95.04.20 班級普三班範圍Book6 1-1、2 極限座號姓名一 ... - 明誠

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：95.04.20 班級 普三 班

範

圍 Book6 1-1、2極限

座號

姓 名 一、是非題(每題5分)

1. 若< an >為一收斂數列，且任意正整數n，an ≠ 0，則

n an

lim 1

∞

→ 也是收斂數列。

【解答】╳

【詳解】當an = n

1，n∈N時， _n= 0，但

n

lima

∞

→ n an

lim 1

∞

→ = n不存在

nlim

∞

→

2. 設< an >，< bn >，< cn >為三個數列，且任意正整數n，an ≤ bn ≤ cn均成立，則當 與 都存在時， 也存在。

n n

lima

∞

→ n

n

limc

∞

→ n n

limb

∞

→

【解答】╳

【詳解】

< a_n > = < − 2，− 2，… >，< c_n > = < 2，2，2，… >，< b_n > = < − 1，1，− 1，1，… >時

< a_n >，< c_n >都是收斂數列，但< b_n >不是收斂數列

3. _lim^{1 3 5} ₂ ^{(2 1)} n

n

n

− + + + +

∞

→

" = 1₂

limn

n→∞ + 3₂

limn

n→∞ + 5₂

limn

n→∞ + …+ 2 ₂ 1

lim n n

n

−

∞

→ = 0 + 0 + … + 0 = 0。

【解答】╳

【詳解】

( )

2

1 2 5

3 lim1

n n

n

− + + + +

∞

→

"

=lim ₂² n

n

n→∞ = 1 ≠ 0 4. 下列各敘述何者為真確？何者為錯誤？

(A)若 = ∞且 = 0，則 = 0

(B)若< a

n n

lima

∞

→ n

n

limb

∞

→ n n

n

b lima

∞

→

n >為無窮數列，並且對於每一自然數n都有an+1 ≥ an ≥ 0，則 = ∞

(C)若對一切自然數n，恆有a

n n

lima

∞

→

n ≤ bn ≤ cn，並且< an >及< cn >均是收斂數列，則 < bn >也是收斂數列

(D)設< an >及< bn >為二收斂數列且 _n= α， = β，若對每一自然數n都有a

n

lima

∞

→ n

n

limb

∞

→ n < bn，

則 α < β

(E)設< an >為一無窮數列，若 _n

n

lim a

∞

→ = 0，則 _n= 0

n

lima

∞

→

【解答】(A)╳ (B)╳ (C)╳ (D)╳ (E)○

【詳解】

(1)錯誤，an = n²，b_n = n

1，則 = ∞

(2)錯誤，a

n n n

b lima

∞

→ n = 1−

n

1，則恆有a_n+1 ≥ an，但是 = 1 (3)錯誤，a

n n

lima

∞

→

n = − 1，b_n = ( − 1)ⁿ，c_n = 1。顯然，對每一個自然數n，a_n ≤ b_n ≤ c_n均成立並且 < a_n >及< c_n >均是收斂數列，但< b_n >是發散數列

(4)錯誤，例如：令an = 1 + n

1，b_n = 1 + n

2，顯然，對每一個自然數n，都有a_n < bn，但是

= = 1

(5)正確

n n

lima

∞

→ n

n

limb

∞

→

5. 設< an >，< bn >為二個數列，且lim( n n)

n

b a +

∞

→ 存在，則lim( n n)

n

b a +

∞

→ = _n。

n n n

b a lim lim→∞ + →∞

【解答】╳

【詳解】當an = n，bn = − n時，對任意n，an + bn = 0，所以lim( n n)

n

b a +

∞

→ = 0，但 與 都

不存在，所以

n n

lima

∞

→ n

n

limb

∞

→

) lim( n n n

b a +

∞

→ = _n+ 不成立

n

lima

∞

→ n

n

limb

∞

→

6. 若 lim1

−

→

x 1

2 2 +

+

− x

a x

x 存在，則a = − 3。

【解答】○

【詳解】

當lim1

−

→

x 1

2 2 +

+

− x

a x

x 存在時，x² − 2x + a在x = − 1時，其值為0 所以( − 1)² − 2( − 1) + a = 0，即得a = − 3

7. 設f (x) = [x] 為高斯函數，則當x1 > x2時，f (x1) > f (x2)。

【解答】╳

【詳解】f ( 3.2 ) = f (3) = 3

8. 因為 (x + 3) = 0，所以 lim3

−

→

x lim3

−

→

x 3

3 27 + + x

x 不存在。

【解答】╳

【詳解】lim3

−

→

x 3

3 27 + + x

x =

lim3

−

→

x 3

) 9 3 )(

3

( ²

+ +

− +

x x x

x = ( x

lim3

−

→ x

2 − 3x + 9) = (− 3)² − 3 × ( − 3) + 9 = 27

9. 設f (x) = | x − 1|，則f (x)在x = 1之處不連續。

【解答】╳

【詳解】f (x) = | x − 1 | 時，f (1) = | 1 − 1 | = 0

又 f (x) = | x − 1 |= 0 = f (1)，所以f (x)在x = 1之處連續 lim1

→

x lim1

→ x

10.設函數f (x) = x x|

| ，則 f (x) = − 1。

lim1

−

→ x

【解答】○

【詳解】f (x) = x x|

| 時， f (x) = lim1

−

→

x lim1

−

→

x x

x|

| =

lim1

−

→

x ( )

x

−x = ( − 1) = − 1 lim1

−

→ x

二、選擇題( 每題10分)

1. 設二數列的第n項分別為an = 1² + 2² + 3² + … + n²，bn = n³ + 5n + 1，則

∞

→

limn n n

b

a 等於

(A) 0 (B) 6 1 (C)

3 1 (D)

2

1 (E) 2

【解答】(C)

【詳解】

∞

→ n

lim

n n

b a =

∞

→ n

lim 5 1

2 1

3

2 2

2

+ +

+ + +

n n

" n =

∞

→ n

lim 5 1

) 1 2 )(

1 6 (

1

3+ +

+ +

n n

n n

n =

∞

→ n

lim 6 30 6

3 2

3 2 3

+ +

+ +

n n

n n n

=

∞

→ n

lim

3 2

2

6 1 30 6

1 1 3 2

n n

n n

+ +

+ +

．

． =

6) 1

30 6 ( lim

1 ) 1 3 2 ( lim

3 2

2

n n

n n

n n

+ +

+ +

∞

→

∞

→

．

． =

6 2=

3 1

2. (複選)令an= 1 )

1 (

log ₂

2 k

n k

∑ −

= ，則下列各敘述何者為真？（式中[ ]為高斯符號）

(A) − log 2

3< an < 0 (B) − log 2 < an < 0 (C) [10 ] = 2 (D) [2．10 ] = 1(E) [2．10 ] = 2 ^{an an an}

【解答】(B)(D)

【詳解】

an = 1 )

1 (

log ₂

2 k

n k

∑ −

= = log (1 − ₂

2

1 ) + log (1 − ₂ 3

1 ) + log (1 − ₂ 4

1 ) + … + log (1 − ¹₂ n )

= log [(1 − ₂ 2

1 )(1 − ₂ 3

1 )(1 − ₂ 4

1 )…(1 − ¹₂ n )]

= log [(1 − 2 1)(1 −

3 1)(1 −

4

1)…(1 − n 1)(1 +

2 1 )(1 +

3 1)(1 +

4

1)…(1 + n 1)]

= log [(

2 1．

3 2．

4

3．…．

n n−1

)(2 3．

3 4．

4

5．…．

n

n+1)] = log n n

2 +1 c∵ n ≥ 2 ∴

2 1<

n n

2

+1< 1 ∴ − log 2 < an < 0 d由an = log

n n

2 +1

，得10^an= n n

2

+1，所以[10 ] = 0，而 [2．10 ] = [^{an an} n

n+1] = [1 + n 1] = 1 故應選(B)(D)

3. (複選)下列數列哪些是收斂數列？

(A)< n+1− n> (B)<

n

n 1

) 1 (− ⁺

> (C)<

1 2

2 3

+ n

n − n

n² +1> (D)< 2 + (−

3

π )^{n − 1}>

【解答】(A)(B)

【詳解】

(A)lim( +1

∞

→ n

n

− n) =

n n

n n

n n

n + +

+ +

− +

∞

→ 1

) 1 )(

1

lim( =

n n

n^→∞ +1+

lim 1 = 0

(B) n

n n

) 1

1 lim(

+

∞

→

− = 0

(C) 1

2

2 3

+ n

n − n n² +1

= n n

n n

+

−

−

3 2

4 2 1

極限值不存在，<

1 2

2 3

+ n

n − n n² +1

>發散

(D)數列< (−

3

π )^{n − 1}>是公比小於 − 1的等比數列，是一發散數列

令an = 2 + (−

3

π )^{n − 1}，並設<an>收斂，則 (−

3

π )^{n − 1} = an − 2 ⇒ < (−

3

π )^{n − 1}>收斂，矛盾 故< 2 + (−

3

π )^{n − 1}>發散

4. (複選)設 f(x)為一多項式，已知 24

1 ) lim (

1 =

−

→ x x f

x ，

2 ) lim (

2 −

→ x x f

x = − 20， 60

3 ) lim (

3 =

−

→ x x f

x ，若 以

除之所得商式為 ，則

(A) 可整除 (B)

) (x f )

3 )(

2 )(

1

(x− x− x− g(x)

) 2 )(

1

(x− x− f(x) (x−2)(x−3)可整除 (C) g (1) = 30 (D) g (2) = 20

(E) 被 除之餘式為

) (x f )

(x

g (x−1)(x−2)(x−3) x² +5x+6

【解答】(A)(B)(D)(E)

【詳解】

因 24

1 ) lim (

1 =

−

→ x x f

x ，

2 ) lim (

2 −

→ x x f

x = − 20， 60

3 ) lim (

3 =

−

→ x x f

x ，故 f(1)=0， ，

由因式定理知

0 ) 2 ( =

f f(3)=0 )

( ) 3 )(

2 )(

1 ( )

(x x x x g x

f = − − −

∵ lim( 2)( 3) ( ) ( 1)( 2) (1) 24 1

) lim (

1

1 = − − = − − =

− ^→

→ x x g x g

x x f

x

x ∴ g(1)=12

∵ lim( 1)( 3) ( ) 1 2

) lim (

2

2 = − − =

− ^→

→ x x g x

x x f

x

x ．(−1)g(2)=−20 ∴

∵

20 ) 2 ( = g 2

) ( ) 2 )(

1 ( 2 lim

) lim (

3

3 = − − =

− ^→

→ x x g x

x x f

x

x ．1．g(3)=60 ∴ g(3)=30

令 ，則得

解方程組得 ，

c bx ax x Q x x x x

g( )=( −1)( −2)( −3) ( )+ ² + +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

= + +

=

= + +

=

30 3

9 ) 3 (

20 2

4 ) 2 (

12 )

1 (

c b x g

c b a g

c b a

g 　　

=1

a b=5，c=6，即g(x)被(x−1)(x−2)(x−3)除之餘式為 故應選(A)(B)(D)(E)

6

2+5x+ x

二、填充題(每題10分)

1. 設a_n = 1² + 2² + 3² + … + n²，且b_n =_∑ ⁺

= n

k ak

k

1

1

2 ，則 _n=

n b

∞

lim→ 。

【解答】6

【詳解】

∵ an = 1² + 2² + 3² + … +n² = 6

1n ( n + 1) (2n + 1)

∴ bn =∑ +

= n

k ak

k

1

1

2 = ∑

+ +

+

= n

k k k k

k

1 ( 1)(2 1)

6 1

1

2 = ∑

+

= n

k 1k(k 1)

6 = 6∑

− +

= n

k ¹ k k )

1 1 (1

= 6[(1−

2 1) + (

2 1−

3 1) + (

3 1−

4

1) + … + ( n 1−

1 1

+

n )] = 6 (1−

1 1

+

n ) ∴ _n= 6

n

limb

∞

→

2. lim

→∞

n ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − − − − 1 )

1 ( 4 ) 1 1 3 )(

1 1 2 )(

1 1

( _{2 2 2 2}

" n = 。

【解答】2 1

【詳解】

lim→∞

n ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − − − − 1 )

1 ( 4 ) 1 1 3 )(

1 1 2 )(

1 1

( _{2 2 2 2}

" n =lim

→∞

n ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − − −

2 2 2

2 2

2 2

2 ( 1)

4

) 1 4 ( 3

) 1 3 ( 2

) 1 2 (

n

． n

．

．

． "

=lim

→∞

n ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − +

n n

n n

．

．

．

．

．

．

．

．

．

．

3 3 2 2

) 1 )(

1 ( ) 6 4 )(

5 3 )(

4 2 )(

3 1 (

"

" =lim

∞

→

n n

n 2

) 1 ( 1

．

． + = 2 1 lim

→∞

n n

n+1= 2 1

3. 若數列< an >中，an = 1．2+ 2．3+"+ n(n+1)，則lim

∞

→

n 2

n a_n

= 。 (提示：利用n≤ n n( + ≤1) n+1、夾擠定理 )

【解答】2 1

【詳解】

an = 1． 2+ 2． 3+ … + n(n+1) 1 < 1． 2< 2

2 < 2． 3< 3 3 < 3． 4< 4 　　　#

+) n < n(n+1)< n + 1

∴ 1 + 2 + 3 + … + n < 1． 2+ 2． 3+ 3． 4+ … + n(n+1)< 2 + 3 + … +( n +1)

即 1

2 ) 2 )(

1 ( 2

) 1

( + < < n+ n+ − n a

n

n ，因此 1]

2 ) 2 )(

1 [( ] 1

2 ) 1 [ (

1

2 2

2 + < < n+ n+ −

n n n a

n n

n

即 _{2 2} 1₂

2

) 2 )(

1 ( 2

1

n n

n n n a n

n _n

+ −

< + + <

，又 n n

n 2

lim +1

∞

→ = 1 ]

2

) 2 ( [ 1

lim _{2 2}

n n

n n

n

+ − +

∞

→

）

（ =

2 1

由夾擠定理可知_{lim 2} n a_n

n→∞ =

2 1

4. _lim^{1 (2 1) 2 (2 3)}₃ ^{3 ( 2 5) 1} n

n n

n n

n

．

．

．

． − + − + − + +

∞

→

" = 。

【解答】3 1

【詳解】

3

1 )

5 2 ( 3 ) 3 2 ( 2 ) 1 2 ( lim1

n

n n

n n

n

．

．

．

． − + − + − + +

∞

→

"

=

[ ]

3

1 2 (2 1)

lim n

k n k

n k n

∑ − −

=

∞

→ = ₃ ¹

2

1 (2 1) 2

lim n

k n

k ⁿ

k n

k n

∑

∑ + −

=

=

∞

→

=lim

∞

→

n 3

) 1 2 )(

1 6 ( 1 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1

n

n n n n

n

n + ． + − ． + +

= ( 1)₃( 2 1) 6

1

lim n

n n

n

n

+ +

∞

→ = 1)

2 ( 1 ) 1 6( lim1

n n

n

+

∞ +

→ =

3 1

5. 設< an >為一數列，若 na

nlim

∞

→ n = 2，則 _n=

n

lima

∞

→ 。又 _n=

n

a n 1) 3 lim( −

∞

→ 。

【解答】0，6

【詳解】

(1)因為lim =2，於是可得

∞

→ n

n

na 1( )

lim

lim n

n n n

n na a →∞

∞

→ = _n

n n

n limna lim1

∞

→

∞

= → ． = 0 × 2 = 0 故

(2)因為 lim =0

∞

→ n n

a

) 1( lim3 )

1

lim(3 n

n n n

n na a n

n− = −

∞

→

∞

→ = 3 1 lim( )

lim n

n n

n na n

∞

→

∞

→

− ． = 3 × 2 = 6 故lim(3 −1) = 6

∞

→ n

n an

6. 設a_n = 1 + 2 + 3 + … + n，則lim( _{n 1 n})

n a ₊ − a

∞

→ = 。

【解答】 2 2

【詳解】

因為an = 1 + 2 + 3 + … + n，所以 _{n n}

n a ₊ − a

∞

→ ( 1

lim )

= (

∞

→

nlim 1+2+"+n+(n+1)− 1+2+"+n)

= [

∞

→ n

lim ( 1)( 2) 2

1 n+ n+ − ( 1)

2

1n n+ ] =

∞

→ n

lim 2

+1

n ( n+2− n) =

∞

→ n

lim 2

2 ．

n n

n + +

+ 2

1

=nlim→∞

2

2 ．

2 1 1

1 1 + +

+

n

n =

2

2 ．

1 1

1 + =

2 2

7. 設a，b為實數，若無窮級數 +

+ +

+ _{2 3 4}

1 2 2 2

2

b a b

a …+ a_n− + b_n +

2 1

2 2

2 … = 3且a + b = 5，則a = ，b = 。

【解答】4，1

【詳解】

因 ₁ + ₂ + ₃ + ₄ + 2 2 2 2

b a b

a …+ a_n− + b_n +

2 1

2 2

2 … = 3是收斂級數，即

( _{1 3 5}

2 2 2

a a

a + + + … + _{2 1} 2 ⁿ⁻

a + …) + ( _{2 4 6} 2 2 2

b b

b + + + … + ^b_2n

2 + …) = 3

∴ 3

4 1 1

4 4 1 1

2 =

− +

−

b a

⇒ 2a + b = 9，又a + b = 5，解此方程式，故得a = 4，b = 1

8. 4 2

1 lim 3

− +

∞

→ n

n

n a

a = 2，則< an >的極限是 。

【解答】1

【詳解】

令bn =

2 4

1 3

− +

n n

a

a ，得4bnan − 2bn = 3an + 1及 _n= 2 ∴ a

n

limb

∞

→ n =

3 4

1 2

− +

n n

b b

故 _n=

n

lima

∞

→ 4 3

1 lim2

− +

∞

→ n

n

n b

b =

3 2 4

1 2 2

− +

．

． = 1

9.若lim(a 2n² n 1 nb)

n

− +

∞ +

→ = 1，則數對(a，b) = 。

【解答】(2 2，4)

【詳解】

1 =

nb n

n a

b n n

n a

n + + +

− + +

∞

→ 2 1

) 1 2

lim (

2

2 2 2

2 =

nb n

n a

n a n b a

n + + +

+ +

−

∞

→ 2 1

) 1 ( )

2 lim(

2

2 2 2 2

得2a² − b² = 0及1 =

nb n

n a

n a

n + + +

+

∞

→ 2 1

) 1 lim ₂ (

2 =

2 2

1 2 1

1) 1 ( lim

n a n

b a n

n + + +

+

∞

→ =

a b

a 2

2

+

∴ 2a² − b² = 0及a² = 2a + b，得a = 2 2，b = 4，(a，b) = (2 2，4) 10.對任一n∈N使 ¹₃

n [1² + 2² + … + (n −1)²] < A < ¹₃

n [1² + 2² + … + (n − 1)² + n²]恆成立，則A

= 。

【解答】3 1

【詳解】

由1² + 2² + … + n² = 6

1n(n + 1)(2n + 1)，1² + 2² + … + (n − 1)² = 6

1n(n − 1)(2n − 1)

3

1

n [1² + 2² + … + (n − 1)²] < A < ¹₃

n (1² + 2² + … + n²)

⇔ ¹₃ n ．

6

1n (n − 1)(2n − 1) < A < ¹₃ n ．

6

1n (n + 1)(2n + 1)

⇔ 6 1(1 −

n 1)(2 −

n

1) < A <

6 1(1 +

n 1)(2 +

n 1)

∵ lim(1 −

∞

→

n n

1)(2 − n

1) = 2 =lim(1 +

∞

→

n n

1)(2 + n

1) ∴ A = 6 1．2 =

3 1

11. )

2 ( 1

lim n

n n n

n

+ −

−

∞

→ = 。

【解答】−

2 3

【詳解】 )

2 ( 1

lim n

n n n

n

+ −

−

∞

→ = 1)

2 ( 1

lim −

+

−

∞

→ n

n n

n

= 2

) 2 1

lim (

+ +

−

−

∞

→ n

n n

n

n

= 2( 1 2)

) 2 1

)(

2 1

lim (

+ +

− +

+ +

− +

−

−

∞

→ n n n

n n

n n

n

n

= 2( 1 2)

lim 3

+ +

− +

−

∞

→ n n n

n

n

=

2) 1 1

1 2( 1 lim 3

n n

n

n + − + +

−

∞

→ =

2) 1 1

1 2( lim 1

3

n n

n

n

+ +

− +

−

∞

→

= −2 3

12. _{1 1} 4 3

4

lim 3_{+ +}

∞

→ +

+

n n

n n

n = 。

【解答】4 1

【詳解】

4 4) (3 3

1 4) (3 4 lim

3 4

lim 3_{1 1}

+

= + + +

∞ + →

∞ +

→ n

n

n n n

n n n

= 4

1 4 0

1 0 4 4) (3 lim 3

1 4) (3

lim =

+

= +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∞

→

∞

→ n n

n n

13. 3)

2 3 (3

lim + +

∞

→ n

n n = 。

【解答】3

【詳解】 3) 2

3 (3

lim + +

∞

→ n

n n = lim3

2 lim 3 lim3

∞

→

∞

→

∞

→ + +

n n n

n n = 0 + 0 + 3 = 3

14. 2 2

4 lim 4

−

− +

−

− +

∞

→ n n

n n

n

= 。

【解答】2

【詳解】

2 2

4 lim 4

−

− +

−

− +

∞

→ n n

n n

n

= _lim

∞

→

n ( 2 2)( 2 2)( 4 4)

) 2 2

)(

4 4

)(

4 4

(

− + +

− + +

−

− +

− + +

− + +

−

− +

n n

n n

n n

n n

n n

n n

=lim

∞

→ n

[ ]

[

( 2) ( 2)

]

( 4 4)

) 2 2

( ) 4 ( ) 4 (

− + +

−

− +

− + +

−

− +

n n

n n

n n

n n

=_lim

∞

→ n

n n n

n n n

) 4 4

( 4

) 2 2

( 8

− + +

− + +

=_lim

∞

→ n

n n

n n

1 4 1 4

2) 2 1

1 ( 2

− + +

− + +

= 2．

n n

n n

n n

1 4 1 4

lim

1 2 1 2

lim

− + +

− + +

∞

→

∞

→ = 2 )

1 1

1 (1

+ + = 2

15. lim

→∞

n

) 2 2

( n+ − n−

n = 。

【解答】2

【詳解】lim ( +2− −2)

∞

→ n n n

n

=lim

→∞

n 2 2

) 2 2

)(

2 2

(

− + +

− + +

−

− +

n n

n n

n n

n

=lim

→∞

n

[ ]

2 2

) 2 ( ) 2 (

− + +

−

− +

n n

n n

n =lim

→∞

n

n n

1 2 1 2

4

− + +

=1 1 4 + = 2

16. lim

→∞

n ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + − + −

− ⁿ

n n

n n n

) 9 . 0 ( 1

) 9 . 0 ( 1 2 1

2 ) 1 . 0 ( 1

) 1 . 0

( = 。

【解答】0

【詳解】 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + − + −

−

∞

→ n

n n

n n n

n 1 (0.9)

) 9 . 0 ( 1 2 1

2 ) 1 . 0 ( 1

) 1 . 0

lim ( = ⁿ _n

n 1 (0.1) ) 1 . 0 lim (

−

∞

→ + ⁿ _n

n 1 2

lim 2

−

∞

→ + _nⁿ

n 1 (0.9) ) 9 . 0 ( lim1

+

−

∞

→

= 1 0 1 0 1 1 1 2

1 lim 1 1

0 + =

+−

= +

− + →∞

n １

n

17.設無窮數列< a_n >滿足3n + 2 < na_n < 3n + 5，則 _n=

n

lima

∞

→ 。

【解答】3

【詳解】3n + 2 < na_n < 3n + 5，3 + n

2 < a_n < 3 + n

5，且 5) 3

3 lim( 2)

3

lim( + = + =

∞

→

∞

→ n ⁿ n

n

由夾擠定理，可得lim =3

∞

→ n n

a

18.若數列< an >中，an =

) 1 2 ( 5

3 1

3 9

6 3

− + + + +

+ + + +

n n

"

"

，則 _n=

n

lima

∞

→ 。

【解答】2 3

【詳解】a_n =

) 1 2 ( 5

3 1

3 9

6 3

− + + + +

+ + + +

n n

"

" = 2₂

) 1 3 (

n n n +

= 1)

1 2( 3

+n ，故lima

∞

→ n

n =lim

∞

→ n

1) 1 2( 3

+n = 2 3

19.設bn = 4 3．

9

8．…． ₂

2 1

n

n − ，n ≥ 2，且< bn >的極限為s，則s = ，使| bn − s | <

100 1 的最小自然數n = 。

【解答】2 1，51

【詳解】

b_n = ( 2 1 ．

2 3)(

3 2．

3 4)(

4 3．

4

5)．…．(

1 2

−

− n

n ．

−1 n

n )(

n n−1

． n n+1

) =

2 1．

n n+1=

n n

2 +1=

2 1(1+

n 1)

∴ s = _n=

n

limb

∞

→ 2

1

同時| bn − s | <

100

1 ⇔

2n 1 <

100

1 ⇔ n = 51，52，53，…。取最小n值為51

20.設< ³ ₁ ) 2 (

2

−

−

+ ⁿ

n

x >是收斂數列，則x範圍是 。

【解答】x < − 4或x ≥ 0

【詳解】< ³ ₁ ) 2 (

2

−

−

+ ⁿ

n

x >是收斂數列 ⇔ |

2 2 +

x | < 1或 1

2 2 = + x (1)| 2

2 +

x | < 1 ⇔ | x + 2 | > 2 ⇔ x + 2 > 2或x + 2 < − 2 ⇔ x > 0或x < − 4

(2) 2

2 +

x = 1 ⇔ x + 2 = 2 ⇔ x = 0 由(1)及(2)可知：x < − 4或x ≥ 0

21.若 ) 0 1

( 1 lim

2 − − =

− + +

∞

→ an b

n n n

n

，則a = ，b = 。

【解答】1，2

【詳解】 1

) )(

1 ( 1 1

1 ²

2

−

+

−

− +

= +

−

− − + +

n

b an n

n b n

n an n n

= 1

) 1 ( ) 1 (

) 1

( ²

−

+ + +

− +

−

n

b n b a n

a =

n

n b b

a n a

1 1

) 1 1 (

) 1 (

−

+ + +

− +

−

且 ) 0

1 ( 1 lim

2 − − =

− + +

→∞ an b

n n n

n

，得1 − a = 0且a − b +1 = 0，聯立解之，得a = 1，b = 2

22.求下列各極限值：(1) 1² 2² ₃ ²

lim n

n

n

+ + +

∞

→

"

(2) 1 2

[ 1 lim^n→∞ ． +

3 2

1

． + … +

) 1 (

1 + n

n ]

【解答】(1) 3

1 (2) 1

【詳解】

(1) ₃

2 2

2 2

lim1

n n

n

+ + +

∞

→

" = ^{6 ( 1)(}₃ ^{2 1)}

1

lim n

n n

n

n

+ +

∞

→ = ³ ₃²

6 3 lim2

n n n n

n

+ +

∞

→ =

3 1

(2) 1 2

[ 1 lim^→∞ ．

n

+2 3 1

． + … +

) 1 (

1 + n

n ] = )

2 1 1 [(1 lim −

∞

→ n

+ (2 1−

3

1) + … + ( n 1−

1 1

+

n )] = )

1 1 1 lim(

− +

∞

→ n

n

= 1 23.試求

7 (1 lim→∞ n

+ ₂ 7

4 + ₃ 7

7 + … + ⁿ_n 7

2 3 −

)之值。

【解答】4 1

【詳解】

令S_n = 7 1+ ₂

7 4 + ₃

7

7 + … + n_n 7

2 3 −

−) 7

1Sn =　+ ₂ 7

1 + ₃ 7

4 + … + n_n 7

5

3 − + ₁

7 2 3

+

−

n

n

7 6S_n =

7 1 + ₂

7 3 + ₃

7

3 + … + _n 7

3 − ₁

7 2 3

+

−

n

n

Sn = 6 7(

7 3+ ₂

7

3 + … + _n 7

3 − 7

2− ₁ 7

2 3

+

−

n

n )=

6 7[

7 1 1

7 ) 1 1 7( 3

−

− _n

−7

2− ₁

7 2 3

+

−

n

n ]

= 6 7[

2 1(1− _n

7 1 )−

7

2− ₁

7 2 3

+

−

n

n ] 所以 _n=

n

limS

∞

→ 6

7( 2 1−

7 2)=

4

1（其中 _n

n 7

lim 1

∞

→ = 0， ₁

7 2 lim3 ₊

∞

→

−

n n

n = 0）

24.(1)設對所有自然數n，

1 )

1 (

3

+ + + =

+

n B n A n

n

n 恆成立，試求A，B之值 (2)若Sn = ∑

+ +

= n k

k

k k

k

1 )

3 (2 ) 1 (

3 ，試求 _n之值

n

limS

∞

→

【解答】(1) A = 3，B = − 2 (2) 2

【詳解】

(1)因為

) 1 (

) 1 ( 1 )

1 (

3

+ +

= + + +

+ = +

n n

Bn n

A n

B n A n

n

n ，分子部分n + 3 = A(n + 1) + Bn = (A + B)n + A 比較係數A + B =1，A = 3，得A = 3，B = − 2

(2)因為 ^{k k}

k k k

k

k )

3 )(2 1 2 (3 3) (2 ) 1 (

3

− + + =

+ = ^{k k}

k

k )

3 (2 1 ) 2

3 (2

2 ₁

− +

− ，k∈N

Sn = ∑ + +

= n k

k

k k

k

1 )

3 (2 ) 1 (

3 =_∑

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

− +

= n − k

k k

k k

1

1 )

3 (2 1 ) 2

3 (2

2 = 2 − ⁿ

n )

3 (2 1 2

+ ，所以limS

∞

→ n

n = 2

25.求下列的極限值：(1)

6 4 lim ₂3999

+ +

∞

→ n

n

n

(2) 3 8

lim 9

2

+ +

∞

→ n n

n

(3) 7 8 1

3 9 lim 2 ₂

2

+ +

+ +

−

∞

→ n n

n n

n

【解答】(1) 0 (2) ∞ (3) 7

−2

【詳解】

(1) 4 6

lim ₂3999+ +

∞

→ n

n

n

=

n n n

n 6

4 1 3999

lim +

+

∞

→ = 0 (2)

8 3 lim 9

2

+ +

∞

→ n n

n

=

n n n

n 8

3 9 lim +

+

∞

→ = ∞

(3) 7 8 1

3 9 lim 2 ₂

2

+ +

+ +

−

∞

→ n n

n n

n

=

2 2

1 7 8

3 2 9

lim

n n

n n

n + +

+ +

−

∞

→ =

7

−2

26.設a，b是常數，且

1 3 5

2

lim ₂ 7

2 3

− +

+ + +

∞

→ n n

n bn an

n

= 3，求a，b。

【解答】a = 0，b = 15

【詳解】

因為分子是3次式，分母是2次式，且它有極限值，所以a = 0 原式 =

1 3 5

2

lim ₂ 7

2 3

− +

+ + +

∞

→ n n

n bn an

n

= 3，得 5

b = 3，即b = 15，所以a = 0，b = 15

27.lim0

→

x | |

2 2 x

x x −

= 。

【解答】不存在

【詳解】

令f (x) =

|

|

2 2 x

x x −

，則

(1)當x > 0時， ₊f (x) = lim→0

x lim→0⁺

x x

x

x²−2 = (x − 2) = − 2 (2)當x < 0時， f (x) =

→0+

lim

x

→0−

lim

x lim→0⁻

x x

x x

−

−2

2 = ( − x + 2) = 2 因為 f (x) ≠ f (x)，所以 f (x)不存在，亦即

→0−

lim

x

→0+

lim

x lim→0⁻

x lim0

→

x lim0

→

x | |

2 2 x

x x −

極限不存在

28. log

−∞

→ xlim

2

1x(x + x² −4) = 。

【解答】− 1

【詳解】設 log

t= − > ⇒ = −tx 0 x

−∞

→ xlim

2

1x (x + x² −4) = log

∞

→ t

lim

2

1t ( t − t²−4) = log

∞

→ t

lim

2

1

[ ]

4 ) 4 (

2 2 2

− +

−

− t t

t t t

= log

∞

→ t

lim

2

1 4

4

2 − + t t

t = log

2 1(

∞

→ t

lim

2

1 4 1

4

−t +

) = log

2

12 = − 1

29.若lim 1

2

1 −

+ +

→ x

b ax x

x

= − 4，則數對(a，b) = 。

【解答】(− 6，5)

【詳解】lim 1

2

1 −

+ +

→ x

b ax x

x

存在，得 = 0

∴ 1 + a + b = 0，代入原式：− 4 =

) lim( ²

1 x ax b

x

+

→ +

1 ) 1 lim (

2

1 −

−

− + +

→ x

a ax

x

x

= 1

) 1 )(

1 lim(

1 −

+ +

−

→ x

a x x

x

= a + 2

− 4 = a + 2，a = − 6，b = 5 30.若f (x) = x³，則

t f t f

t

) 1 ( ) 2 1 lim (

0

− +

→ = 。

【解答】6

【詳解】f (x) = x³時，則

t f t f

t

) 1 ( ) 2 1 lim (

0

− +

→ =

t t

t

1 ) 2 1

lim( ³

0

− +

→

=

t t t t

t

3 2 0

8 12

lim6 + +

→ = ( 6 + 12t + 8t

lim0

→ t

2 ) = 6

31. + − =

→ x

x

x

1 ) 1 lim( ¹⁰

0 。

【解答】10

【詳解】令t=x+1，則

1 lim 1 1 ) 1 lim(

10 1 10

0 −

= −

− +

→

→ t

t x

x

t

x = ^{9 8} + … + t + 1) = 10

1( lim t t

t +

→

32.lim(

→2

x =

+

− −

−

− )

2 5 2

1 2

1

2

2 x x x

x 。

【解答】9 1

【詳解】