指數函數與對

E-3 對數

主題一 對 1. 對數的意

2. 對數的定

3.底數與真

《說明》

數與對數函

對數的意義 意義：考慮

點 A 這樣

定義：當 b 的實 a 稱 即：

真數的限制

》因為對於 須大於 0 例：log₃(

函數

慮以 2 為底的

的 y 坐標為 樣的 x 是唯一

是一個正實 實數 x 是唯 稱為底數，b

：a^x＝b

：log_ab 的 於任意正實數

，方程式 a (－5)，log

的指數函數

為 3，點 A 一存在的，

實數，a 是一 唯一存在的

b 稱為真數 x＝log_ab 底數 a 必須 數 x，1^x＝ a^x＝b 才保

13，log_24

Precalcu

E-3-1

數 y＝2^x的圖

的 x 坐標，

我們稱為

一個不等於

，x 稱為「以 數，而對數 l

須是不等於 1，所以 a 保證有唯一實

4，log₅0 都

lus，專題二

圖形，並作水

，滿足 3＝2

「以 2 為底

於 1 的正實 以 a 為底，

log_ab 的值

於 1 的正實數 必須是不等 實根 x，對數 都沒有意義

指數函數與對

水平線 y＝

2^x。 底，3 的對數

數，且實數 b 的對數」

值可以為任意

數，而且真 等於 1 的正 數式 log_ab

。

對數函數，C

3，設兩者交

數」，記做

數 x 滿足 a^x

」，記做 lo 意實數。

真數 b 必須大 正實數，而且

b 才有意義

heng‐Fang  Su

交於點 A。

log₂3。

x＝b，這樣 og_ab，其中

大於 0。

且真數 b 必

。

u

樣 中

必

Precalculus，專題二  指數函數與對數函數，Cheng‐Fang  Su

E-3-2

主題二 對數的運算法則

設以下性質中，底數皆為「不等於 1 的正實數」，真數皆為正實數，指數可為任意實數：

(1) log_aa^x＝x；

(2) log_a1＝0， log_aa＝1；

(3) log_axy＝log_ax＋log_ay；

(4) log_a x

y ＝log_ax－log_ay；

(5) log_ax^r＝r log_ax；

(6) 1 logar

b



r

r

【例】試化簡下列各式：(1) ln e ；(2) ln 5e ；(3)

ln ¹ e

【例】試化簡下列各式：(1)

ln 2 ln(4  x   1) ln(2 x  5)

e

 3

主題三 對數函數及其圖形

1. 對數函數的定義：設 a 是異於 1 的正數，對於任意正實數 x，log_ax 都有意義，

我們稱 f (x)＝log_ax，x＞0 為以 a 為底數的對數函數。

【例】f (x)＝log₂x，x＞0 稱為以 2 為底的對數函數；

g (x)＝log₁

2

x，x＞0 稱為以

¹

2

2. 對數函數的圖形：

(1) 底數大於 1 的對數函數圖形：

【例】

【例】

圖形性

(2) 0＜底

【例】

】在坐標平

】在坐標平

性質 底數 (i) 圖形 (ii) 圖形 (iii) 恆 (iv) 底數 (v) 當 x (vi) 0＜

底數 a＜1 的

】在坐標平

平面上，描繪

平面上，描繪

數 a 大於 1 時 形完全在 y 軸

形由左而右 過定點(1，

數 a 愈大，

x 趨近於 0 x＜1log

的對數函數 平面上，描繪

繪對數函數

繪對數函數

時，對數函 軸右方。（

右上升，即底 0)；

圖形上升的 時，圖形趨 g_ax＜0；x＞

圖形：

繪對數函數

Precalcu

E-3-3

數 y＝

ln

數 y＝log₂x

函數 g (x)＝l

（因為真數 底數 a 大於

的速度愈慢 趨近於 y 軸

＞1log_a

數 y＝log₁

2

x

lus，專題二

的圖形。

的圖形。

log_ax x 恆正）；

於 1 時，對數

慢（愈平緩 軸；

x＞0。

的圖形。

指數函數與對

數函數 g (x)

）；

對數函數，C

x)＝log_ax 是

heng‐Fang  Su

是遞增的；

u

圖形性

(3)函數 y＝

形對稱於

(4)對數函數

性質 0＜底 (i) 圖形 (ii) 圖形 (iii) 恆 (iv) 底數 (v) 當 x (vi) 0＜

＝log_ax 與函 於 x 軸。

數 y＝log_ax

底數 a＜1 時 形完全在 y 軸

形由左而右 過定點(1，

數 a 愈小，

x 趨近於 0 x＜1log

函數 y＝log

x 與指數函

時，對數函 軸右方。（

右下降，即 0)；

圖形下降的 時，圖形趨 g_ax＞0；x

g₁

a

x 的圖形

函數 y＝a^x的

Precalcu

E-3-4

函數 g (x)＝l

（因為真數 0＜底數 a

的速度愈慢 趨近於 y 軸

＞1log_a

形對稱於 x 軸

的圖形對稱

lus，專題二

log_ax x 恆正）；

＜1 時，對

慢（愈平緩 軸；

x＜0。

軸，即底數互

稱於直線 y＝

指數函數與對

對數函數 g (x

）；

互為倒數的

＝x。

對數函數，C

(x)＝log_ax

的兩個對數

heng‐Fang  Su

是遞減的；

函數，其圖

u

；

圖