7.2.2 对坐标的曲线积分

(1)

7.2.2 对坐标的曲线积分

一、相关问题

1. 根据定积分中的微元思想,思考如何计算变力沿曲线的做功问题。

解设一质点在一变力F P x y i Q x y j( , ) ( , )_{的作用下，沿光滑曲线}

L由A点移至B

点，求此过程中变力F_{所作的功。}

如果F 是一个常力，作用于质点，使之沿直线从A点移至B点，F _{与位移方向}s_的夹角

为，记| |F 

F，| |s s_；则

cos W F s    F s  ^；

设P x y Q x y( , ), ( , )_{在有向曲线弧}LAB上连续，

⑴ 任意分割L为n_{个有向小弧段：}M M_i_₁ _i

，i1, 2, , n^，M0  A，Mn B，其中 ( , )

i i i

M x y；( , ) _i _i M M_i_₁ _i

，在M M i_1 i

上近似地视 F 为常力，即

F( , ) _i _i P( , ) _i _i i Q ( , ) _i _i j 由条件M_i_₁M_i

是光滑的，位移可用弦M Mi_1 i

代替M Mi_1 i

，且有 M M x x i y y j xi y j_{i i}_1      ( ) ( )_{i i}_1 _{i i}_1  _i _i

⑵ 求近似： W Fi ^{( , )} i isP( , ) _i _i  x_i Q( , ) _i _i y_i_，i1, 2, , n

1

1 1

( , )

nni i i i i

i i

W W F M M



   ^^^{}

1

{ ( , ) ( , ) }

n

i i i i i i

i

P  x Q  y



   

⑶记 max{M_i ₁M_i}

 

 _，

则 0 ¹

1

lim ⁿ ( ,_i _i) _i _i

i

W F M M

    

 ^ ^{}

0 1

lim ⁿ { ( _i, _i ) _i ( _i, _i ) _i}

i

P x Q y

_    





  

2.两类曲线积分有何联系与区别？

解（1）两类曲线积分的区别？

第一类曲线积分中表示小弧段的长度，始终为正；第二类曲线积分的表小

弧段在坐标轴上的投影，其值与曲线的方向有关。因此需注意两类曲线积分在性质和计算上的不同。

（2）两类曲线积分的联系？

由区别知第一类曲线积分与路径的方向无关，在化为定积分时，积分下限一定要小于积分上限；而第二类曲线积分与路径的方向有关，在化为定积分时，积分下限对应积分弧的起点，积分上限对应积分弧段的终点，因此，积分下限不一定要小于积分上限．

1

Mi

(2)

3.表示两类曲线积分之间联系的表达式是什么？

解其联系表达式为：

LPdx Qdy







L^{( cos}P  Q^{cos )} ds

其中,cos ,cos 是曲线方向的方向余弦。若cos ,cos ,cos   是空间曲线方向的方向余弦，则

Pdx Qdy Rdz

  







^{( cos}^P ^^Q^cos^ ^R^{cos )}^ ^ds

二、相关知识

1.坐标曲线积分转化为定积分后如何确定积分上下限？

解坐标曲线积分转化为定积分后，下限对应于L的起点，上限对应于L的终点, 由

于坐标曲线积分具有方向性，所以不一定小于。 2.坐标曲线积分过程中对称性的应用有哪些规则？

解（1）设分段光滑的平面曲线L关于

x

轴对称，且L在

x

轴的上半部分L₁与在下

半部分的 L2方向相反，则

   

1

0, ,

, d

2 , d , ,

L

P x y y

P x y x

P x y x P x y y

 







是关于的偶函数

,

是关于的奇函数。

（2）设分段光滑的平面曲线L关于 y _{轴对称，且}L在 y _{轴的右半部分}_L₁_与在左

半部分的 L2方向相反，则

   

1

0, ,

, d

2 , d , ,

L

P x y x

P x y x

P x y x P x y x

 







是关于的偶函数

,

是关于的奇函数。

3.坐标曲线积分公式的关系式？

解（1）如果曲线方程为L： y y x( )，x_从a_到b； y x( )_在L上连续，L：

( ) x x y y x

 

  ^，

则

LPdx Qdy



^b^{{ [ , ( )]} [ , ( )] ( )}

a P x y x Q x y x y x dx







（2）如果曲线方程为L：x x y ( )，y_从c_到d；x y( )_在L上连续，L： x x y( ) y y

 

 



则：



_LPdx Qdy ^d{ [ ( ), ] ( ) [ ( ), ]}

c P x y y x y Q x y y dy







(3)

（3）对于空间有向光滑曲线



^：^{x t}^^^{( )}^、^y^^^{( )}^t ^、^z^^^{( )}^t ^，^t^:^ ^^ ^，则

( , , ) ( , , ) ( , , )

LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz 



{ [ ( ), ( ), ( )] ( )P t t t t Q[ ( ), ( ), ( )] ( )t t t t R[ ( ), ( ), ( )] ( )}t t t t dt



            





 

其中对应于的起点, 对应于的终点。

三、练习题

1.计算 x s²d







^，其中^^为

2 2 2 2

0

x y z R

x y z

   

   

 ^。

解因为关于x,y,z_{具有轮换对称性，所以}

 

2 1 2 2 2 1 2 2 3

d d d

3 3 3

x s x y z s R s R

       

  

  

2.计算



Lx ydx，其中L是抛物线y² x上从A



1，1



到B



1，1



的一段弧。

解1 化成对

x

的定积分计算 LL₁L₂_，

0 1 : ,

1:y x x 

L ；L₂:y  x,x:01，则

0 d d

d d

d ¹

0 1

0 0

2 1

1



















     



L^x ^y ^x L ^x ^y ^x L ^x ^y ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x ^x

解2 利用对称性计算。

因为L关于

x

轴对称，且方向相反，又被积函数 fx,y  x y 是y _{的偶函数，}

显然有



Lx y^dx^⁰。

3.求积分曲线 ⁽^x² ^y²⁾[cos(2 ) sin(2 ) ]

Ce^ ^ xy dx xy dy



^,C^{是单位圆周}^x²^^y² ^¹^方向为逆

时针方向。

解积分曲线C可分为上、下两个对称的部分，在对称点( , )x y _与( ,x y )_上，函数

2 2

(^x ^y )cos(2 )

e^ ^ xy 大小相同，但投影元素dx

在上半圆为负，下半圆为正。因此，

2 2

( )

cos(2 )

x y

e^ ^ xy dx在对称的两个半圆大小相等，符号相反，故 ⁽^x² ^y²⁾cos(2 ) 0

Ce^ ^ xy dx



^。

类似可知 ⁽^x² ^y²⁾sin(2 ) 0

Ce^ ^ xy dy



^，因此 ⁽^x² ^y²⁾^{[cos(2 )} sin(2 ) ] 0

Ce^ ^ xy dx xy dy 



^。

4. 把对坐标的曲线积分



_LPdx Qdy 化为对弧长的曲线积分，其中L为曲线y x ²从

(0,0)_到(1,1)_的一段。

(4)

解 L： x x₂ y x

 

  ^，x: 01；与曲线方向一致的切线向量为：s{ , }x y  {1, 2 }x _， {cos ,cos } 1

| |s

   s 

 2

1 {1, 2 }

1 4 x

 x

 ² ²

1 2

{ , }

1 4 1 4

x

x x

  

故 1 ₂

cos  1 4x

 ²

cos 2

1 4 x

  x





_LPdx Qdy 



L^{( cos}P Q^{cos )} ds 2

2

L 1 4 P xQ

x ds

 





四、思考题

1．求半径为a_{，中心角为}2的均匀圆弧的重心坐标。

解建立坐标系如图所示，因曲线弧是均匀的，则重心坐标在x_轴上，

0

y _， ^Lxds

x 



l _； 2

l



Lds a



Lxds ^â^cos â²^sin² â²^cos² ^d





  

2 sina2 



Lxds

x



l ^{2 sin}² 2 a

a



  ^a^sin

  _{重心坐标：} sin

(a ,0)



2.判断下列命题正、误并说明之。设I  ^,

AB

xyds AB





 ^为圆周^x²^^y² ^^a²^{的弧段，其中}

两端点为



^0,



^, ^, ³

2 2 A a Ba a

 

 ^，则

(1) ⁰² ² ² ² ² 1 ³

8

a a

I x a x dx a

a x

   





(2)

3

2 2 3

2

2 2

0

1 8

a a

I y a y dy a

a y

   





解 (1)正确。

(2)不正确。当选y为参变量时， 3

2  y a，故应将积分上下限对换,可得正确结论。

  a x

y

(1,1)