高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：100.04.20 範
圍 2-2(2)排列、組合 班級 一年____班 姓
座號 名 一、多選題 (每題10分 )
（ ）1.從有7個不同色球的箱子中取球﹐下列取法數或分法數哪些是正確的？
(1)取出5球的方法有C57種 (2)取出5球並分給5人﹐有P57種
(3)取出5球並全部分給3人﹐每人可兼得或沒分到球之分法有C5753種
(4)取出5球全部分給甲､乙､丙3人﹐甲至少分1個分法有C57(352 ) 44315 種 (5)取出5球並全部分給3人﹐每人至少1球的分法有C57(35 3 253) 3150種﹒
解答 1245
解析 (1)由7個不同色球取出5個方法數為C57﹒
(2)取出5球分給5人﹐每人一球方法數為C57 5! P57﹒ (3)取出5球並任分給3人方法數為C57 35 5103﹒ (4)所求方法數為C57(352 ) 44315 ﹒
(5)取出5球分給3人﹐每人至少1球的分法數有
7 5 3 5 3 5 3 5 7 5 5
5[3 ( 1 2 21 30 )] 5(3 3 2 3) 3150
C C C C C ﹒故選(1)(2)(4)(5)﹒
（ ）2.6種不同飲料﹐4個杯子﹐每個杯子倒一種飲料﹐依下列情形﹐其方法數有哪 些是正確的？
(1)杯子相異﹐杯中飲料相異的方法有P46種
(2)杯子相異﹐杯中飲料可相同之方法有46種
(3)杯子相同﹐杯中飲料相異之方法有C46種
(4)杯子相同﹐杯中飲料可相同之方法有6種﹒
解答 13
解析 (1)6中取4的排列﹐P46 360種﹒
(2)6中取4的重複排列﹐641296種﹒
(3)6中取4的組合﹐C46 15種﹒
(4)6種飲料共4杯的重複組合﹐H46C46 4 1 C49126種﹒故選(1)(3)﹒
（ ）3.有5種不同果汁﹐倒入3個杯子﹐每杯限倒一種果汁﹐試問哪些選項正確？
(1)杯子相同﹐每種果汁限倒一杯﹐共有10種方法
(2)杯子相異﹐每種果汁限倒一杯﹐共有60種方法
(3)杯子相同﹐每種果汁無限供應﹐共有35種方法
(4)杯子相異﹐每種果汁無限供應﹐共有125種方法﹒
解答 1234
解析 (1) 5種果汁任取3種﹐由組合C3510﹒ (2) 5種果汁倒3相異杯子﹐由排列P3560﹒ (3) 5種果汁分別倒x1, x2, x3, x4, x5杯﹐
由重複組合 x1x2 x3 x4x53﹐得H35C3735﹒
(4)每個杯子有5種選擇﹐由重複排列53125﹒故選(1)(2)(3)(4)﹒
二、填充題 (每題10分 )
1. 將6本不同的書﹐分成3堆﹐求下列各種分法數﹒
(1)各堆分別有1﹐2﹐3本﹐有____________種﹒
(2)各堆分別有1﹐1﹐4本﹐有____________種﹒
(3)每堆各2本﹐有____________種﹒
(4)各堆分別有1﹐2﹐3本﹐再分給甲､乙､丙3人﹐每人一堆﹐有____________種﹒
(5)各堆分別有1﹐1﹐4本﹐再分給甲､乙､丙3人﹐每人一堆﹐有____________種﹒
(6)每堆各2本﹐再分給甲､乙､丙3人﹐每人一堆﹐有____________種﹒
(7)各堆分別有1﹐1﹐4本﹐再分給甲､乙各一本､丙4本﹐有____________種﹒
解答 (1)60; (2)15; (3)15; (4)360; (5)90; (6)90; (7)30 解析 (1)C C C16 25 3360﹒ (2) 16 15 44 15
2!
C C C ﹒ (3) 26 24 22 15 3!
C C C ﹒
(4)C16C25C33 3! 360﹒ (5) 16 15 44 3! 90 2!
C C C ﹒ (6) 26 24 22 3! 90 3!
C C C ﹒
(7) 16 15 44 2! 1 30 2!
C C C
2. 將20個梨分給甲､乙､丙三個人﹐求下列各情況的分法數：
(1)每個人至少一個﹐有____________種分法﹒
(2)甲至少1個﹐乙至少2個﹐丙至少3個﹐有____________種分法﹒
解答 (1)171;(2)120
解析 (1)先給三人每人1個﹐剩下17個梨任意分給三人﹐分法有
3 3 17 1 19 19
17 17 17 2 171
H C C C ﹒
(2)先給甲､乙､丙各1, 2, 3個後剩下14個梨任意分給三人﹐ 分法有
3 3 14 1 16 16
14 14 14 2 120
H C C C ﹒
3. 在數線上有一個運動物體從原點出發；在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳1個 單位﹐跳動過程可重複經過任何一點﹐若經過6次跳動後運動物體落在點+2處﹐則此運 動物體共有_______種不同的跳動方法﹒
解答 15
解析 由題意知設向正向x次，向負向y次 0 2 4
6 2
x y x
x y y
有4次正方向2次負方向﹐即+, +, +, +, , 的直線排列 6! 15
4!2! 種﹒
4. 設班聯會中有7個班代表﹐有3個人競選班聯會主席﹐每個班代表各投一票﹐試問下列 情形各有多少種可能的投票結果？
(1)採記名投票﹐且沒有廢票﹒________________種 (2)採記名投票﹐可能有廢票﹒________________種 (3)採不記名投票﹐且沒有廢票﹒______________種 (4)採不記名投票﹐可能有廢票﹒______________種
解答 (1)2187種;(2)16384種;(3)36種;(4)120種
解析 (1)如7個相異球放入3個不同箱子中﹐每箱放的球數沒有限制﹐方法數37 2187﹒
(2)有廢票﹐即增一箱子放廢票﹐視為7個相異球任放入4個不同箱子﹐4716384﹒
(3)視為7個相同的球放入3個不同箱子中﹐每箱放的球數沒有限制﹐
方法數有H73C73 7 1 C79C29 36﹒
(4)有廢票﹐即增加一箱子放廢票﹐視為7個相同的球放入3個不同箱子中﹐每
箱球數沒有限制﹐ 方法數有H74C74 7 1 C710C103 120 5. 有3個梨﹐5個蘋果﹐分給3人﹐依下列情形方法各有幾種？
(1)每人所得不限﹒________________種
(2)每人至少分得一個蘋果﹒________________種 (3)每人至少分得一個梨或蘋果﹒________________種 解答 (1)210種;(2)60種;(3)141種
解析 (1)梨的分法有H33C33 3 1 C3510﹐蘋果的分法有H53C53 5 1 C5721﹐ 故全部的方法數為10 21 210 ﹒
(2)每人先分給1個蘋果﹐剩2個蘋果﹐再將3個梨､2個蘋果分給3人﹐
每人所得不限的方法有H33H23C33 3 1 C23 2 1 C35C2460﹒
(3)令U表將3個梨､5個蘋果任意分給3人（甲､乙､丙）所有方法所成集合﹐
又A, B, C依序表甲､乙､丙三人沒分到梨及蘋果的方法﹐
則所求為|A'B'C'| | ( A B C ') |﹐
又|A B C|C13| |A C23|AB|C33|A B C|﹐
其中| |A 表將3個梨､5個蘋果任意分給乙､丙二人的方法數﹐
故| |A H32H52C32 3 1 C52 5 1 4 6 24 | | | | B C ﹐
而|AB|H13H51C1 3 13 C51 5 1 1 |B C| | C A| ﹐ |A B C| 0 ﹐ 故每人至少分得一個梨或蘋果的方法數為
|A'B'C'| | | | U A B C| 210 ( C1324C23 1 C330) 210 69 141 ﹒ 3. 甲､乙､丙､丁､戊5人排成一列﹐試求：
(1)甲不排首位的排法數﹒___________種
(2)甲不排首位﹐乙不排中的排法數﹒___________種 解答 (1)96種;(2)78種
解析 錯排
(1)（全部的排法）（甲排首的排法） 5! 4! 96種﹒
(2)（全部排法）（甲排首）（乙排中）+（甲排首且乙排中）
5! 4! 4! 3! C02 5! C12 4! C22 3! 78種﹒
4. 有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人﹐試求：
(1)任選5人的方法數﹒_____________種
(2)任選5人再排成一列的方法數﹒_____________種
解答 (1)21種;(2)2520種
解析 (1) 57 7! 21
C 5!2! 種﹒
(2)C57 5! P5721 120 2520 種﹒
5. 有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚7人排成一列﹐試求：
(1)甲在乙的左方的排法數﹒_______種 (2)甲在乙的左方且乙在丙的左方的排法數﹒__種
解答 (1)2520種;(2)840種
解析 甲､乙､丙､丁､戊､己､庚7人排成一列的排法7! 5040 ﹒
(1) 先排 ○､○､丙､丁､戊､己､庚7人再將甲排左邊的○，乙排右邊的○﹐
甲乙 排列數為7! 1 1
2! 5040 1 2520
2 種﹒
(2) 先排 ○､○､○､丁､戊､己､庚7人再將丙排最右邊的○，最左邊的○排甲﹐
中間的○排乙
甲乙丙的排列數為7! 1 1 1
3! 1 5040 840
6 種﹒
6. 某桌球隊要從10名選手中排出5名﹐分別參加五場單打友誼賽﹐10名選手中近況特佳 的有3位﹐教練決定任意安排他們分別在第一､三､五場出賽﹐另外兩場則由其餘選手 任意選出排定﹐則此球隊出場比賽的名單順序一共可以有多少種？________________種 解答 252種
解析 第一､三､五場的3位選手3! 6 種﹐第二､四場﹐其他7位選2位排定C27 2! 42 種﹐得6 42 252 種﹒
7. 有編號1～7的7個籃子﹒
(1)有編號1～7的7個球﹐要放到那7個籃子裡﹐每個籃子恰放一個球﹐有幾種方法？
(2)有編號1～4的4個球﹐要放到那7個籃子裡﹐每個籃子至多放一個球﹐有幾種方法？
解答 (1)5040;(2)840
解析 (1)原題意可視為把7個相異的籃子全部取出排成一列﹐
方法數為C77 7! P77 7 ! 7 6 5 4 3 2 1 5040 ﹒
(2)原題意可視為把7個相異的籃子取出4個排成一列﹐
方法數為C47 4! P47 7 6 5 4 840﹒ 8.「tennessee」一字中﹐求：
(1)各字母重排﹐有____________種排法﹒ (2)若同字母須相鄰﹐有____________種排法﹒
解答 (1)3780;(2)24 解析 (1) 9!
4!2!2! 3780（種）（9個字母中﹐有4個e﹐2個n﹐2個s﹐1個t）﹒
(2)相當於t﹐e﹐n﹐s全取排列數4! 24（種）﹒
9.將12件相同之物品﹐依下列分法﹐求方法數：
(1)分給15人﹐每人至多1件﹐則方法有____________種﹒
(2)分給3人﹐其中一人至少二件﹐一人至少三件﹐一人至少四件﹐則方法有_________種﹒
解答 (1)455;(2)25 解析 (1) 15!
12!3! 455﹒
(2)分成(2﹐3﹐7)﹐(2﹐4﹐6)﹐(2﹐5﹐5)﹐(3﹐3﹐6)﹐(3﹐4﹐5)﹐(4﹐4﹐4) 共3! 3! 3!
2!3!
2!3! 3!
3! 6 6 3 3 6 1 25種﹒
10.將ACCESS一字的字母重新排列﹐若限制A一定要排在E之前﹐但A﹐E不一定要相鄰﹐
問連同原字﹐共可排出____________字﹒
解答 90
解析 先求□□CCSS之排列為 6!
2!2!2!﹐再將A﹐E分別放入左□及右□之方法只有1種﹐
故所求為 6!
2!2!2! 1 90﹒
11.有8個小朋友排成一列﹐其中3姊妹兩兩不相鄰﹐問共有____________種排法﹒
解答 14400
解析 5! P63 14400﹒
6 個間隔 選3個 插 入3姊 妹 5個小 朋友 排列
12.將「庭院深深深幾許」等七個字全取排成一列﹐
(1)三個「深」字不完全相鄰﹐則排法有____________種﹒
(2)三個「深」字完全不相鄰﹐則排法有____________種﹒
解答 (1)720;(2)240
解析 (1) 不完全相鄰= 全完全相鄰 7個字全取排列﹐共7!
3!排法﹐
完全相鄰即把3個深視為1個﹐與其他4字排列﹐有5！種排法﹐
∴共有7!
3! 5! 720種排法﹒
(2)先排「庭」､「院」､「幾」､「許」4個字﹐共有4！種排法﹐
5個空位選3個排「深」字﹐共
5 3
3!
P 種排法﹐ ∴ 共有4!．
5 3
3!
P 240種排法﹒
13.有4位男生及3位女生排成一列﹐求：
(1)若要求男生須排在一起﹐女生亦須排在一起﹐其排法有__________種﹒
(2)若只要求男生排在一起﹐其排法有____________種﹒
解答 (1)288;(2)576
解析 (1)將4位男生視為一體﹐3位女生視為一體﹐排法有2 ! 種﹐
4位男生交換位置﹐排法有4 ! 種﹐3位女生交換位置﹐排法有3 ! 種﹐
故排列數 2 ! 4 ! 3 ! 288﹒
(2)將4位男生視為一體與3位女生混在一起﹐排法有4 ! 種﹐
4位男生交換位置﹐排法有4 ! 種﹐故排列數 4! 4! 576﹒
14.如圖﹐由A到B走捷徑﹐求：
(1)經過C點的走法有____________種﹒
(2)經過C且不過D的走法有____________種﹒
解答 (1)70;(2)34
解析 (1) A → C → B 2!
1!1! 7!
4!3! 2 35 70﹒
(2)過C且不過D (過C) (過C且過D) 70 2!
1!1! 4!
2!2! 3!
2!1! 70 36 34﹒
15.甲､乙､丙､丁､戊､己､庚共7人排一列﹐甲須排在乙､丙､丁之左﹐且戊須排在己､
庚之右的排法有_________種﹒
解答 420
解析 將□□□□⃝⃝⃝排成一列最左□給甲，其餘3個□給乙､丙､丁排列 最右⃝給戊，其餘2個 給己､庚排列
7!
4!3! 3! 2! 420﹒
↑ ↑
(乙丙丁3人排法) (己庚2人排法)
16.將2紅球﹐3白球﹐4黑球（球皆相同）﹐求：
(1)若分給9人﹐有____________種分法﹒
(2)若分給11人﹐有____________種分法﹒
解答 (1)1260;(2)69300
解析 (1) 紅, 紅, 白, 白, 白, 黑, 黑, 黑, 黑 的排列： 9!
2!3!4! 1260（種）﹒
(2) 紅, 紅, 白, 白, 白, 黑, 黑, 黑, 黑,╳,╳ 的排列： 11!
2!3!4!2! 69300（種）﹒
17.甲､乙､丙､…､庚等7人排成一列﹐求下列的排法：
(1)甲不排第一位﹐乙不排第二位﹐丙不排第三位____________﹒
(2)甲在乙的左方﹐且在丙的左方____________﹒
解答 (1)3216種;(2)1680種
解析 (1)三個人的錯排C037! C13．6! C23．5! C034! 3216（種）﹒
(2)7!
2! 1680
3! （種）﹒
18.自0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5六個數字中﹐選取五個排成一五位數﹐
(1)共有五位數____________個﹒ (2)所得的五位數中﹐大於31200者有____________個﹒
解答 (1)600;(2)330
解析 (1)第一位不排0，其餘任排5 P54 600﹒
(2)3 1 3．P32 18﹐
3 3．P43 72﹐
4
5 2．P54 240﹐
∴ 240 72 18 330﹒
19.高二有四個才藝班﹐開學時﹐來了五個轉學生﹐
(1)如果每班最多安插三個人﹐則有____________種方法﹒
(2)如果五個人中﹐甲､乙兩人不分在同一班﹐且每班安插的人數不限﹐則有____________
種方法﹒
解答 (1)960;(2)768
解析 (1)以樹狀圖表示﹐
每班最多安插三個人全(5人同班) (4人同班) 5人任意分班﹐有45 1024種方法﹐
其中4人同班﹐另一人一班的方法C C45 11P24 60種﹐
5人同一班的方法有C55P14 4種﹐
所以每班最多3人的分配法有1024 (4 60) 960種﹒
(2)任意分班減去甲､乙兩人同一班的方法數﹐即為所求 45 44 768種方法﹒
20.三枝相同的原子筆﹐五枝相同的鉛筆﹐全部分給10個小朋友﹐則：
(1)每人最多一枝﹐共有____________種分法﹒
(2)如果八枝筆都不相同﹐每人最多一枝則分法有____________種﹒
解答 (1)2520;(2)P108
解析 (1)本問題如3個a﹐5個b﹐2個Ⅹ在10個位置的排列﹐共 10!
3!5!2! 2520排法﹒
(2)8枝不同的筆分給10個小朋友中的8個人﹐每人最多一枝有P108 種分法﹒
21. 5個男孩﹐4個女孩排成一列﹐求：
(1)若任意兩個女孩都不相鄰﹐則有____________種排法﹒
(2)若男孩全不相鄰﹐女孩也全不相鄰﹐則有____________種排法﹒
解答 (1)43200;(2)2880 解析
(1)先排5個男孩﹐有5!種方法﹐
然後將4個女孩排在6個間隔（含首末）中的4個位置﹐有P64種方法﹐
9個人排列法有5! P64 43200﹒
(2)先排5個男孩﹐有5!種方法﹐
男孩､女孩同性均不相鄰﹐男女男女男女男女男﹐女孩只能排中間四個間隔﹐
所以有4!種排法﹒9個人的排列共有5! 4! 2880種方法﹒
22.n為正整數﹐若P3n：P3n2 5：12﹐則n ____________﹒
解答 7
解析 P3n：P3n2 5：12﹐即 ( 1)( 2) ( 2)( 1) n n n
n n n
5
12﹐亦即5(n 2)(n 1) 12(n 1)(n 2)
5(n2 3n 2) 12(n2 3n 2)
7n2 51n 14 0
n 7或2
7﹐但n是整數﹐所以n 7﹒
23.從0﹐1﹐2﹐3﹐4﹐5中取出三個不同數﹐寫成三位數﹐則其中4的倍數有_________個﹒
解答 24
解析 4的倍數即末兩位為4的倍數
取末兩位：04﹐12﹐20﹐24﹐32﹐40﹐52﹐
含0的有3個﹐其百位數有四個選擇﹐共3 4 12個﹐
不含0的有4個﹐其百位數有三個選擇﹐共4 3 12個﹐
∴ 4的倍數共有12 12 24個﹒
24.有6位學生打完球到福利社喝飲料﹐福利社有3種不同飲料﹐每位喝一瓶﹐由一人代表 買飲料﹐則此人有____________種選擇飲料的方式﹒
解答 28
解析 從三種不同飲料共6瓶﹐∴ 選法有H36 C86 28種﹒
25.啦啦隊競賽規定每隊8人﹐且每隊男､女生均至少要有2人﹒某班共有4名男生及7名
女生想參加啦啦隊競賽﹐若由此11人中依規定選出8人組隊﹐則共有____________種不 同的組隊方法﹒
解答 161
解析 男生､女生人數的組合如下：
男生 2 3 4
女生 6 5 4
其組隊方法共有C24C67C34C57C44C4742 84 35 161 種﹒
