PDF 106學年度學科能力測驗 全真模擬試題（C卷）

106 學年度學科能力測驗 全真模擬試題（C 卷）

數 學 考 科

測驗範圍：高中數學一、二年級

作答注意事項

考試時間：100 分鐘 題型：

 單選題共 6 題

 多選題共 7 題

 選填題共 7 題

作答方式：將答案填入卷末之答案欄中

註：此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，作答 方式仍以未來實際之測驗形式為準。

※請聽從指示後才翻頁作答

版權所有 請勿翻印

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、 單選題（占 30 分）

( )1、若AB為橢圓：

2 2

36 9 1 x y

  的一弦，且AB之中點為M(4, 2)，則AB

方程式為何？

(1)x2y8 (2)2x y 8 (3)x2y8 (4)2x y 8 (5)2x y  8 答案：(1)

解析：設A( , ), ( , _{1 1} B _{2 2})

1 2 1 2

1 2 1 2

(4, 2) ( , ) 8, 4

2 2

   ^{ }    

      

2 2

1 1

2 2

2 2

4 36

4 36

 

 

  

 

 











：₁²₂²4(₁²₂²) 0 (   ₁ ₂)( ₁ ₂) 4(   ₁ ₂)( ₁ ₂)

1 2 1 2

8(  ) 16(  )

     ^{1 2}

1 2

8 1

16 2

 

 

    

 

∴AB

： 1

2 ( 4)

y  2 x 2y   4 x 4 x 2y8 故選(1)

( )2、若2x y 3z3x2y z 4x y 2 ,z xyz0則 2

3 4

x y z x y z

 

  之值為何？

(1) 5 19

 (2)1

3 (3) 4

11 (4)6

7 (5) 3

7 答案：(1)

解析： 2 3 3 2 3 2 0

3 2 4 2 0

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

       

 

         

 

3 2 2 1 1 3

: : : : 1: 3: 4

1 1 1 1 1 1

x y z    

    

令x t y,  3 ,t z4t

∴ 2 2 3 4 5 5

3 4 3 12 4 19 19

x y z t t t t

x y z t t t t

        

     

故選(1)

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最 適當的選項，將答案填入卷末之答案欄中。各題答對者，得 5 分；

答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

( )3、若a 2，已知雙曲線：

2 2

2 1

2 x y

a   的兩漸近線的銳交角為60，且雙曲線中心到其 中一焦點之距離為c，則c

a？ (1) 2 (2) 6

2 (3)2 3

3 (4)2 (5) 3 答案：(3)

解析：b²   2 b 2 如圖， 1

3 b

a   a 3 2 6

c² a²b²   6 2 8 c 2 2

∴ 2 2 2 2 3 6 3 3

c

a   

故選(3)

( )4、△ABC中，AB 3 1, AC 3 1 ，且A的內角平分線長為 3

3 ，則△ABC之面積 為 (1)1

2 (2) 3

2 (3) 2 (4) 3 (5) 6 答案：(2)

解析：

∵△ABC △ABD△ACD

∴1

( 3 1)( 3 1)sin 2

2    1 3 1 3

( 3 1) sin ( 3 1) sin

2 3  2 3 

   

1 3

sin 2 sin ( 3 1 3 1)

 2 3 

     

3 2 3

2sin cos sin

  ^6 

 

cos 1

 2

     60 1( 3 1)( 3 1)sin120

 2   

△ 3

 2 故選(2)

( )5、正五邊形ABCDE如右圖，若AD x AB y AE

  

，則下列何 者正確？

(1) 5 1

x 2 (2)y1 (3) 5 1 x y  2

(4) 1 5

x y  2 (5) 5 1 xy 2 答案：(4)

解析：設邊長為a，則 ^{2 2 2} 3 5 ² 2 cos108

AD a a   a a   2 a

∴ 5 1 AD 2 a

 ，又AD BC

∴ 2

BC 5 1



5 1 AD 2 AD

5 1 5 1

2 2

AD AB BC CD AB  AD  BE



    





3 5 5 1

2 AD AB 2

 



 

( )

2 2

AE AB

 





∴ 5 1

AD AB

 



，∴x1, 5 1 y 2 則 3 5

x y  2 , 1 5

x y  2 , 5 1 xy 2 故選(4)

( )6、眼睛之所以叫做「靈魂之窗」是因為，即使周遭瞬間變暗，人的眼睛仍然能漸漸適應 環境。當光強度由1000 Td瞬間降至10 Td, 過t秒後人所能接受的光強度為I (t)；其 中I t( ) 10 990  a^5t(a為大於1的常數)。當光強度由1000 Td瞬間降至10 Td後，人 接受光的強度為21 Td時，需要花費s秒，則s的值為何？(光的強度單位為Td) (1)1 2log 3

5loga

 (2)1 3log 3 5loga

 (3)2 log 3 5loga

 (4)2 2log 3 loga

 (5)2 3log 3 5loga



答案：(1)

解析：I s( ) 21 10 990 a^5s 21990a^5s 11 ⁵ 1 90 a^ s

  ⁵ 1

log log log 90

90 a^ s

   

5 logs a (log10 log 3 )2

     1 2log 3

s 5log a

   故選(1)

二、 多選題（占 35 分）

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，將 答案填入卷末之答案欄中。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個 選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

( )7、設兩直線 ₁ 1 6 1

: 3 2 1

x y z

L   

 

 與 ₂ 2 8 16

: 5 3

x y z

L n

  

  相交於一點 ( , , )

Q a b c ，而包含L₁與L₂的平面方程式為E x py qz r:    0，則下列敘述何 者正確？

(1)n0 (2)a b c  0 (3)p q (4)a c r  (5)L₁與L₂之銳交角大於60

答案：(1)(4)(5)

解析：(1)：

1 3 2

6 2 8 5

1 16 3

t n s

t s

t s

   

    

    



3 1

2 5 14

3 15 t ns t s t s

 



   

   



3 4 t s

 

   ^{ 9 4n  1 n 2}

(2)：t3代回Q(1 3 3,6 2 3, 1 3)      Q(10,12, 4) 10 12 ( 4) 18

a b c

       

(3)：_(3,2, 1), _ (2,5,3)

 

   

   2 1 1 3 3 2

( , , )

5 3 3 2 2 5

   (11, 11,11) 11(1, 1,1)   0

E x y z r

      (10,12, 4)

Q  代入10 12 ( 4)    r 0  r 6

E x y z:    6 0 1, 1

p q

     p q (4)：a c 10 ( 4) 6   r

(5)：cos ^{6 10 3 13 13 133}

14 38 532 266

   ^   ^{ }    



 

 

 

 

 

 

又 為銳角

13 133 1

cos 266 2

     60 故選(1)(4)(5)

( )8、設a0,a1，關於y a ^x，x為任意實數的圖形，下列敘述何者為真？

(1)圖形向右上升 (2)圖形恆過(1, 0) (3)圖形以x軸為漸近線

(4)圖形與y a^x之圖形對稱於原點

(5)圖形與ylog_a x之圖形對稱於直線x y 0 答案：(3)(4)

解析：(1)：若a1，則向右上升。若0 a 1，則向左上升 (2)：恆過(0,1)

(5)：對稱於x y 0 故選(3)(4)

( )9、已知 , 為銳角， 2 2

cos(2 ) , cos( )

7 3

      ，則下列何者正確？

(1) 3 5

sin(2 )

   7 (2) 3 5 sin(2 )

    7 (3) 5 sin( )

   3

(4) 19

cos  21 (5) 58 cos 63 答案：(1)(3)(4)(5)

解析：(1)(2)： 2

cos( )

   3

∵ ，∴0      90        0  90 0 2  180 2 2 3 5

sin(2 ) 1 ( )

7 7

     

∴

(3)：sin( ) 1 ( )^{2 2 5}

3 3

     

(4)： 2 2 3 5 5 4 15 19

cos cos[(2 ) ( )]

7 3 7 3 21 21 21

             

(5)： 2 19 5 4 5 38 20 58

cos cos[( ) ]

3 21 3 21 63 63

           ^  故選(1)(3)(4)(5)

( )10、某次測驗成績的算術平均數是36分，標準差為4分，最高分為50分，最低分 為20分。因成績太差，老師打算以下列一種方式來調整成績：

y₁  x 30 y₂ 2x  ₃ 1 2 50 y  x

其中x為原始成績，y y y₁, ₂, ₃為調整後的成績，則下列敘述何者正確？

(1)欲使所有同學都及格，要採用案 (2)欲使所有同學的成績集中，要採用案 (3)欲使算術平均數最高，要採用案 (4)欲使四分位差最小，要採用案 (5)欲使標準差最大，要採用案 答案：(2)(3)(5)

解析：(1)：應選才可使最低20分調成60分

(2)(5)：₁   4, ₂ 2 8, ₃ 1 2 2

    (3)：₁36 30 66  , ₂  2 36 72 , ₃ 1

36 50 68

  2  

(4)：若原始成績之四分位差為QD，則 _{1 2 3} 1

, 2 ,

QD QD QD  QD QD 2QD 故應選

故選(2)(3)(5)

( )11、從100～999的三位數中任選一數，若其百位，十位，個位數字分別為a b c, , ， 則下列何者正確？

(1)a b c  之機率為 9 899 (2)a b c  之機率為18

25

(3)(a b b c c a )(  )(  ) 0 之機率為 7 25 (4)abc0之機率為 19

100

(5)二次方程式x²2ax bc 0有重根的機率為 2 125 答案：(2)(3)(4)

解析：共999 100 1 900   個三位數

(1)：a b c  :1 1 1, 2 2 2, , 9 9 9    …   9種， 9 1 900 100

 P  (2)：

9

9 2 72 18

900 100 25 P P

  

(3)： 18 7

1 25 25 P  

(4)：考慮abc    0 9 9 9 729， 729 171 19 1 900 900 100 P   

(5)：D4a²4bc 0 a² bc (1)a1: ( , ) (1,1)b c 

(2)a2 : ( , ) (4,1),(2, 2),(1, 4)b c  (3)a3: ( , ) (9,1),(3,3),(1,9)b c  (4)a4 : ( , ) (8, 2),(4, 4),(2,8)b c  (5)a5 : ( , ) (5,5)b c 

(6)a6 : ( , ) (9, 4),(6,6),(4,9)b c  (7)a7 : ( , ) (7,7)b c 

(8)a8 : ( , ) (8,8)b c  (9)a9 : ( , ) (9,9)b c  17

P900 故選(2)(3)(4)

( )12、若 ,  為2x²3x 4 0之根，則下列何者正確？

(1) ^{2 2} 7

   4 (2)

 

    4 (3) ^{3 3} 45

   8

(4) ^{4 4} 79

   16 (5) 7 8

 

 ^{  } 答案：(1)(2)(4)(5)

解析：∵ 3

  2,  2

(1)： ^{2 2}

 

4 4

          

(2)：

  



4 4

          

(3)：^{33 }









8 2 8 8

       

(4)：





(5)：

2 2 7

8

   

  

    

故選(1)(2)(4)(5)

( )13、好歡樂模型公司有R、B兩台模型上色機，其上色錯誤的機率分別為0.2、0.5，

兩台一起使用時，至少有一台會上色錯誤的機率為0.6。今在配置上色順序時，

只有在前一台機器上色錯誤時才會影響到後一台機器。兩台皆上色錯誤則模型 為失敗品無法出售。下列敘述何者正確？

(1)RB的配置方式模型為失敗品的機率是0.1

(2)RB、BR兩種配置方式模型為失敗品的機率大小為RB BR

(3)已知R上色錯誤，則RB、BR兩種配置方式

模型為失敗品的機率大小為RB BR

(4)BR的配置方式模型會有瑕疵但非失敗品的機率是0.5 (5)BR配置下，有100隻模型要上色，

在B上色完全錯誤的情況下可以出售的模型有50隻 答案：(1)(4)

解析：由題目可知P R( ) 0.2, ( ) 0.5, ( P B  P R B ) 0.6 (1)：∵P R B(  )P R( )P B( )P R B(  )

失敗品的機率為P R B(  ) 0.2 0.5 0.6 0.1   

(2)：失敗品為兩台機器都要上色錯誤，故RB BR

(3)：RB為失敗品的機率 0.1

( ) 0.5

P B R 0.2

  

∵已知R上色錯誤，則只要B上色錯誤就會是失敗品

BR為失敗品的機率0.5，故RB BR (4)：有瑕疵但非失敗品的機率

至少有一台上色錯誤兩台皆上色錯誤0.6 0.1 0.5 

(5)： 0.1

( ) 100 100 20

P R B  0.5  故選(1)(4)

第貳部分：選填題(占 35 分)

A、棋盤圖形如右，其中每一小格皆為正方形，「兵」由A往B走，「卒」由B往A走，兵與

卒同時出發，速度相同，兩者均沿最短路線前進，則

(1)若在每一個分叉點，選擇前進方向之機率相同，則兵、卒相遇之機 率為_______。

(2)若改為由起點到終點，各路線被選取機率相同，則兵、卒相遇的機 率為_______。

答案：17 64, 11

25

解析：(1)兵、卒在C相遇之機率 1 ³ 1 ² 1 ³ 1 ³ 1

( ) [( ) ( ) ( ) ] 2  2  2  2 ＝16 兵、卒在D相遇之機率 1 ³ 1 ³ 9

[3 ( ) ] [3 ( ) ]

2 2 64

    兵、卒在E相遇之機率 1 ³ 1 ² 1 ³ 1 ³ 1

( ) [( ) ( ) ( ) ] 2  2  2  2 ＝16

說明： 1.第A至G題，將答案填入卷末之答案欄中。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

∴ 9 1 17 64 16  2 64 (2)A到B共有 6!

2!4!15種走法，A到B經C之走法有3種 A到B經過D之走法有9種，A到B經E之走法有3種

3 3 9 9 3 3 11

( ) ( ) ( ) ( )

15  15  15 15  15 15 ＝25

B、若1  a b a²，下列四個實數2, log_ab, log_ba, log_aba²中最大的是________，最小的是 ________。

答案：2, log_ba

解析：log_aalog_ablog_aa²  1 log_ab2 1 1 1 log_ab 2

   1

log 1

2 ^ba

  

2

2 log 2

log log log log

ab a

a a a

a a

ab a b

 



2 1 log_ab

  又2 1 log  _ab3 1 1 1

2 1 log_ab 3

  



2 2

3 1 log_ab 1

  

 故2最大，log_ba最小

C、一雙曲線之貫軸長4，漸近線與貫軸之夾角為60，設此雙曲線之正焦弦長為，則



 ______。

答案：12

解析：令中心O(0,0), a2

漸近線斜率mtan 60  3，漸近線方程式 3x y 0, 3x y 0 設橫向雙曲線：

2 2

1 3

x y

 k，又k 4 a²

∴雙曲線方程式：

2 2

4 12 1 x  y  ,

2 2

b 12

 a 



D、小明騎機車和小華開汽車從臺北到中壢沿相同路徑行駛45公里，行駛的距離y公里與所

需的時間x小時的函數關係如圖所示，則汽車出發________小時後與機車相遇，又汽車比 機車早________小時到達中壢。

答案：0.5, 2

解析：汽車：y ax b  過(2, 0), (3, 45)

0 2 45

45 3

a b a a b

 

  

  

 , b 90

∴y45x90

機車：y cx d  過(0, 0), (5, 45)

0 9

45 5

d c

c

 

   



∴y9x

故9x45x9036x90 x 2.5 2.5 2 0.5 

5 3 2 

因此汽車出發0.5小時後和機車相遇，且汽車比機車早2小時到達中壢

E、ABC中，外心為O，且外接圓半徑為2，若  A 60 ,  B 45，則 2

OA

  

________。

答案：2 8 2 3

解析：∵  A 60 ,  B 45   C 75 150

 AOB , BOC120, COA 90 考慮OA

  

2 2 2

4 4 4 2

OA OB OC OA OB OB OC OA OC

       

        

     

4 4 4 4 4 2 2cos150 4 2 2cos120 2 2 2cos 90

             

3 1

4 16 4 16 16 0 24 8 3 8 32 8 3

2 2

              

∴OA

  

F、為了測量海上兩座燈塔A, B的距離，某人在海邊選定C, D兩點，並測得CD100公尺，

90

ACD , BCD 30 , ADC45, ADB 75 ，則AB__________公尺。

答案：100 4 3 解析：BCD中：

30

BCD , CDB45   75 120 CBD 30 100 BD CD

  

直角ACD中：

45 100 2

ADC CAD AD

      

ABD中：

2 (100 2)2 1002 2 100 100 2 cos 75

AB        ² 6 2

100 (2 1 2 2 )

4

     100 [3 ( 3 1)]2

   100 (4²  3) 100 4 3

AB 

G、中華電信召聘新員工，共有1000人應徵參加筆試。筆試場地借用某大學的教室，該校可

租借的大教室有40間，每間可容納50人，每間租金800元；小教室有30間，每間可容 納30人，每間租金400元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過50間。試問租借大 教室_________間，小教室_________間，來進行筆試，最省租借場地費用。

答案：2, 30

解析：設租借大教室x間，小教室y間

0 40

0 30

50 30 1000 50

x y

x y

x y

  

  

  

  



( , )x y k800x400y (40, 10) 36000

(2, 30) 13600 (20, 30) 28000 (20, 0) 16000 (40, 0) 32000

故租借大教室2間，小教室30間

答案卷

第壹部分： 選擇題（占 65 分）

一、 單選題（占 30 分）

1 (1) 2 (1) 3 (3) 4 (2) 5 (4) 6 (1) 二、 多選題（占 35 分）

7 (1)(4)(5) 8 (3)(4) 9 (1)(3)(4)(5) 10 (2)(3)(5) 11 (2)(3)(4) 12 (1)(2)(4)(5) 13 (1)(4)

第貳部分： 選填題（占 35 分）

A 17 64, 11

25 B 2, log_ba C 12 D 0.5, 2 E 2 8 2 3 F 100 4 3

G 2, 30