單元二：垂直與平分

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單元二：垂直與平分 課文 A：垂直與平分

這單元要談到垂直與平分的概念。

如左圖，兩條直線或線段相交成直角時，我們 稱直線 𝐿 與 𝐴𝐵̅̅̅̅ 互相垂直，記作𝐿 ⊥ 𝐴𝐵̅̅̅̅ ，讀 作「直線 𝐿 垂直線段 𝐴𝐵」。

𝐿 就是 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的垂線，而𝑂點稱為「垂足」。

如左圖，直線 L 與 𝐴𝐵̅̅̅̅ 垂直；而且𝐴𝑀 = 𝐵𝑀。

直線 L 就稱為 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中垂線或垂直平分線。

如左圖，∠AOC = ∠COB 。 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 就稱為 ∠AOB 的角平分線。

(垂線)

(垂足)

2

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是垂線，並畫出例子。

2. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是中垂線，並畫出例子。

3. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是角平分線，並畫出例 子。

3

․隨堂練習：

1. 如下圖，F 點在 𝐴𝐸⃡⃗⃗⃗⃗ 上，𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 平分∠AFC ，𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 平分∠CFE ，

∠DFE = 53° ，則：

(1)∠AFB = ？

(2) 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 是否垂直 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ？

還是不太懂，

請看下面影片

https://youtu.be/w8wnMJ3oS-Y

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單元三：線對稱 課文 A：線對稱

如上圖，將圖形沿著一條直線對摺，可以讓直線的兩側能完全重合，

這圖形就是「線對稱圖形」，而這條直線即為此圖形的「對稱軸」。

如左圖，對摺後會重疊在一起的點，稱為「對 稱點」，例如： C點 與 C′點、D點與 D′點等；

而 A點在對稱軸上，A點的對稱點就是本身。

對摺後會重疊在一起的線段，稱為「對稱線 段」，例如： 𝐴𝐶̅̅̅̅ 與 𝐴𝐶′̅̅̅̅̅、 𝐶𝐷̅̅̅̅ 與 𝐶′𝐷′̅̅̅̅̅̅等。

對摺後重疊在一起的角，稱為「對稱角」，

例如：∠1 與 ∠2、∠CDF 與 ∠C′D′F′等。

如左圖，對稱圖形的對稱軸，會垂直平分圖 形上互相對稱的任兩點連線段。

例如：線段 𝐸𝐸̅̅̅̅̅ 、𝐶𝐶′^′ ̅̅̅̅̅、𝐷𝐷′̅̅̅̅̅、𝐹𝐹′̅̅̅̅̅都會被直 線 L 垂直平分。

5

我們接下來就利用線對稱性質來找對稱軸及完成對稱圖形。

Ex1.畫出下列各個圖形所有的對稱軸。

等腰三角形 箏形 菱形 正方形

◎解題思維：

𝐿₂ 第一個圖形是等腰三角形，如

果 我 們 沿 著 上 圖 中 的 𝐿₁ 對 折 ， 會 發 現 兩 邊 不 會 完 全 重 疊，所以 𝐿₁ 就不是等腰三角形 的對稱軸。

而如果是沿著上圖中的這條線 𝐿₂ 對摺，就會發現兩邊會重 疊，所以 𝐿₂ 就是等腰三角形的 對稱軸。

它的對稱軸只有一條，就是從頂 角畫到底邊的中點。

𝐿₁

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𝑀₂ 第二個圖形是箏形，我們是沿

著上圖中的 𝑀₁ 對折，會發現兩 邊不會完全重合，所以 𝑀₁ 就不 是箏形的對稱軸。

而如果是沿著上圖中的這條線 𝑀₂ 對摺，就會發現兩邊會重 疊，所以 𝑀₂ 就是箏形的對稱 軸。它的對稱軸只有這一條。

𝑁₁

第三個圖形是菱形，我們沿著上 圖中的 𝑁₁ 對折，會發現兩邊會完 全地重合，所以 𝑁₁ 這條直線是菱 形的對稱軸。

我們沿著上圖中的 𝑁₂ 對折，也會 發現兩邊會完全重合，所以 𝑁₂ 這條直線也會是菱形的對稱軸。

它的對稱軸有兩條，就是菱形的 兩條對角線。

𝑁₂

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第四個圖形是正方形，它的對稱軸就有很多 條。它有四種對稱方式：可以左右對稱、上 下對稱、左上角跟右下角對稱、左下角跟右 上角對稱，所以會有四條對稱軸。

如右圖。

Ex2.

下圖是線對稱圖形的一半，以直線L 為對稱軸，完成此對稱圖形。

◎解題思維：

以直線L 為對稱軸，直線L 是鉛直的直線。

先將各個點的對稱點畫出來，再將各點連線起來就可以完成圖形了。

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從 A點開始畫，因為 A點就在對稱軸上所以對稱點就是自己。

B點是在對稱軸右邊 4 格的地方，所以 它的對稱點 B′點會是在對稱軸同一水 平線上左邊 4 格的地方。

連接 𝐴𝐵′̅̅̅̅̅。

C點是在對稱軸右邊 2 格的地方，所以 它的對稱點 C′點會是在對稱軸左邊 2 格的地方。

連接 𝐵′𝐶′̅̅̅̅̅̅。

D點是在對稱軸右邊 4 格的地方，所以 它的對稱點D′點會是在對稱軸左邊 4 格的地方。

9

連接 𝐶′𝐷′̅̅̅̅̅̅。

E點是在對稱軸右邊 1 格的地方，所以 它的對稱點E′點會是在對稱軸左邊 1 格的地方。

連接 𝐷′𝐸′̅̅̅̅̅̅。

F點是在對稱軸右邊 1 格的地方，所以 它的對稱點F′點會是在對稱軸左邊 1 格的地方。

連接 𝐸′𝐹′̅̅̅̅̅跟𝐺𝐹′̅̅̅̅̅。

10

重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋什麼是線對稱圖形，並畫出 例子。

2. 根據上面的課文，用自己的話解釋「對稱軸、對稱點、對稱線段、

對稱角」這四個名詞，並找出上題所畫出的線對稱圖形的「對稱 軸、對稱點、對稱線段、對稱角」。

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3. 對稱圖形有一個性質：「在對稱圖形中，對稱軸會垂直平分圖形 上互相對稱的任兩點連線段」，它的原因為何？

4. 請利用提問 3 的對稱圖形性質，完成下面對稱圖形。

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․隨堂練習：

1. 下列各個交通號誌圖皆為線對稱圖形，畫出各圖所有的對稱軸。

2. 下圖是線對稱圖形的一半，以直線L 為對稱軸，完成此對稱圖形。

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3. 已知 A 點坐標為 (5, −3) ，則：

(1) 以 𝑥 軸為對稱軸， A 點的對稱點坐標為何？

(2) 以 𝑦 軸為對稱軸， A 點的對稱點坐標為何？

還是不太懂，

請看下面影片

https://youtu.be/YNui4hmwwzs

Ex1 不太懂，

請看下面影片

https://youtu.be/Y5pE7dhVKNo

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課文 B：特殊對稱圖形的性質

接下來要介紹一些比較特殊的對稱圖形。

第一個介紹等腰三角形。等腰三角形指的是兩邊相等 的三角形。例如右圖，兩腰 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅，

𝐵𝐶̅̅̅̅ 是底邊，所以△ABC 為一個等腰三角形。

這個等腰三角形可以沿著 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 對摺，使 B 點疊合在 C 點上，𝐴𝐵̅̅̅̅ 和 𝐴𝐶̅̅̅̅

疊合，也就是 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 是△ABC 的一條對稱軸，B 點的對稱點為 C 點。

這就可以得到以下四個性質：

第一點， 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 𝐷𝐶̅̅̅̅ ，也就是 D 點是 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點。

第二點，因為 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 是對稱軸，B、C 是對稱點，所以 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐶̅̅̅̅ 。 第三點，對摺之後明顯發現 ∠1 = ∠2。

第四點，對摺之後也會發現 ∠C = ∠B。

我們將上述四點做個簡單的整理：

等腰三角形的兩底角相等，且對稱軸𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 是底邊的中垂線、高與頂角 的角平分線。

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Ex1.如右圖， △ABC 中， 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5，

𝐵𝐶̅̅̅̅ = 6 ，求這個三角形的面積為多少？

◎解題思維：

令底邊的高為 𝐴𝐷̅̅̅̅ ，𝐴𝐷̅̅̅̅ 是對稱軸，所以會垂直 平分 𝐵𝐶̅̅̅̅ 。如右圖：

想求出三角形面積前，必須先求出高 𝐴𝐷̅̅̅̅ 。

因為 𝐴𝐷̅̅̅̅ 會垂直平分 𝐵𝐶̅̅̅̅ ，所以 ∠ADB = 90° ，且 𝐵𝐷̅̅̅̅ = ¹₂𝐵𝐶̅̅̅̅ = 3。

△ABD 為一個直角三角形，利用畢氏定理：「𝐴𝐷̅̅̅̅² + 𝐵𝐷̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²」，

△ABD 斜邊就是 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 5 ，兩股分別是 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 3 及 𝐴𝐷̅̅̅̅ ，可列式子：

𝐴𝐷̅̅̅̅² + 3² = 5² 整理 𝐴𝐷̅̅̅̅²+ 9 = 25 移項 𝐴𝐷̅̅̅̅² = 25 − 9 = 16

𝐴𝐷̅̅̅̅ = ±4 (因為𝐴𝐷̅̅̅̅是線段長，必須為正的，負不合) 所以 △ABD 面積 = ¹₂× 6 × 4 = 12

5

6 5 5

6 5

16

第二個要介紹的是菱形，菱形指的就是四邊等長的四邊形。

如右圖，𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐷𝐴̅̅̅̅，

所以四邊形 ABCD 就是一個菱形。

菱形也是一個對稱圖形，沿著 𝐵𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 對摺，使 A 點疊合在 C 點上，𝐴𝐵̅̅̅̅ 和 𝐶𝐵̅̅̅̅ 疊合，𝐴𝐷̅̅̅̅ 和 𝐶𝐷̅̅̅̅ 疊合，也就是 𝐵𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 是 菱形 ABCD 的一條對稱軸，A 點的對稱點為 C 點。所以 𝐵𝐷̅̅̅̅ 會垂直平分 𝐴𝐶̅̅̅̅ 。

再者，對摺之後明顯發現 ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4，所 以可以知道「對稱軸 𝐵𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 會平分角 ∠AB𝐶 及 ∠AD𝐶」。

菱形還有另一條對稱軸，沿著 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗⃗ 對摺，使 B 點疊合 在 D 點上，𝐴𝐵̅̅̅̅ 和 𝐴𝐷̅̅̅̅ 疊合，𝐶𝐵̅̅̅̅ 和 𝐶𝐷̅̅̅̅ 疊合，也就是 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗⃗ 是菱形 ABCD 的另一條對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 𝐴𝐶̅̅̅̅ 會垂直平分 𝐵𝐷̅̅̅̅ 。

再者，對摺之後明顯發現 ∠5 = ∠6 ，∠7 = ∠8，

所以可以知道「對稱軸 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗⃗ 會平分角 ∠BAD 及 ∠BCD」。

因此，菱形的兩條對角線互相垂直平分，而且對角線會平分內角。

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第三個要介紹的就是箏形，箏形也是一個對稱圖形， 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗⃗ 對 稱軸。所以 𝐴𝐶̅̅̅̅ 會垂直平分 𝐵𝐷̅̅̅̅，也會平分 ∠BAD 及 ∠BCD，

使得∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠4。

與菱形不同的是，箏形只有一條對稱軸，另外一條對角線 𝐵𝐷̅̅̅̅ 不是箏形的對稱軸，所以箏形的兩條對角線互相垂直，

但是只有其中一條對角線會平分另外一條對角線。

我們來看一個特殊的直角三角形！

Ex2.圖中有一個直角三角形，𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10，∠A = 30°，

∠B = 60°，∠D = 90° ，請問：

（1）△ABD的面積為多少？

（2）△ABD三邊長的連比？

◎解題思維：（面積）

這個 △ABD 就是一個 30° - 60° - 90° 的直角三角形，想求出這個 三角形三邊長的面積就必須找出它的底（𝐵𝐷̅̅̅̅）跟高（𝐴𝐷̅̅̅̅）來。

如下圖，如果以𝐴𝐷̅̅̅̅為對稱軸做對稱圖形的話，發現 ∠BAD =

∠CAD = 30°，∠B = ∠C = 60°。

𝟏𝟎

𝐴

60°

30°

18

從上述可以知道 ∠CAB = 2 × 30° = 60° ，∠B = 60°，∠C = 60°，

所以 △ABC 就是一個正三角形。因此 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10 。 又 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗⃗ 垂直平分 𝐵𝐶̅̅̅̅ ，所以 𝐵𝐷̅̅̅̅ = ¹

2𝐵𝐶̅̅̅̅ = ¹

2× 10 = 5 。

△ABD 這個 30° - 60° - 90° 的三角形就是一個直角三角形，

由「畢氏定理」可列出：𝐴𝐷̅̅̅̅² + 𝐵𝐷̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²。 𝐴𝐷̅̅̅̅²+ 5² = 10²

𝐴𝐷̅̅̅̅² = 10² − 5² = 100 − 25 = 75 𝐴𝐷̅̅̅̅ = ±√75 = ±√5²× 3 = ±5√3 (因為𝐴𝐷̅̅̅̅是線段長，必須為正的，負不合)

△ABD 面積 =¹

2× 𝐵𝐷̅̅̅̅ × 𝐴𝐷̅̅̅̅

=1

2× 5 × 5√3 = 25√3 2

𝟏𝟎

60°

30°

60°

30°

𝟏𝟎

60°

30°

60°

30°

𝟓

𝟏𝟎

𝐴

60°

30°

𝟓

𝟓√𝟑

19

𝟒

◎解題思維：（邊長連比）

𝐵𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10：5√3：5 同÷ 5

= 1： √3 ：2

事實上，我們給任何一個 30° - 60° - 90° 的三角形都可以做出正三角 形，而 30° - 60° - 90° 三角形的邊長比都一定是

(30° 的對邊 ：60° 的對邊：90° 的對邊) = 1：√3：2 直接利用這個邊長比來試試看！

Ex3.如圖，直角三角形ABC 中，∠A = 30° ，

∠C = 90° ，𝐵𝐶̅̅̅̅ = 4 ，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 和𝐴𝐶̅̅̅̅ 的長度。

◎解題思維：

由題目可以知道△ABC 是一個 30° - 60° - 90° 的直角三角形，它 的邊長比是 1：√3：2 。

題目給的資訊為 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 4 ，是∠A = 30° 的對邊；

而 𝐴𝐶̅̅̅̅ 是∠B = 60° 的對邊、𝐴𝐵̅̅̅̅ 是∠C = 90° 的對邊。

所以 △ABC 三邊比𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐴𝐶̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 1：√3：2 ， 也就是 4：𝐴𝐶̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 1：√3：2 。

可以得知 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 4 × √3 = 4√3 ；𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4 × 2 = 8。

× 4

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除了 30° - 60° - 90° 這種直角三角形有特殊的邊長比以外，還有另外 一種特殊的直角三角形就是 45° - 45° - 90° 。

將一個正方形對切，就會產生 45° - 45° - 90° 這種直角三角形。因此 可以知道這三角形有兩邊會相等，都是正方形的邊長，而且有一個內 角是直角，也就是說 45° - 45° - 90° 是等腰直角三角形。如下圖，

𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅，∠C = 90° ：

假設 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝑎 ，因為是直角三角形，所以由畢氏定理可以列出 式子：𝐴𝐵̅̅̅̅² = 𝐴𝐶̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²，

所以 𝐴𝐵̅̅̅̅² = 𝑎²+ 𝑎² = 2𝑎² 開根號 𝐴𝐵̅̅̅̅ = √2𝑎² = √2𝑎

所以 △ABC 的三邊長的連比 𝐴𝐶̅̅̅̅：𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅

 a

1 : 1 : 2

a





任何 45° - 45° - 90° 三角形的邊長比都一定是 1：1：√2 ！

D

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重點提問

1. 根據上面的課文，請敘述等腰三角形的對稱性質，並舉例說明。

2. 根據上面的課文，請分別敘述菱形和箏形的對角線性質，並舉例 說明。

22

𝒂

3. 右圖為一腰長為 𝑎 的等腰直角三角形ABC 。

這是個等腰直角三角形，所以三個內角分別為：

∠BAC = 度；∠ABC = 度；∠BCA = 度。

由「 定理」可以列出 △ABC 關係式： AB̅̅̅̅² = ， 所以 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 。

故 △ABC 這個 45° - 45° - 90° 特殊直角三角形的邊長比 𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐶𝐴̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 。

4. 有一個邊長為 𝑎 的正三角形ABC，𝐵𝐶̅̅̅̅ 上的高為 𝐴𝐷̅̅̅̅ 。 而當中的 △ABD 會是 30° - 60° - 90° 特殊直角三角形，

其邊長比𝐵𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 1：√3：2。

證明過程如下，請將它完成。

𝐴𝐷̅̅̅̅是 正三角形ABC 的高，會 垂直平分 𝐵𝐶̅̅̅̅ ，也會 平分 ∠A。

∠

Ｂ

Ｂ

𝐵𝐷̅̅̅̅＝

𝒂 𝒂

23

𝒂

由 △ABD 的三個內角可以得知 △ABD 是一個 直角 三角形，而 根據「 畢氏 定理」可以列出一個 △ABD 邊長關係：

。 因此 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 。

所以 △ABD 這個 30° - 60° - 90° 的特殊直角三角形，

其邊長比 𝐵𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = = 1：√3：2。

5. 承重點提問 3，邊長為 𝑎 的正三角形ABC的面積會是怎麼算呢？

三角形面積 = ¹

2× 底 × 高，

所以 △ABC面積 = ¹

2× BC̅̅̅̅ × 𝐴𝐷̅̅̅̅。

又因為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 是正三角形ABC 的 ，所以 𝐵𝐶̅̅̅̅ = ； 而承重點提問 3，𝐴𝐷̅̅̅̅ = 。

因此 △ABC面積 = ¹

2× BC̅̅̅̅ × 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 。

24

․隨堂練習：

1. 如右圖， △ABC 中， 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 13，𝐵𝐶̅̅̅̅ = 10 ， 求這個三角形的面積為多少？

2. 如右圖，直角三角形ABC 中，∠A = 60° ，∠C = 90° ， 𝐶𝐴̅̅̅̅ = 3 ，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 和𝐵𝐶̅̅̅̅ 的長度。

𝟏𝟑

𝟏𝟎 𝟏𝟑

𝟑

25

3. 如右圖，△ ABC 中，∠A = 90° ，𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅， 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2√2 ，D 是 𝐵𝐶̅̅̅̅ 上 的中點，則

(1) 𝐴𝐵̅̅̅̅ = ？𝐴𝐶̅̅̅̅ =？

(2) △ ABC 面積為多少？

(3) 𝐴𝐷̅̅̅̅ =？

4. 如右圖，△ ABC 是邊長為 4 的正三角形，求面積為多少？

𝟐√𝟐

𝟒

26

5. 如右圖， △ABC 中， 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 4，

∠

(2) △ ABC 面積為多少？

𝟒

30°