第十一章

第十一章

积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域

曲线积分

曲线域 曲面域 曲线积分

曲面积分

对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分

曲面积分

曲线积分与曲面积分

第一节

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

对弧长的曲线积分

A

B

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

假设曲线形细长构件在空间所占

弧段为 AB , 其线密度为

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 求极 限”

k k

k

k , , )s (  

可得

 n

0 k 1

lim

 

M

为计算此构件的质量 ,

) ,

,

(_k _k  _k

1. 引例 : 曲线形构件的质量

采用



设  是空间中一条有限长的光滑曲线 , 义在 上的一个有界函数 ,

k k

k

k s

f ( , , )

都存在 ,

 上对弧长的曲线积分 ,

记作

_ ^{f (x, y, z)ds}

若通过对  的任意分割 局部的任意取点 ,

2

. 定义

是定 )

, ,

(x y z f

下列“乘积和式极限”

则称此极限为函数 在曲线

或第一类曲线积分 .

, ,

(x y z

f

_{称为被积函数}

，  称为积分弧段 曲线形构件的质量

.

 n

0 k 1

lim



sk



1

Mk

Mk

) ,

,

(_k _k  _k

和对

如果

是

面上的曲线弧 ,

k k

n

k

k s

f 

 

  ( , )

lim

0 1  

_L ^{f (x, y)ds} 

如果

是闭曲线 , 则记

为

L

ds y

x

f ( , )

则定义对弧长的曲线积 分为

思考 :

(1) 若在

上 f (x, y)≡1,

(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否 ! 对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中

dx 可能为负 .

3.

性质

 ^{f (x, y, z)}  ^ds

) 1

( _

_ ^{k f (x, y, z)ds}

) 2

(

（ k 为常

_ ^{f (x, y, z)ds}

数 )

3 (

(  由 组 成 )

, 



_ ^ds

) 4

(

( l 为曲线弧  的长 度 )

) , ,

(x y z

 g

_

 f (x, y, z)ds ^ _ g(x, y, z)ds

_

 k f (x, y, z)ds

 l



_ ^ _



2 1

d ) , , ( d

) , ,

(x y z s f x y z s f



_L ^{f (x, y)ds } _^{ f [ (t ), (t )] 2(t )  2(t ) d t}

二、对弧长的曲线积分的计算法

基本思路 :

计算定积分

定理 :

且

( )

(  

  

 t t

y

上的连续函数 ,

证 :

是定义在光滑曲线弧 则曲线积分

), ( : x t L  

, d

) ,

( 存在

_L ^{f x y s}

求曲线积分

根据定义

k k

n

k

k s

f 

 

  ( , )

lim

0 1  

_L ^{f (x, y)ds} 

, ] ,

[ _{k 1 k}

k  t _ t

点

t t

t

s ^k

k

t

k t ( ) ( ) d

1

2

 _ ^2 ^{ }



  

, )

( )

( ²

2 k   k tk

    



  ⁿ 0 k 1

lim

_L ^{f (x, y) ds}

k k

k    t

²( )  ²( )

 ]

) (

, ) (

[ _{k k}

f    

连续 注意



(

) 

^

(

)

设各分点对应参数为

对应参数为

则

] ,

[ _{k 1 k}

k  t _ t





  ⁿ 0k 1

lim ^{f [} ⁽ _k ^), ⁽_k ^)] ²(k )  ²(k ) tk

x

d dy s

d

x y

o

_L ^{f (x, y) ds}

t t

t t

t

f [ ( ), ( )] ² ( ) ² ( ) d

 ^{  }

 ^

    

说明 :

, 0 ,

0 )

1

( s_k  t_k 

^{因此积分限必须满足}

(2) 注意到

2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

t t

t ) ( ) d

( ²

2 

  ^



因此上述计算公式相当于“换元法” .

因此

如果曲线 L 的方程

为

_则有

_L ^{f (x, y)ds}

如果方程为极坐标形式 :

_则

y x

L f

 ^{( , )d}



 ^

 f (r( )cos , r( )sin )

推广

设空间曲线弧的参数方程

为

则

t t

t

t) ( ) ( ) d

( ^{2 2}

2  

    ^ x x d) (

1 ^2





 ) ( ) d

( ²

2 r

r  



 ^b

a f (x, (x) )



 ^

 f ((t) , (t),(t) )

例 1. 计算

其中 L 是抛物线

与点 B (1,1) 之间的一段弧 .

解 :



 L xds ^ ₀^{1x  1 (2x d)2 x}

x x

x 1 4 d

1 0

 ^ 2



1

0 32

2) 4

1 12 (

1 

 

 x

) 1 5

5 12 (

1 



上点 O (0,0)

1 L

x y

x2

y  o

) 1 , 1 ( B

例 2. 计算半径为 R , 中心角

为

_{的圆弧 L 对于它的}

称轴的转动惯量 I ( 设线密度

_{= 1).} 对 解 : 建立坐标系如图

,

R x y

o

 L s

y

I ^ L ² d







 

 ² sin² ( sin )² ( cos )²d

_ ^{ }

 R R R



 

 sin² d

3_

 R   ^

0 3

4 2 sin 2 2



 

 R ) cos

sin

3(   

 R

则

) sin (

: cos _ _ _ 



  R y

R L x

例 3. 计算

L



_{其中 L 为双纽线}

) 0 (

) (

)

(x²  y^{2 2}  a² x²  y² a 

解 : 在极坐标系下

它在第一象限部分为

4 ) 0

( 2

cos

1 : r  a      L

利用对称性 , 得

 1

 ^{ 4}₀^{ 4 r cos r2( )  r2( ) d}



 ⁴

0

2 cos d

4 ^ a    2 2 a²

, 2 cos : r² a² 

L  y

o ^x

例 4. 计算曲线积分

^{其中为螺旋} 的一段弧 . 解 :

 ^{ }

 ^2

0

2 2

2 ( sin ) ( ) ] )

cos

[(a t a t kt

t t

k a

k

a ² [ ]d

0

2 2 2

2

2 ^  ^

 ^

0 3 2

2 2 2

2

3





 

 

 k t

t a k

a

) 4

3 3 (

2 _{2 2 2 2 2}

k a

k

a 

 _{ }



t k

t a

t

asin ) ( cos ) d

( ²  ²  ²



) 2 0

( ,

sin ,

cos     

 a t y a t z k t t

线

例 5. 计算

^{其中为球面}

2 2

2

2 y z a

x   

被平面 所截的圆周 .

解 : 由对称性可知

s z

y x

s

x ( )d

3

d 1 ^{2 2 2}

2   

 _ _

s 3 a d

1 ₂

_

 a 2 a

3

1 ₂



3

3

2 a



s y d²

_

 ^ _ z d² s

内容小结

1.

定义

k k

k n

k

k s

f 

 

  ( , , )

lim

0 1   

_ ^{f (x, y, z)ds} 

2.

性质

k k

n

k

k s

f 

 

  ( , )

lim

0 1  

_L ^{f (x, y)ds} 

 ^{f (x, y, z) g(x, y, z)}  ^ds

) 1

( _ ^{  }





_ ^{( , , )d } _1 ^{( , , )d } _2 ^{( , , )d}

) 2

( f x y z s f x y z s f x y z s

) ,

(由₁ ₂ 组成 l

s 

_ ^d

) 3

(

( l 曲线弧  的长度 )



  L f (x, y, z)ds g x y z s ⁽^,  _为常数⁾

L ( , , )d



 

3.

计算

• 对光滑曲线弧

_L ^{f (x, y) ds}

• 对光滑曲线弧

_L ^{f (x, y)ds } _a^{b f (x, (x))}

), (

) (

: r  r      L

_L ^{f (x, y)ds}



 ^

 f (r( ) cos , r( )sin )

• 对光滑曲线弧

t t

t ) ( ) d

( ²

2 

  ^

x x d) (

1 ^2





 ) ( ) d

( ²

2 r

r  



 ^

 f [ (t ), (t )]

思考与练习

1. 已知椭圆

: 4

2 2  y 

L x

_周长为

求

s y

x

L(2xy 3 ² 4 ²)d

 ^{ }

提示 :

原式 =

L )d

3 ( 4

12

2

 2 ^{ 12}_L ^{ds  12a}

o

 2 2

y

x 3

利用对称性

s

L 2xy d

 ^ L_上 2^xy d^{s } L_下 2^xyd^s



 2x  1 y d² x

 2

2 ^ _²₂2^x(^{ }) ^{1 y d2 x}

分析 :

x y

o

Ex:

1.

设

是由极坐标系下曲线

_及

所围区域的边界 , 求

s e

I C

y

x^{2 2} d

 ^



2 )

4 2

(  

  a e^a

4 a



x y 

 0 y

a r 

提示 : 分段积分

x e

I ^{a x} d

0

 ^4 d 

0 e^aa



 ^a2 e^x 2 d x

0

 2

