第二章 文獻探討
第一節 一元一次方程式之相關研究
學習一元一次方程式之前對於未知數的引用正是代數學習的開始,所以本節 以文字符號的表示、代數解題及方程式之相關概念研究加以歸納整理。
一、文字符號的發展
根據 Kieran(1992)對代數的歷史研究,依西方數學不同時代的發展特徵而 將代數的發展分為三大階段:一為文辭代數階段,二為簡單代數階段,三為符號 代數階段,方吉雄(2001);或說代數符號的生長分為三個時期:第一期為「逐 字期」,第二期為「簡字期」,第三期為「符號式」,王懷權(1992)。
(一)文辭代數階段(rhetorical algebra stage)
文辭代數階段指的是在古代希臘數學家丟番圖(Diophantus of Alexandria, 約 公元 250 年)提出運用符號之前,這階段的特徵是使用一般語言敘述一些特殊問 題的解決方法,但缺乏對未知數的符號或特殊記號的使用。
在公元前 1700 年前的埃及人,已把有關代數方程式計算的資料記載草片文 書,如:蘭德草書(Rhind Papyrus),當中全為文字敘述,含有問題列、答案、
解法、驗算等步驟,而沒有說明為何用那些方法。至於中國古代最著名的數學著
作九章算術中的「開方術」及「方程術」,基本上也都是用文字敘述來表達代數。
在這個時期是代數的開始,雖然文字符號的發展尚未成熟,且各個民族所表 示的方式不同,但大部分都是為了解決日常生活的問題,如兌換錢幣、交換商品、
計算長度面積、在商業或農業上的計算都有著相當大的用處,所以代數的重要在 此階段知其重要性與實用性了。
例如:摘自〈九章算術〉中第 8 章方程的第一個問題:
今有
上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗;
上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗;
上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。
問上、中、下禾一秉各幾何?
6
上禾 中禾 下禾 實
左 中 右
0 元 代表 x2+270x+18225
當時的解決方法是這樣的:先用算籌排出有關數字,如圖 2-1,然後利用算籌的 操作把左、中、右三條方程式加、減消元就找出答案。
圖 2-1 摘自〈九章算術〉中的方程組
(二)簡單代數階段(syncopated algebra stage)
從古希臘數學家 Diophantus 用文字縮寫來表示未知量至 16 世紀末左右被稱 為簡單代數發展階段。這個名稱並非指那些數學問題簡單,而是說代數學已經發 展至利用符號及較簡單的符號來代替文字,以表達複雜的代數關係。如文藝復興 時期之使用 p 代表「plus」,m 代表「minus 」等,代數的發展才開始脫離文辭 的階段。
而中國在元朝李冶(1192-1279)所著的『測圓海鏡』十二卷(1248)及『益古演 段』三卷(1259),算是那時中國最早有系統地論述「天元術」的著作。「天元」
是指未知數,「立天元為某某」,正是「設 x 為某某」的意思。用「天元術」來計 多項式或方程,常在未知數之一次項旁記一個「元」字,在常數項旁記一個「太」
字。例如
圖 2-2 摘自〈九章算術〉中的一元二次方程式
(三)符號代數階段(symbolic algebra stage)
這個階段大概始於 Vieta(1544~1603)在 16 世紀用字母來替代給定量。它 的特徵除了代數方程的係數以文字符號表示且符號可如數字演算之外,方程式的 任何一端也可以置零。
由上可以看出文字符號和數學有著密不可分的關係及其重要性。符號系統 是,數學中其中之一的品質保證(Rubenstein and Thompson, 2001)。
Collis(1975)則從學生的觀點,將文字符號的概念分類成六種不同的使用層 次:
(1)文字符號為可算出的值(letter evaluated),指文字符號代表一個設定的數 值。如:n+5=8 中的 n。
(2)文字符號可忽略而不用(letter ignored),指文字符號雖然出現在題目中,
但在解題過程中可不加以考慮。如:a+b=43,求 a+b+2=?本例中,前後兩式只在 加 2 的不同,a+b 可加以忽略,而直接求出答案為 43+2=45。
(3)文字符號當作禮物(letter as object),即文字符號為某一代表物的簡寫或標 記(label)。如:以 h 代表某一多邊形的一邊,而不是數字(邊長)。
(4)文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown),可以直接加以運 算。如:一多邊形有 n 個邊,而且每個邊長為 2,得周長為 2n。
(5)文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number),即視文字符號 代表一組數字而非單一數值。如:c+d=10,且 c<d 中,c 代表小於 5 的數。
(6)文字符號當作變數(letter as variable),即文字符號代表一未定的數值,如 比較 n 和 2n 的大小。
二、方程式
解一元一次方程式時所利用的方法大部份是等量公理或移項法則,等量公理 不論是過去的課程標準或是九年一貫的課程綱要都有提到,而移項法則則在九年 一貫開放各書商編寫教材時有大略提到,但一般在教材上都還是以等量公理為 主,然而大部份的學生都習慣用移項法則來解方程式,也許只是背一些口訣的關
係就能運用到解方程式,但仍會有一些狀況會讓學生有所混淆,例如: 6
2 1
x ,
學生會搞不清楚這裡的「-」是什麼性質?通會選擇兩種運算,就是負變正,乘
8
2
1變成除以 2
1,而計算錯誤。
Kieran(1989)、Booth(1988)、English and Harford (1995)等學者認為「等 號」是關鍵,是因為部份學生受到先前算術經驗的影響,往往只注意到等號是「do something」 的符號,代表的是「接下來我要做的是」、「答案是」、「結果是」….
等等解題的過程,而非數學上量關係。Kieran 發現部份學生可能誤解了教師的語 意,例如在解方程式 x +3=8 時,教師告訴學生「移項時要換邊變號」,本來教 師預期的是學生將 3 換邊並且變號(加變成減),而轉化為 x =8-3,但部份學 生誤解教師意思,於是變成了 x =8+3,理由是:「要變號啊!」,根據 Kieran 的解釋,因為學生本來是先將「+3」移至右邊變「-3」,但學生這時記得老師 說過要「變號」,於是把「-3」再變成「+3」。
Küchemann(1981)發現字母在一開始即被賦予數字值,例如在解x +3=11 時,學生利用回憶數字事實 8+3=11 的方式,找出 x=8,而非是對未知數 x 施 予運算以解出 x 值 (引自何基誠,2002)。
三、代數文字
不論是過去的課程標準中的一元一次方程式或九年一貫課課程綱要的一元 一次方程,都會有應用問題的出現,而這也是利用代數來解決學生們最擔心的應 用問題。國小因過去未曾學習過設未知數,所以在解方程式時有些是利用列式看 出一些規則,然後推算出答案,例如:
有 5 元郵票和 12 元郵票兩種,小明總共買了 18 張郵票共花了 160 元,那麼 小明買了 5 元郵票和 12 元郵票各多少張?
國小作法:
5 元張數 1 2 3 4 5 6 7 8
12 元張數 17 16 15 14 13 12 11 10 總 價 209 202 195 188 181 174 167 160
由上表便可以找出 5 元郵票買了 8 張,12 元郵票 10 張。雖然不必用到未知 數便可以解出答案,但似乎需要花一些時間來列表。而另一種不需要列表也不需 要未知數就可以解出答案。假設 18 張全部買 12 元的郵票,那麼需要 216 元,但 實際上只花了 160 元,所以多出來的 56 元便是多買了 12 元的郵票,必須從中扣
除 12 元的郵票,而一張 5 元郵票和 12 元郵票相差 7 元,56 元有 8 個 7,換句話 說要換掉 8 張 12 元郵票,也就是有 8 張 5 元郵票,10 張 12 元郵票,其算式為:
12×18=216 216-160=56
56÷7=8 18-8=10
此種方法,有些同學可以很快就想到,有些同學必須由列表才可以看出端倪甚至 有些同學是無法理解的。如果這一題用國中生的作法,也就是假設未知數列方程 式。國中作法:
設 5 元郵票買 x 張,則 12 元郵票買(18- x )張 依題意列方程式為 5 x +12(18- x )=160 5x +216-12 x =160 -7x +216=160 -7x =-56 x =8
18-8=10
以上述作法可以看出只要假設未知數,再依題目列方程式,解方程式就可以 知道答案,而這樣的解法似乎有些機械化而對於理解重點在於題目,與上述解題 有不同的理解感覺。所以有些同學認為有了未知數對於解方程式有些幫助,可以 免除一些歸納的步驟,而這也就代數的功效了。但是教師們對於應用問題的教學 卻他們感到最難的一個環節,而學生們對於未知數的使用及意義也不了解。
Hammer(1957)的研究中證實在代數文字題解題中,約有 75%的學生無法清楚 了解真正的問題。表示學生在解文字題的時候對於題目中要他們解出什麼,他們 感到疑惑,不知道題目的用意為何,而影響其作答狀況。
Clement, Lochhead and Monk ( 1981)研究指出,學生在將簡單句子轉譯成方 程式時,呈現很大失敗比例。學者認為這樣的現象主要的因素是學生們不能了解 題目的意義,而且透過句子意義的了解,再以代數樣式來表徵,是一般所謂靜態 比較解題思維是導致失敗的關鍵原因。
林碧珍(1990)的研究指出學生解文字題的能力比基本計算能力差,其中低 程度的學生勉強會朗讀題目,但不懂題意,沒有任何解題計劃,缺乏概念性的理
10
解。
林清山、張景媛(1994)提出學生在代數應用題錯誤概念有以下幾點:
(一)題意轉譯的錯誤概念
包括學生對於關鍵詞的詞義無法充分了解,學生對於問題中哪些是無用的 條件辨識不清。
(二)問題整合的錯誤概念
包括缺乏基本的數學概念,無法察覺到所計算出來的答案是否會理,學生 不會做假設,學生套用固定的模式而不隨問題的變化而加以改變等。
(三)解題計劃及監控的錯誤概念
未能暸解己知條件與未知條件之間的關係,以致假設與式子不符;無法針 對不同的問題採用不同的解題策略;學生以為一個題目只有一個解法,學生會受 前後題型的影響而採用不當的解題策略。
(四)解題執行的錯誤概念
在解方程式時會產生移項的錯誤,移項的錯誤多半是因為學生缺乏等號兩 邊等值的觀念,學生在使用消去法時容易產扛正負混淆的情形。
Kilpatrick(1967)以 Pólya 想法為依據,探討八年級學生解決文字題時的策 略,發覺受試者使用的解題策略約有:(1)畫圖,(2)使用連續漸進,(3)詢問 解決方法的存在與獨特性,(4)演譯,(5)運用算式,(6)運用嘗試錯誤,(7)
核對結果等。Kilpatrick 發現受試者所使用的策略不多,而將各階段的解題策略 重新修正為(引自陳慧珍,2000):
(一)了解問題:
1.辨認未知資料或條件。
2.畫圖。
3.引入符號。
(二)擬定計畫:
1.重新敘述問題。
2.考慮相關問題。
(三)執行計畫:
1.使用連續漸進。
2.發現結果前進檢查步驟。
(四)檢討
1.檢查結果是否合理。
2.檢查結果是否符合條件。
3.回溯論證的步驟。
4.使用其他方法獲得結果。
張景媛(1994)指出一般人認為學生只要了解題目的語意即題目文字的敘述
張景媛(1994)指出一般人認為學生只要了解題目的語意即題目文字的敘述