时，所得值称为

当

AB t

L t

t K

K

t t v

t

t S t

t S S t

t v

t S t

t S

t t

L AB

t t

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

0

), (

) ) (

( )

lim ( )

( )

) ( ( )

lim (

0





 

 



 





 











0 x0 ^x

y

x

f )

(x₀ f

) (x f

) )(

( )

(

: ( ),

0 0

0

0x x x

f x

f y

L K x x

K_{AB L}

 



 



A

B

B f

x

x

L

0 0

0

) ) (

(

) ( )

(

) ( )

lim ( lim

0

).

( )

( :

,

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

x x x

x x

x x x

dx x df dx

y dy x

f

x x

x f x

x x

f

y x

x f x

x f x

x y

x f x

x f y

x x

x























 



 



 















、

、

、 处的导数，记为

在 为

处可导，并称此极限值 在

函数

存在，则称 时，极限

若 相应函数增量

有增量

L

定义： ^{设函数f (x)在点x0的某个定义域内有定义，在}

变化情况 向反应函数在从左向右看，切线 的方

处的变化率 在 的倾斜程度反应

线 的极限位置就是切 割线

0 0

) (

x L

x

x f x

L AB

导数定义也可取如下形式：

0 0 0

) (

) lim (

)

( 0

x x

x f

x x f

f _{x x}



 

 

导数定义

x

x f

x x

x f

f







 



( ) ( )

lim )

(

如果函数：

y  f (x )

( b a , )

可导，就称

y

f

^{( b a , )}

这时，对于作一

x  ( b a , )

个确定的函数值，这样就构成了一个新函数，这个 新函数叫做原来函数

f (x )

dx x df

dx x dy

f

y ( )

)

( 、 、

 、 

导函的定义式为：

导函数定义

0 ) lim

( )

lim ( )

(





 







 



x C C

x

x f

x x

x f

f

的导数 为常数

：

例1 f (x)  C (C )

解：

常数函数的图像是水平的，是没有变化。所以 它 的导数为零

分析：注意：导数就是描述其变化的量。想一想，常 数函数的导数是多少

?

例题

a a

ln



( ) ^x ( 0, 1) f x  a a  a  求的导数

解：

x

x f

x x

x f

f







 



( ) ( )

lim )

(

x a a

x a

a

x x

x x

x

x



 







1 lim

lim

x

a a

x

a x

a











 ln

lim

ln

~

1

x

x

e

e )  (

特例：

指数函数导数

例 2

( ) log (

0, 1) f x  x a  a  求的导数

解：

x

x x

x x

f







 



log ( ) log ( ) lim

)

(

) 1

( 1 log

lim

x x x

x

x

x

 

 





x x

x a

x x x







 

 1 lim log ( 1 )

0

a e x

x

ln

log 1

1 



对数函数导数

例 3

( ) ( ) f x  x



求为常数的导数

解：

x

x x

x x

f







 



( )

lim

)

(

x x

x

x

x



 

 



( 1 ) 1 lim





lim0

x

x x x

x

 

 

 

 

1

  x

2

1

1

) (

1 )

( x x

x  

   特例：

幂函数导数

(1 x) 1 ~ x ( 0)

x x x

 

 

      

 

 ）

例 4

- x

x f

x x

x f

f _x







 

  



) (

) lim (

)

( ₀ ^{0 0}

0

x

y

) (x₀

f B

0 x

y

f ( x )  x

某点处的导数代表该点处的函数变化趋势。顾名 思义，单侧导数是指某点处的单侧变化趋势的量。如图

左导数：

x

x f

x x

x f

f _x







 

 _



 

) (

) lim (

)

( ₀ ^{0 0}

右导数：

) (

)

( x

f x

f

 

 f

 ( x

)  f

 ( x

)

某点处两侧的函数变化趋势相同才能说某点的处函数 如何变化。否则不说某点的变化趋势，即导数不存在定理：函数在某点可导的充要条件是左右导数分别存在 且相等即：

f

 ( x

)  f

 ( x

)

单侧导数

x x x

x x

f x

f



 







 







 ) ( 0 ) | ( 0 | 0 | | 0

(



0 x

y

处的导数不存在 在 0

)

( 

 f x x

1



 

    

x

f _x | x |

lim )

0

( ₀

上可导及函数 都在开区间存在，则称 内可导，且在闭区间 如果

] ,

[ ( ) ( )( ) ( , )( ) b

a a f b f x

f f x a b



 

在 处的导数

：讨论

例 5 f ( x )  | x | x  0

解：

_  1



 

   

x

f _x | x |

lim )

0

( ₀

 



( 0 )

f ？ ？

例题

) 2 4 (

1 2

1   

 x

y

处切、法线方程 在点

：求双曲线

例 )

2 , 1 2 1 (

) (

6 f x  x

由前面导数的几何意义知 :解：

所以切线方程为 :

4

) 1 ( 1

1 ) ( )

0

(  

 

 

 

x f x

k



所以法线方程为 :

4 ( 2 ) 2

1  

 x

y

导数几何意义



 



x x

x

3

0

lim 0

处的切线 在

：求曲线

例 7 f ( x ) 

x x  0

解： 由于函数在该点处连续 :

0

) 0 ( )

lim ( )

0

(



 



x

f x

f

f

不可导，但在原点 在

所以f (x) x  0

0 : x  x轴垂直的切线

有与

例题

解：

例 8 ：求过原点且与曲 线

e

y 

设切点为

P

( x

, y

)

0 0

)

( e

e

e

k  





则切方程为：

y  y

 e

( x  x

)

又因原点在切线上所以：

) 0

(

0  e

 e

 x

解得：

x

 1

) ,1

0

( e

P

) 1 ( 



 e e x y

y

x

x0

) , ( _{0 0}

0 x y

P

例题

如果函数某点处可导，那么函数在该 点处 必连续

定理：

证明：

所以设函数

y  f (x )

x

x x y

f



 



lim

) (

存在，则由极好运算法则有：

0 lim

lim lim

lim



 



 



 

 







x

x x y

x

y

y

x

设函数

y  f (x )

x

可导与连续

例 9 ：讨论函数

所以函数

y  f (x )

x  0

x x x

x

f x

f

x

x



 

 

















1 0 sin ) lim

0 ( )

0

lim

(

处的连续性与可导性









 

0 ,

0

0 1 ,

) sin (

x x x

x x

f 在点

x  0

解：因为 _{x 0 x 0}

1 0 ， sin

lim )

( lim

, 0 )

0

( 





x x x

f f

所以函数

f (x )

x  0

x

x 

 _{ } 1 sin

lim_{0 ( 不存在 )}

可导与连续