求以三根坐标轴为母线的圆锥面的⽅程

第⼆章 空间中的平⾯、直线与常见曲⾯

2016 年 1 ⽉ 4 ⽇

6 二次曲面

例 1. 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的⽅程.

我们已经知道

x² a² + y²

b² − 1 = 0, x² a² −y²

b² + 1 = 0, x²+ 2py = 0 分别表⽰椭圆柱⾯, 双曲柱⾯和抛物柱⾯, ⽽⼆次⽅程

x² a² + y²

b² −z² c² = 0 则表⽰⼆次锥⾯. 现在再研究⼏个⼆次⽅程表⽰的图形.

6.1 椭球面

(1) 椭球⾯: ^x_a2² +^y_b2² +^z_c²2 = 1;

(2) 虚椭球⾯: ^x_a²2 + ^y_b²2 +^z_c²2 =−1;

(3) 点: ^x_a²2 + ^y_b²2 + ^z_c²2 = 0.

6.2 双曲面

(4) 单叶双曲⾯: ^x_a²2 + ^y_b²2 − ^z_c²2 = 1;

(5) 双叶双曲⾯: ^x_a²2 + ^y_b²2 − ^z_c²2 =−1.

6.3 抛物面

(6) 椭圆抛物⾯: ^x_p² + ^y_q² = 2z;

(7) 双曲抛物⾯: ^x_p² − ^y_q² = 2z.

6.4 二次锥面

(8) ⼆次锥⾯: ^x_a²2 + ^y_b²₂ −^z_c²2 =−1.

1

7 直纹面 2

6.5 二次柱面

(9) 椭圆柱⾯: ^x_a²2 + ^y_b²2 = 1;

(10) 虚椭圆柱⾯: ^x_a²2 + ^y_b²₂ =−1;

(11) 直线: ^x_a²2 +^y_b2² = 0;

(12) 双曲柱⾯: ^x_a²2 − ^y_b²2 = 1;

(13) ⼀对相交平⾯: ^x_a²2 −^y_b2² = 0;

(14) 抛物柱⾯: x⁼2py;

(15) ⼀对平⾏平⾯: x²= a²; (16) ⼀对虚平⾏平⾯: x²=−a²; (17) ⼀对重合平⾯: x²= 0.

7 直纹面

定义 1. ⼀个曲面 S 称为直纹面, 如果存在⼀族直线, 使得这⼀族直线中的每⼀条都在 S 上, 并且 S 上 的每⼀点都在这⼀族的某⼀条直线上, 这样的⼀族直线称为 S 的⼀族直母线.

(a) 椭球⾯ (1)-(3) 不再是直纹⾯, 因为有界限;

(b) ⼆次锥⾯ (8) 是直纹⾯ (定义);

(c) ⼆次柱⾯ (9)-(17) 是直纹⾯ (定义);

(d) 双叶双曲⾯ (5) 不是直纹⾯, 因为与 Oxy 平⾯平⾏或者相交的每⼀条直线都不会全在 S 上;

(e) 椭圆抛物⾯ (6) 不是直纹⾯, 原因同上.

定理 1. 单叶双曲面 (4) 和双曲抛物面 (7) 都是直纹面.

Proof. ⾸先分析单叶双曲⾯. 设单叶双曲⾯⽅程为 x² a² +y²

b² −z² c² = 1.

点 M0(x0, y0, z0)^⊤ 在单叶双曲⾯ S 上的充分必要条件是 x²₀

a² +y₀² b² −z²₀

c² = 1.

因此 (x0

a +z0

c ) (x0

a − z0

c )

= (

1 +y0

b ) (

1− y0

b )

,

7 直纹面 3

也即

x₀

a + ^z_c⁰ 1− ^y_b⁰ 1 +^y_b^{0 x}_a⁰ −^z_c⁰

 = 0.

因为 1 + ^y_b⁰ 和 1− ^y_b⁰ 不全为零, 所以⽅程组 { (_x0

a + ^z_c⁰) X +(

1− ^y_b⁰)

Y = 0

(1 +^y_b⁰)

X +(_x

0

a −^z_c⁰)

Y = 0.

上述⼀次齐次⽅程组, 必有⾮零解, 也即存在不全为零的实数 u0, v0 满⾜

{ u0

(_x

0

a + ^z_c⁰) + v0

(1− ^y_b⁰)

= 0 u0

(1 +^y_b⁰) + v0

(_x

0

a −^z_c⁰)

= 0.

这表明 M0 在直线

{ u0

(_x

a +^z_c) + v0

(1− ^y_b)

= 0 u0

(1 +^y_b) + v0

(_x

a −^z_c)

= 0.

上.

下⾯考虑⼀族直线

{ u(_x

a+ ^z_c) + v(

1−^y_b)

= 0 u(

1 +^y_b) + v(_x

a − ^z_c)

= 0. (1)

u, v 可取任何常数. 如果 (u1, v1) 和 (u2, v2) 成⽐例, 则它们确定直线族(1)的同⼀条直线; 若不成⽐例, 则它们确定不同的直线. 所以直线族(1) 实际上只依赖于⼀个参数, 也即 u 和 v 的⽐值. 现在我们考虑 直线族(1) 中的任何⼀条 l1(u1, v1), 并取直线上任⼀点 M1(x1, y1, z1)^⊤, 则容易验证 M1 在单叶双曲⾯

上. 证毕.

下⾯考虑双曲抛物⾯. 若它的⽅程是 x²

p −y² q = 2z, 则它有两族直母线:



 ( x

√p+ √^yq

)

+ 2λ = 0 z + λ

(√xp −^√y_q)

= 0 和



 λ

(√xp+ √^yq

)

+ z = 0 2λ

(√xp −^√y_q)

= 0.

其中 λ 取所有实数.

1 平面的仿射坐标变换 4

第三章 坐标变换

1 平面的仿射坐标变换

1.1 点的仿射坐标变换

平⾯上给了两个仿射坐标系: [O; d1, d2] 和 [O^′; d^′₁, d^′₂]. 为了⽅便起见, 前⼀个称为旧坐标系, 简记 为 I; 后⼀个称为新坐标系, 简记为 II. 点 M (或者向量 α) 在 I 中的坐标称为它的 I 坐标, 在 II 中的坐 标称为它的 II 坐标.

设 II 的坐标原点 O^′ 的 I 坐标为 (x0, y0)^⊤, II 的基向量 d^′₁ 和 d^′₂ 的 I 坐标分别是 (a11, a21)^⊤, (a12, a22). 现在我们来求 M 的 I 坐标 (x, y)^⊤ 与它的 II 坐标 (x^′, y^′)^⊤ 之间的关系.

−−→OM = −−→

OO^′+−−−→

O^′M = (x0d1+ y0d2) + (x^′d^′₁+ y^′d^′₂)

= (x0d1+ y0d2) + x^′(a11d1+ a21d2) + y^′(a12d1+ a22d2)

= (a11x^′+ a12y^′+ x0)d1+ (a21x^′+ a22y^′+ y0)d2, 所以

{

x = a11x^′+ a12y^′+ x0;

y = a21x^′+ a22y^′+ y0. (2)

公式(2)称为平⾯上坐标系 I 到 II 的点的仿射坐标变换公式. 它把任意⼀点 M 的 I 坐标 x, y 表⽰成 II 坐标 x^′, y^′ 的⼀次多项式.

定理 2. 平面上点的仿射坐标变换公式(2) 中的系数⾏列式

D :=

a11 a12

a21 a22

 ̸= 0.

我们不难计算得到坐标系 II 到 I 的点的仿射坐标变换公式 {

x^′= _D¹(a22x− a12y− a22x0+ a12y0);

y^′ = _D¹(−a21x + a11y + a21x0− a11y0).

1.2 向量的仿射坐标变换公式

假设向量 v 的 I 坐标为 (u, v)^⊤, II 坐标为 (u^′, v^′)^⊤. 则容易推得它们之间的关系:

{

u = a11u^′+ a12v^′;

v = a21u^′+ a22v^′. (3)

2 平面直角坐标变换 5

公式(3)称为平⾯上坐标系 I 到 II 的向量的仿射坐标变换公式. 类似地, 可以推得 II 到 I 得向量得仿射 坐标变换公式:

{

u^′ = _D¹(a22x− a12y);

v^′ = _D¹(−a21x + a11y).

于是我们知道, 与点的坐标变换公式不同, 向量的坐标变换公式是⼀次齐次多项式 (即没有常数项).

平⾯上的点和向量是有本质区别的两种对象, 如果只从⼀个坐标系来看, 它们都是有序实数对, 看不出 区别. 但是如果取两个坐标系 (它们的原点不重合), 通过坐标变换, 点和向量的区别就明显了.

2 平面直角坐标变换

这⼀节考虑直⾓坐标系 I[O, e1, e2], II[O^′, e^′₁, e^′₂].

2.1 直角坐标变换公式

设 O^′ 的 I 坐标为 (x0, y0)^⊤, e^′₁, e^′₂ 的 I 坐标分别为 (a11, a21)^⊤, (a12, a22)^⊤, 则坐标系 I 到 II 的过 渡矩阵是

A :=

(

a11 a12

a21 a22

) .

定理 3. 设 I 和 II 都是直角坐标系, 则 I 到 II 的过渡矩阵 A 是正交矩阵, 并且坐标系 II 到 I 的过渡矩 阵是 A^⊤.

2.2 直角坐标变换的过渡矩阵

尽管直⾓坐标系 I 到 II 的过渡矩阵 A 有四个数, 但是由于它是正交矩阵, 因此只有⼀个⾃由度.

平⾯上的仿射坐标系, 如果从 d1 逆时针选择⼩于 180^o 的⾓便与 d2 重合, 则称为右⼿系, 反之称 为左⼿系.

假设 I 和 II 都是右⼿直⾓坐标系. 若 e1 逆时针旋转 θ ⾓便与 e^′₁ 重合, 则有 a11= cos⟨e^′1, e1⟩ = cos θ;

a21= cos⟨e^′1, e2⟩ = sin θ;

a12= cos⟨e^′2, e1⟩ = − sin θ;

a22= cos⟨e^′2, e2⟩ = cos θ.

从⽽ I 到 II 的过渡矩阵为

A =

( cos θ − sin θ sin θ cos θ

) .

容易得到, |A| = 1.

3 ⼏何空间的坐标变换 6

若 I 是左⼿直⾓坐标系, II 是右⼿直⾓坐标系, 则 I 到 II 的过渡矩阵为

A =

( cos θ − sin θ

− sin θ − cos θ )

.

定义 2. 平面 (或空间) 的两个坐标系, 如果它们都是右⼿系, 或者它们都是左⼿系, 则称它们是同定向 的; 如果⼀个是左⼿系, ⼀个右⼿系, 则称它们是反定向的.

从上⾯讨论可以得到

命题 1. 设 I 和 II 都是平面的直角坐标系, I 到 II 的过渡矩阵是 A, 则 I 和 II 同定向的充分必要条件 是|A| = 1, 从⽽反定向的充分必要条件是 |A| = −1.

如⽆特别声明, 今后所取的直⾓坐标系都是右⼿系.

2.3 移轴公式和转轴公式

设 e1 到 e^′₁ 的转⾓为 θ, 则 I 到 II 的点的坐标变换公式为 (

x y

)

=

( cos θ − sin θ sin θ cos θ

) ( x^′ y^′

) +

( x0

y0

)

. (4)

若 θ = 0, 则(4)成为 (

x y

)

= (

1 0 0 1

) ( x^′ y^′

) +

( x0

y0

) ,

称为移轴公式.

若 O 与 O^′ 重合, 则(4)成为 (

x y

)

=

( cos θ − sin θ sin θ cos θ

) ( x^′ y^′

) ,

称为转轴公式.

可见平⾯上任⼀右⼿直⾓坐标系都可以经过移轴和转轴得到.

3 几何空间的坐标变换

3.1 仿射坐标变换

定理 4. 设 I[O, d1, d2, d3] 和 II[O, d^′₁, d^′₂, d^′₃] 都是空间的仿射坐标系, O^′ 的 I 坐标是 (x0, y0, z0)^⊤, d^′_j 的 I 坐标是 (a1j, a2j, a3j)^⊤ (j = 1, 2, 3). 则 I 到 II 的点的仿射坐标变换公式为:



 x y z



 =





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







 x^′ y^′ z^′



 +



 x0

y0

z0



 . (5)

3 ⼏何空间的坐标变换 7

I 到 II 的向量的仿射坐标变换公式为:



 u1

u2

u3



 =





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33







 u^′₁ u^′₂ u^′₃



 +



 x0

y0

z0



 . (6)

这里

A =





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33





称为 I 到 II 的过渡矩阵, 它的第 j 列坐标是 dj(j = 1, 2, 3) 的 I 坐标.

定理 5. 仿射坐标系 I 到 II 的过渡矩阵 A 是非奇异的, 并且 I 与 II 同定向的充分必要条件是

|A| > 0.

由 G2-命题 6, 注意到

|A| = d^′₁× d^′2· d^′3

d1× d2· d3

.

3.2 直角坐标变换

定理 4 和定理 5 在直⾓坐标系中当然也成⽴. 但更进⼀步有:

定理 6. 设 I 和 II 都是直角坐标系, 则 I 到 II 的过渡矩阵 A 是正交矩阵, 并且坐标系 II 到 I 的过渡矩 阵是 A^⊤.

3.3 代数曲面 (线) 及其次数

定理 7. 若图形 S 在仿射坐标系 I 中的⽅程 F (x, y, z) = 0 的左端是 x, y, z 的 n 次多项式, 则 S 在任 意⼀个仿射坐标系 II 中的⽅程 G(x^′, y^′, z^′) = 0 的左端是 x^′, y^′, z^′ 的 n 次多项式.

上述定理表明, ⼀个图形的⽅程的左端是否为多项式以及这多项式的次数与坐标系的选择⽆关, 它 们都是图形本⾝的性质.

若图形 S 的⽅程的左端是多项式, 则称 S 是代数曲⾯, 并且把这个多项式的次数称为这个代数曲

⾯的次数. 在平⾯上也有类似的性质. 我们据此可以化简平⾯ (空间) 中的⼆次曲线 (⾯), 并将其分类, 研究其性质. 具体内容在本课程略过, 有兴趣的同学可以参考相关教科书.