93.05.06 班級範圍2-5 正餘弦定理+Ans 座號姓名一. - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.05.06 班級

範

圍 2-5正餘弦定理+Ans 座號

姓 名 一. 單選題(每題 10 分)

1. 有一邊長為3的正六邊形紙板，今在每一個角各剪掉一個小三角形，使其成為正十二邊 形之紙板，則此正十二邊形之一邊長為(A) 1 (B)

2

3 (C) 3 (D)

2 3 3

3 −

(E) 6 3− 9 答案：(E)

解析：

令所截去三角形的腰長為x，則所得正十二邊形之一邊長為3 − 2x 如圖，由餘弦定理知(3 − 2x)² = x² + x² − 2x．x cos120°

∴ x² − 12x + 9 = 0 ∴ x = 6 ± 3 3（正號不合）

故正十二邊形的邊長是3 − 2(6 − 3 3 ) = 6 3− 9 2. 對△ABC而言，下列敘述何者正確？(複選)

(A)若sinA = 2

1 ，則∠A = 30° (B)若cosA > 0，則∠A必為銳角 (C)若sin(B − C ) = 1，

則UABC為鈍角三角形 (D) sinA + sinB > sinC恆成立 (E) cos 2

1(A − B)必為正值 答案：(B)(C)(D)(E)

解析：

(A) sinA = 2

1 ⇒ ∠A = 30°或150°

(B)若cosA > 0 0°< A < 90° ∠A為銳角

(C)若sin(B − C ) = 1 B − C = 90° ∠B > 90° △ABC為鈍角三角形

(D)∵ a + b > c 2RsinA + 2RsinB > 2RsinC（利用

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ C

c B b A a

sin sin

sin = = = 2R）

sinA + sinB > sinC (E)

⇒

　0° < A < 180°

+) −180° < − B < 0°

−180° < A − B < 180°

−90° <

⇒ 2

B

A− < 90° ∴ cos 2

−B

A > 0恆成立 3. 滿足下列條件的UABC，何者恰有一解？(複選)

(A) a = 1，b = 2，∠A = 30° (B)∠A = 30°，∠B = 60°，∠C = 90°

(C) a = 2，b = 3，c = 5 (D) a = 6+ 2，b = 2，∠A = 105°

(E)∠A = 60°，∠B = 45°，b = 2 答案：(D)(E)

解析：(A)由正弦定理

° 30 sin

1 =

B sin

2 ⇒ sinB =

2

2 ⇒ ∠B = 45°或135°，故有2解

(B)由AAA公式知，滿足此條件的三角形有無限多個

(C)∵ a + b = c ∴ 無解 (D)由正弦定理

° + 105 sin

2

6 =

B sin

2 ⇒ sinB = 2

1 ⇒ ∠B = 30°或150°（不合），恰有1解 (E)由正弦定理

° 60 sin

a =

° 45 sin

2 ⇒ a = 6，恰有1解

二、填充題(每題10分) 4. 銳角△ABC中，sinA =

5 3，則

C a b

C a

cos sin

− = 。 答案：4

3

解析：b a C C a

cos sin

− =

C a A c C a

C a

cos cos

cos

sin

−

+ =

A c

C a

cos sin =

A C R

C A R

cos sin 2

sin sin

2 =

A A cos

sin = tanA = 4 3 5. 若△ABC的三邊分別為4，5，7，試求出

(1)△ABC的面積 = 。 (2)內切圓半徑 = 。 2

答案：(1) 4 6 (2) 6

解析：(1)利用海龍公式，s = 2

1 (4 + 5 + 7) = 8，則

△ABC = s(s−a)(s−b)(s−c)= 8(8−4)(8−5)(8−7)= 4 6 (2) r =

s

△= 8

6

4 =

2 6

6. △ABC之三邊長分別為AB= 5，BC= 6，AC= 7，若∠A之外角平分線交直線BC於D，則 AD長為 。

答案： 2 70 解析：

BD CD=

AB AC ⇒

x x+6=

5

7 ⇒ BD= x = 15

由△ABC及△ACD中，利用餘弦定理 可得cosC =

6 7 2

5 6

7^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+ =

21 7 2

21

7^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+ AD

⇒ AD= 280= 2 70

7. △ABC中，AB= 3+ 1，AC= 2，∠C = 105°，則 (1)BC= 。 (2) ∠B = 。 答案：(1) 2 (2) 30°

解析：

2 3 1 6 2 1 1

= ⇒ ∠ = °B 30

sin 2

sin sin sin 6 2 4 3 1 2

4

b c

B C B B

+ +

= ⇒ = ⇒ = × ×

+ +

2 2

2 sin 45

sin sin sin 45 1 1

2

a b a

A= B⇒ = ⇒ =a × × ° =

° 2

8. 設四邊形ABCD內接於一圓且AB= 1，BC= 2，CD= 3，DA= 4，則AC= ，

□ABCD的面積為 。 答案： 7

55；2 6

如右圖：設∠ADC =θ，則 ABC =180° − θ (圓內接四邊形對角 互補)，由餘弦定理知

∠

AC² = 9 + 16 − 2．3．4．cosθ = 25 − 24cosθ……c AC² = 1 + 4 − 2．1．2．cos(180° − θ ) = 5 + 4cosθ……d 消去cosθ，c + d × 6，7AC²= 25 + 30 = 55 ⇒ AC =

7 55 又由AC² =

7

55代入d ⇒ cosθ= 7

5 ⇒ sinθ= 7

6 2

∴ 四邊形ABCD之面積 = 2

1(1．2 + 3．4)sinθ = 2 6

9. 設△ABC中，AB= 2，CA= 1 + 3，∠A = 30°，則BC的長度為 ，∠C的大小 為 度。

答案： 2；45°

解析：

(1)根據餘弦定理可得

BC²= 2² + (1 + 3 )² − 2．2．(1 + 3 )cos30°

= 4 + (4 + 2 3 ) − 2 3．(1 + 3 ) = 2 ∴ BC= 2 (2)因為b = 1 + 3 > 2 = c，故∠C為銳角，由正弦定理知

C sin

2 =

° 30 sin

2 ⇒ sinC =

2

2 ．

2 1=

2

1 ∴ ∠C = 45°

10.△ABC之三邊長為8，10，12，則

(1)△ABC之外接圓半徑為 。(3)△ABC最大邊上之中線長為 。 答案：(1) 15 7 (2)

7 7

16 (3) 46 解析：(1)s =

2

1 (8 + 10 + 12) = 15，由海龍公式△= 15．3．5．7= 15 7 由△=

R abc

4 ⇒ 15 7=

R 4

12 10

8× × ⇒ R =

7 15

240 = 7

7 16

(2)最大邊上之中線長 = 2

1 _{2 2 2}

2

2a + b −c = 2

1 _{2 2 2}

12 10 2 8

2． + ． − = 46

11.△ABC中，AB= 2，AC= 3，∠A = 60°，∠A的平分線交BC於D，又其外角平分線交BC

於E，則(1)AD= 。 (2)AE= 。 答案：(1)

5 3

6 (2) 6

解析：(1)設AD= x，由△ABC面積 =△ACD面積 +△ABD面積

∴2

1．3．2sin60°=

2

1．3x sin30° + 2

1．2x sin30°⇒6．

2

3= 3x．

2

1+ 2x．

2 1⇒x =

5 3 6 (2)設AE= y，由△ACE面積 =△ACB面積 +△ABE面積

∴ 2

1．3y sin120° = 2

1．3．2sin60° + 2

1．2y sin60° ⇒ 3y = 6 + 2y ⇒ y = 6

12.△ABC中，三邊AB，BC，CA的高分別為hc = 3，ha = 6，hb = 4，則cosA = ， BC = ，△ABC的外接圓半徑R = 。

答案：8 7，

15 16 ，

15 64

解析：

(1)∵ a：b：c = ha

1 ： hb

1 ： hc

1 = 6 1：

4 1：

3

1= 2：3：4

∴ cosA =

bc a c b

2

2 2

2 + −

=8 7

(2)在直角△BCH中，h_b =BH =a⋅sinC

∵ cosC =

ab c b a

2

2 2

2 + − = −

4

1 ⇒ sinC =

4

15 ∴ 4 = a．

4

15 ⇒ a = 15 16

(3) A

a

sin = 2R ∵ cosA = 8

7 ⇒ sinA =

8

15 ∴ R = A a sin

2 =

15 64

13.△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，a = 3+ 1，求AB的值 = ，外接圓半徑 =

。

答案： 6， 2

解析： ∠B = 45°，∠C = 60° ⇒ ∠A = 75°

由正弦定理知 sin

a A=

sin c

C ⇒

c= ^sin sin a C

A =

°

° +

75 sin

60 sin ) 1 3

( =

4 2 6

2 ) 3 1 3 (

+

×

+ = 6

又2R = sin

c

C ⇒ R = 2sin

c C=

2 2 3

6

．

= 2

14.若△ABC的三內角∠A，∠B，∠C滿足sinA = 2sinCcosB，則△ABC的形狀為 三角形。

答案：等腰

解析：由正弦定理知sinA = R a

2 ，sinC = R c

2 ，由餘弦定理知cosB =

ac b c a

2

2 2

2 + −

sinA = 2sinC cosB ⇒ R a

2 = 2．

R c

2 ．

ac b c a

2

2 2

2+ −

⇒ a² = a² + c² − b² ⇒ c² = b² ∴c = b故△ABC為等腰三角形 15.∠ B = 45°，∠ C = 60°，a = 2(1+ 3 )，求△ABC的面積 。 答案：2(3+ 3 )

解析：

由正弦定理知：

° +

75 sin

) 3 1 (

2 =

° 45 sin

b ⇒

4 2 6

) 3 1 ( 2

+

+ =

2 2 b

b = 4 ∴ △ABC之面積=

⇒ 2

1× 4 × 2(1 + 3 ) × sin60° = 2(3 + 3 )

16.△ABC中，AB= 3 ， AC= 1，∠B = 30°，且△ABC不是直角三角形，則(1)BC=

。 (2)∠C = 。 答案：(1) 1 (2) 120°

解析：(1)由餘弦定理知b² = a² + c² − 2ac cosB

⇒ 1² = a² + ( 3 )² − 2a． 3 cos30° ⇒ a² − 3a + 2 = 0 ⇒ a = 1或2

∵ △ABC不是直角三角形 ∴ a = 1

(2)△ABC中 ∵ AC=BC= 1 ∴ ∠A = ∠B = 30°

∴ ∠C = 180° − 30° − 30° = 120°

17.△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，BC= 2，則(1)AB= 。 (2)AC= 。 答案：(1) 3+1 (2) 6

解析：(1)∠C = 180° − 45° − 60° = 75°

由正弦定理 A a sin =

C c

sin ⇒

° 45 sin

2 =

° 75 sin

c ⇒ c = 3+ 1 (2)由正弦定理

A a sin =

B b

sin ⇒

° 45 sin

2 =

° 60 sin

b ⇒ b = 6

18.圓內接四邊形中，AB= 1，BC= 2，CD= 3，DA= 4，則BD的長為

。 答案： 5

77 解析：

如上圖，∠A +∠C = 180°

(1)在△ABD中，BD² = AB² +AD² −2AB⋅ADcosA ⇒ BD²= 1 + 16 − 2 × 1 × 4cosA (2)在△BCD中，

CD BC CD

BC

BD² = ² + ² −2 ⋅ cos(180° − A) ⇒ BD²= 4 + 9 − 2 × 2 × 3(−cosA) (3)由(1)(2)消去cosA ⇒

5 77

2 =

BD ⇒

5

= 77 BD

19.梯形ABCD上底BC= 5，下底AD= 10，兩腰AB= 6，CD= 7，則

cosA = ，而梯形ABCD的面積為 。 答案：5

1；18 6 解析：

如上圖：過C作AB之平行線交AD於E，則CE= 6，DE= 10 − 5 = 5， CED = A 在△CED中，由餘弦定理cosA = cos

∠ ∠

∠CED =

6 5 2

49 36 25

．

．

−

+ =

5

1 24

sinA 5

⇒ =

梯形ABCD之高h =

⇒ ABsinA = 6．

5 6

=12 5

6 2 面積 =

⇒ 2

1(5 + 10)．h = =18 6

5 6 12 2 15．

20.平行四邊形ABCD中，AB= 6，BC= 9，∠ABC = 60°，則兩對角線

(1)AC= 。 (2)BD= 。 答案：(1) 3 7 (2) 3 19

解析：

餘弦定理x² =6²+9²− ⋅ ⋅ ⋅2 6 9 cos 60° ⇒ =x 3 7

平行四邊形定理：AC²+BD² = AB²+BC²+CD²+AD² (3 7 )²+BD² =6²+9²+6²+9²⇒BD=3

A

B C

D 6 x

9

60

19 21.△ABC中，若(a + b + c)(b + c − a) = 3bc，則

(1) cosA = 。 (2) ∠A = 。 答案：(1)

2

1 (2) 60°

22.△ABC中，BC= a，CA= b，AB= c，已知ab：bc：ca = 2：3：4，試求：

(1) sinA：sinB：sinC = 。 (2) cosA = 。 36

29 答案：(1) 4：3：6 (2)

解析：(1)已知ab：bc：ca = 2：3；4且abc ≠ 0

∴ abc ab ：

abc bc ：

abc

ca = 2：3：4 ⇒ c 1：

a 1：

b

1= 2：3：4

⇒ a：b：c = 3 1：

4 1：

2

1= 4：3：6 sinA：sinB：sinC = 4：3：6 (2)令a = 4k，b = 3k，c = 6k，則cosA =

⇒

bc a c b

2

2 2

2 + −

= k k

k k

k

6 3 2

) 4 ( ) 6 ( ) 3

( ^{2 2 2}

．

．

−

+ = ₂²

36 29 k k =

36 29 23.如圖，∠CAD = ∠CBD = 45°，AB= 6，AD，BC交於O，∠AOB = 75°，則CD= 。

答案：6 2 解析：設

(1)△ABC中，

∠DAB= θ

° 30 sin

6 =

) 45 sin(θ + °

BC ，得BC= 12sin(θ + 45°) (2)△ABD中，

° 30 sin

6 =

θ sin

BD ，得BD= 12sinθ

(3)△BCD中，利用餘弦定理知CD²=BC²+BD²− 2BC．BD．cos45°

= 12²sin²(θ + 45°) + 12²sin²θ − 2．12sin(θ + 45°)．12sinθ． 2 1 = 12²[(

2

1 sinθ + 2

1 cosθ )² + sin²θ − 2 ( 2

1 sinθ + 2

1 cosθ )．sinθ] = 12²(

2

1+ sinθ cosθ + sin²θ − sin²θ − sinθ cosθ ) = 12² × 2 1= 72

∴ CD= 72= 6 2

24.設△ABC之三邊長分別為AB= 8，BC= 5，AC= 7，則

(1)△ABC最小內角之餘弦的函數值為 。 (2) sinA：sinB：sinC = 。

(3)△ABC的面積 = 。 (4)△ABC的外接圓半徑為 。 (5)△ABC的內切圓半徑為 。 (6)BC邊上的中線長 = 。

(7)設∠B的內角平分線交AC邊於D點，則BD之長為 。

答案：(1) 14

11 (2) 5：7：8 (3) 10 3 (4) 3

7 3 (5) 3 (6)

2

201 (7) 13 40 3 解析：(1)∠A為最小內角，利用餘弦定理cosA =

8 7 2

5 8

7^{2 2 2}

．

．

−

+ =

14 11

(2)由正弦定理sinA：sinB：sinC = 5：7：8 (3)利用海龍公式s =

2

1(5 + 7 + 8) = 10

△= s(s−a)(s−b)(s−c)= 10(10−5)(10−7)(10−8)=10 3 (4)由△=

R abc

4 ⇒ 外接圓半徑R =

△ 4 abc=

3 10 4

8 7 5

×

×

× =

3 7 3

(5)由△= rs ⇒ 內切圓半徑r =

s

△= 10

3 10 = 3

(6)延長AM 使得MD=AM ，則ABDC為一平行四邊形

由平行四邊形定理(2x)² + 5² = 2(7² + 8²)，得中線長AM = x = 2 201

(7)∵ BD為內角平分線 ∴

CD AD=

CB AB=

5

8 ⇒ AD= 13

8 AC= 13

8 × 7 = 13 56

於△BAD及△BAC中，利用餘弦定理，cosA =

13 8 56 2

13) (56

8^{2 2 2}

．

．

−BD +

= 2 8 7 5 7

8^{2 2 2}

．

．

−

+ ⇒

BD= 13 40 3

25.在△ABC中，(a+b)：(b+c)：(c+a) =x：(x+1)：(x+2)， ，且 ， 則 之值為

>0

x ∠ACB=120° x 。

答案：4 解析：

(1)

令 a + b = xk b + c = (x + 1)k + ) c + a = (x + 2)k k x c b

a ( 1)

2

3 +

= + +

(2)∴ c x )k

2 3 2 (1 +

= ，a x )k

2 1 2 (1 +

= ，b x )k

2 1 2 (1 −

=

∴ a：b：c =(x+1)：(x−1)：(x+3)

(3) ab

c b C a

cos

2 2

2 −

= 2

+

) 1 )(

1 ( 2

) 3 ( ) 1 ( ) 1

( ^{2 2 2}

− +

+

−

− +

= +

x x

x x

x

2 120 1 ) cos

1 ( 2

7 6

2 2

−

=

°

− =

−

= − x

x x

⇒ 2(x² − 1) = − 2(x² − 6x − 7) ⇒ x=4或x=−1（不合 ∵ x>0） 26.a，b，c為△ABC三邊長，若2a − b − c = 0且a − 4b + 2c = 0，求

(1) sinA：sinB：sinC = 。(2)cosA：cosB：cosC = 。 答案：(1) 6：5：7 (2)19：25：7

解析：

(1)

⇒ a：b：c =

⎩⎨

⎧

= +

−

=

−

−

0 2 4

0 2

c b a

c b a

2 4

1 1

−

−

− ：

1 2

2

−1

： 1 4 1 2

−

− = ( − 6)：( − 5)：( − 7) = 6：5：7

sinA：sinB：sinC =6：5：7

(2)設a = 6k，b = 5k，c = 7k ∴ cosA：cosB：cosC =

) 7 )(

5 ( 2

) 6 ( ) 7 ( ) 5

( ^{2 2 2}

k k

k k

k + −

： 2(6 )(7 ) ) 5 ( ) 7 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k + −

： 2(6 )(5 ) ) 7 ( ) 5 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k + −

= 7 5

38

× ： 7 6

60

× ： 5 6

12

× = 19：25：7

27.已知圓內接四邊形ABCD，AD=BC= 3，CD= 5，DA= 8，則BD= 。 答案：7

解析：

利用餘弦定理，則

⎩⎨

⎧ BD²= 8² + 3² − 2 × 8 × 3 × cosα ……c BD2= 8² + 3² − 2 × 8 × 3 × cosβ ……d c = d ⇒ 64 − 48cosα = 25 − 30cosβ

64 − 48cosα = 25 − 30(− cosα)（∵ α + β = π） 64 − 48cosα = 25 + 30cosα ⇒ cosα =

2

1代入c BD2= 8² + 3² − 2 × 8 × 3 ×

2

1= 49 ∴ BD= 7

28.△ABC中，AB= c，BC= a，CA= b，s = 2

+ +b c

a ，證明：

△ABC面積= s(s−a)(s−b)(s−c)（Heron's Formula）。

【證明】

(△ABC)² = ( 2

1 bcsinA)² = 4

1b²c²(1 − cos²A) = 4

1b²c²[1 − ^{2 2}_{2 2} ^{2 2} 4

− +

c b

a c

b )

( ]

=16

1 [(2bc)² − (b² + c² − a²)²] = 16

1 [(2bc + b² + c² − a²)(2bc − b² − c² + a²)]

=16

1 [(b + c)² − a²][a² − (b − c)²] = 16

1 (b + c + a)(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c)

=16

1 (2s)(2s − 2a)(2s − 2c)(2s − 2b) = s(s − a)(s − b)(s − c)

∴ △ABC = s(s−a)(s−b)(s−c)

29.圓內接四邊形ABCD的面積為△，四邊長分別為AB= a，BC= b，CD= c，DA= d，且s =

2 1(a + b + c + d)。試證明下列等式成立：

(1)△=

2

1 (ad + bc)sinA。

(2) a² + d² − b² − c² = 2(ad + bc)cosA。

(3)△= (s−a)(s−b)(s−c)(s−d)。

【證明】

(1)因為□ABCD為圓內接四邊形，故∠A + ∠C = 180°

亦即可得sinA = sinC，cosA = − cosC 所以□ABCD面積為△=△ABD +△BCD =

2

1ad sinA + 2

1bc sinC

=2

1ad sinA + 2

1bc sin(180° − A) = 2

1 (ad + bc)sinA (2)在△ABD，△BCD中，由餘弦定理知

a² + d² − 2ad cosA =BD²= b² + c² − 2bc cosC

∴ a² + d² − 2ad cosA = b² + c² + 2bc cosA ∴ a² + d² − b² − c² = 2(ad + bc)cosA (3)由(1)得△² =

4

1(ad + bc)²sin²A = 4

1(ad + bc)²(1 −cos²A)……c 由(2)得cosA =

) (

2

2 2 2 2

bc ad

c b d a

+

−

−

+ ……d，將d代入c，得

△² = 4

1(ad + bc)²[1 − ^{2 2 2} ₂ ^{2 2} ) (

4

) (

bc ad

c b d a

+

−

−

+ ] =

16

1 [4(ad + bc)² − (a² + d² − b² − c²)²]

=16

1 [2(ad + bc) + (a² + d² − b² − c²)][2(ad + bc) − (a² + d² − b² − c²)]

=16

1 [(a + d)² − (b − c)²][(b + c)² − (a − d)²]

=16

1 (a + d − b + c)(a + d + b − c)(b + c − a + d)(b + c + a − d)

因為a + d − b + c = a + b + c + d − 2b = 2s − 2b = 2(s − b)，同理a + d + b − c = 2(s − c) b + c − a + d = 2(s − a)，b + c + a − d = 2(s − d)，將上式代入△²中，得

△² = 16

1 ．2(s − b)．2(s − c)．2(s − a)．2(s − d) = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) 故得△= (s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

30.△ABC中，AB邊上的高hc = 3，BC邊上的高ha = 6，CA邊上的高hb = 4，求(1)AB的長。

(2)△ABC面積。

答案：(1) 15

15

32 (2) 15

5 16

解析：

(1) a：b：c =

3 1 4 1 6

= 1 1 1

1 ： ： ： ：

c b

a h h

h = 2：3：4

(2)令a = 2t，b = 3t，c = 4t，而cosC =

4 1 2

2 2

2+ − =−

ab c b

a ⇒

4 sinC= 15

∴ △ABC = 2

1absinC = 2

1bhb，asinC = hb = 4 ∴ a =

15

= 16 4

C

sin =

15 15 32

(3)AB= c = 2a = 15 32 =

15 15

32 ，△ABC = 2 1bhb =

2 1(

2

3a)．4 = 15 5 16