y  的兩焦點為 A﹑B﹐而雙曲線 x

(1)

高師大附中108 學年度第二學期期末考高二自然組(仁信〜 )數學科試題

一、多選題：(每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上該題不給分，共24 分)

1.坐標平面上﹐下列敘述何者正確﹖　

(A) 1 ² ²

| | ( 2) ( 1) 3

x  x  y 之圖形為拋物線。　

(B) ₅₍_x²__y²_{) | 2}_ _{x y}_{ }_1|之圖形為拋物線　。 (C) (x2)²y²  (x2)²y² 5之圖形為橢圓。　

(D)| (x1)²(y3)²  (x3)²y² | 5 之圖形為雙曲線。　

(E)3x²2y²6x8y 5 0之圖形為雙曲線。

2.已知橢圓1﹕( 1)² ² 25 9 1

x  y  的兩焦點為 A﹑B﹐而雙曲線2﹕( 3)² ² 9 27 1

x  y  的兩焦點為 C﹑D﹐且兩動點 P 與 Q 滿足 P¹且Q2﹐則下列選項何者正確﹖　(A)¹與2的圖形有3 個交點　(B)1與2的圖形有4 個交點　(C)滿足△PAB 為等腰三角形的 P 點有 6 個 (D)滿足△QCD 為等腰三角形的 Q 點有 4 個　(E)1與2有一共同的焦點。

3.在座標平面上，下列敘述何者正確﹖　(A)

2 2

( 1) 4 9 1

x  y  經過適當的平移旋轉後可以變

成

2 2

9 4 1 x y

  　(B) ( 1)² ² 4 9 1 x y

  經過適當的平移旋轉後可以變成 ² ² 1 9 4 x y

  　(C)以點 (1,1)為中心﹐漸近線為 x  y  0 與 x  y  2﹐且貫軸長為 6 的雙曲線恰有一個 (D)能 夠找到以y 軸為準線，(2,2)為焦點﹐且通過點(4,4)的拋物線　(E) 能夠找到以 y 軸為準線，通過(2,2)及(2,-3)的拋物線。

4.已知 cos sin sin cos

A  

 

  

  

 ﹐B 代表對直線 y＝（tanθ）x　的鏡射變換，線性變換 C p r

q s

 

  

 ﹐ 1 0 I 0 1

  

 ，則下列哪些選項中的敘述是正確的﹖　(A)若A⁶ I ﹐則

=600

 或600

(B)AB＝BA (C)AB　為鏡射矩陣　(D) 若 M 為二階方陣，MB＝ 



 





1 0

0 1

－

－，則

0

n n k n k

k k

C B M ^ I



  (E)若平面上有一三角形△DEF經過矩陣C 變換後為△D E F' ' '﹐且△

DEF與△_{D E F}_{' ' '}全等﹐則矩陣C＝I。

二、填充題：(按下表配分，共 76 分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得分 8 16 24 30 36 42 48 54 58 62 66 70 72 74 76

(2)

1.與拋物線y²8x2y 9 0共對稱軸，共頂點，且過(2,3)的拋物線方程式為 (1) 。 2.羅蘭長程航海定位法定位海上船隻的位置是利用四個相異固定發射台之發射器發出信號，

由海上船隻收到信號後計算兩組信號時間差，而決定出所在位置。已知四個發射器的位置為A( 2,0) ﹑B(2,0)﹑C(0, 2)﹑D(0, 2)﹒其中每一單位長為一海浬。若某一商船因觸礁而停滯於海面上﹐立即利用A( 2,0) ﹑B(2,0)兩個發射器信號到達船隻的時間差計算出商船與A﹑B 兩個發射台的距離差為 2 海浬﹐同時商船也利用C(0, 2)﹑_D_(0,_ ₂₎兩個發射器信號到達船隻的時間差計算出商船與C﹑D 兩個發射台的距離差亦

為2 海浬﹐若商船位於第二象限﹐則該商船的位置坐標為 (2) 。

3.如右圖動點 P在圓﹕x²y² 1上移動﹐^F^4,0 ^﹐則_OP ^與PF中垂線交點 Q之軌跡方程式為 (3) 。

4.設為^{P x y} ^, ^為橢圓⁹^x² ^⁴^y² ^¹⁴⁴^{上的動點，求}^{2x y}^ ^的範圍為(4) 。 5.在坐標平面上﹐設直線^{L y x}^: ^{ }²與拋物線 :x² 4y相交於P﹑Q兩點﹒

若F表拋物線 的焦點﹐求PF QF 的值為 (5) 。

6.(1)平面上 M 所代表的線性變換為先以原點為中心順時針旋轉 90﹐再對 y = 2x 鏡射，

再沿著x 軸方向，伸縮 x 座標的 2 倍，再沿著 y 軸方向，伸縮 y 座標的 3 倍，若平面上

△ ABC三頂點 A( 1, 3)  _，B(2, 1) _，C(1,5) 經過 M 之線性變換後， △ ABC的面積變為 (6) 。

(2)求直線 2x + 3y = 0 先以原點為中心順時針旋轉 90﹐再對 y = 2x 鏡射所得之直線 方程式為 (7) 。

7.設 F1﹐F²為橢圓 x²(y3)²  x²(y7)² 14的兩焦點﹐A 在橢圓上﹐若∠F1AF2 = 60°﹐則△AF1F2的面積為 (8) 。

8.一動圓與圓 C:(x2)²y² 9相切，且通過(2,0)，則所有滿足此條件的動圓的圓心軌跡方程式為 (9) 。

9.如右圖所示﹒坐標平面上一橢圓的兩焦點為F1 6,0 ﹐F26,0﹒今一雷射

光自點F2發出﹐碰到橢圓上的點^A^7,^k^{後反射﹐再經過點}F1到橢圓上的點 B﹐又反射回到點F2﹐若雷射光行經的路徑總長為36﹐則k的值為

(10) 。

10.過^F ^3,0 ^{的直線交拋物線}^y² ^¹²^x^於P﹐Q兩點﹐2PF 3FQ，過P﹐Q

兩點作直線L: x 2之垂線﹐分別交直線L 於R﹐S﹐求梯形PQSR面積 (11) 。 11.已知拋物線:y² 12x與一點A(5,3)。P 為拋物線上的點，若_{PA PF}_ 之最小值為a， P

到直線L x:  2與_PA的距離差 ( , )d P L PA之最大值為b，則數對(a,b)= (12) 。 12.已知橢圓1與雙曲線2共焦點，點P 為橢圓1﹕ ² ² 1

36 x y

 k  與雙曲線2﹕ ² ² 1 36 72

y x

k 



之一交點﹐F1﹐F²為1、2之兩焦點且PF：PF 3 1： ﹐則此兩焦點之距離  (13) 。

(3)

13. 設動點 ^{P x y} ^,  ^{與直線} ^y^¹^{的距離為} ^d^{﹐ 若} ^A^{0, 4} ^且 AP2d﹐ Q 點為

2 2 10 24 0

x y  y  上的動點，求_PQ之最小值 (14) 。

14.在坐標平面上﹐矩陣 A 所定義的線性變換為以原點為中心，逆時針旋轉30⁰﹒若點P 為雙曲線(x4)²y² 2上之動點﹐設點P 經 A 變換成 Q，點 Q 經 A 變換成點 R﹒求△ PQR 面積的最小可能值= (15) 。

高師大附中108 學年度第二學期期末考高二自然組 (仁 ~ 信) 數學科答案 卷

班級: 座號: 姓名:

一、多選題：(每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上該題不給分，共24 分)

1. 2. 3. 4.

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得分 8 16 24 30 36 42 48 54 58 62 66 70 72 74 76

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

(4)

高師大附中108 學年度第二學期期末考高二自然組 (仁 ~ 信) 數學科答案 卷

班級: 座號: 姓名:

一、多選題：(每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個選項以上該題不給分，共24 分)

1. BC 2. ACE 3. A 4. C

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得分 8 16 24 30 36 42 48 54 58 62 66 70 72 74 76

1 2 3 4 (y1)2 4(x1)

( 2, 3) ² 4 ²

4( 2) 1 15

x  y  ^{ }^{10 2}^{x y}^{ }¹⁰

5 6 7 8

10 60 17x-6y=0 8 3　

9 10 11 12 7 1

4 9

4 ² ²



 y

x ^{4 10}

3 ^{105 6}

4

(8, 13 1 )

13 14 15

12 3 2 6 3 3

2



(5)