積分的計算

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積分的計算

單維彰‧2015 年 5 月

用 Maxima 做積分的指令是 integrate ，它就是「積分」的動詞，「定」或「不定」

都一樣，只是參數不同。

做不定積分



f x dx( ) ^{的指令形式是}

integrate( f(x), x ) 例如

integrate(x^2,x);

就是



x dx² ^{的意思，得到}¹₃x ，注意 Maxima 沒有為我們「+C」³ ，要自己記得這個未定常數：



x dx² ^¹₃^x³^{ 。}^C

至於做定積分 ^b ( )

a f x dx



^{的指令則有四個參數}

integrate( f(x), x, a, b ) 例如

integrate(x^2, x, ‐1, 1);

就是 ¹ ²

1x dx



 ^{的意思，得到}²₃^。

以上舉的例子很簡單，那是因為只要學會輸入複雜的函數，Maxima 就會執行。例如想作

2 1

x dx x 



，可以先輸入被積分函數 x/sqrt(x^2+1);

確定沒錯之後，再輸入 integrate(%o3, x);

其中 %o3 只是舉例，視實際情況決定參數。於是我們得到

2 1

x dx x 



^ ^x²^{ }¹ ^C^。

但是，積分不像微分：不管多麼複雜的函數，只要寫得出數學式，就能做出導函數。可是積分就不見得算得出反導函數。甚至，有些看起來頗單純的數學式，積分之後會出現還不認得的反導函數。例如由指令

integrate(1/x , x);

(2)

得知

1 dx logx C

x  



有些人認識 log，但其實它並不是「常用對數」的意思。而看起來不太複雜的 1 x 2 得到很複雜的反導函數：

 

2 1 1 2

1 sinh 1

x dx 2 ^ x x x C

    



還有更嚴重的，就像

integrate(sqrt(1+x^4) , x);

得到的會應居然是把題目照抄一遍：

1x dx4



這就表示 Maxima 根本不會做。但這不一定是 Maxima 的錯，有些函數確實沒有

（由基本函數組成的）反導函數。但是 f x( ) 1x⁴ 卻是個簡單的連續函數，

其圖形如下；它對稱於 y 軸，但是現在並不重要。

由上圖可知，雖然 1 x ⁴ 沒有反導函數，亦即寫不出一個（基本）函數 ( )F x

(3)

使得F x( ) 1 x ⁴ ，但y 1x⁴ 的曲線下面積卻顯然是存在的。例如

1 4

0 x 1dx



是存在的，它的意義就是y 1x⁴ 與 x 軸之間，在0 x 1範圍內的面積，只是它不能用微積分基本定理 (1)F F(0)計算而已。這種情況下，我們要用數值積分 (Numerical Quadrature)！這是某種計算機演算法，不計算反導函數而直接估計曲線下的面積。在教學影片中，我們示範 Maxima 之數值積分的操作程序，其指令為

quad_qags(sqrt(1+x^4), x, 0, 1);

得到的結果，共有四個數：

[1.089429413224822, 1.2095096182660719*10^‐14, 21, 0]

第一個數 1.0894… 就是 ¹ ⁴

0 x 1dx



^{的估計值，也就是說}

1 4

0 x 1dx



^^1.09

第二個數表示1.209510^¹⁴，這個大約10^¹⁴的數是 Maxima 估計的計算誤差，

也就是說 1.0894… 和真正的 ¹ ⁴

0 x 1dx



之間的絕對差異，大約是10^¹⁴，我們可以相信估計值到小數點下 13 位。

第三個數 21 表示「迭代次數」，也就是計算過程中，一共算過幾次 1 x ⁴ 的函數值。最後一個數是「錯誤編碼」，而 0 是好消息：沒有錯誤。