錯誤類型及錯誤原因

教師在教學過程若能即早發現學生的錯誤概念及錯誤原因為何，在此階段教 師能多了解學生的想法，能夠思考學生的為什麼這樣做，接著適時地指正學生的 想法，這對學生的學習才能有意義，教學才有成效。一般教師遇到學生對相同問 題，一而再，再而三地犯錯，都會歸納到學生上課不專心，不用心的緣故，再者 對於教師特別提出來易犯錯的地方，學生總是還是做錯，教師總覺得愈提醒愈容 易犯錯，關於以上兩方面的錯誤對於老師來說是相當無奈的，是故教師便以不斷 反覆地練習來加強學生正確的概念，其實效果在老師衡量之下也是不大，那是因 為不找出學生錯誤觀念發生在那一個環節，學生便在此環節繞不出來，練習做得 再多，對他而言是機械式地練習，等題目一有變化他還是不懂。所以教師應能去 尋找學生錯誤的原因在那有那些錯誤的類型並在教學上引導學生正確的觀念，才 能有效幫助學生建立正確的數學知識。

林清山、張景媛(1994)研究表示，學生在代數應用題的學習上會有系統的錯 誤產生，學生會受整個文字題的複雜度、題目中未知數數量的多寡、及題目中負 號及式子組合的影響，而對數學文字題產生錯誤概念。另外,張景媛(1994)又提出 認為國中生對數學文字題的錯誤概念可分成四部分討論：一是語言知識的部分、

二是基模知識的部分、三是策略知識的部分、四是程序性知識的部分。

一、語言知識的錯誤概念分析

1. 學生面對較長的數學文字題時，常不知問題所在，所以會立即放棄思考 機會。

2. 學生看完數學文字題時，只記得解出一個答案，而忽略問題需要兩個答 案。

二、基模知識的錯誤概念分析

有些學生的思考模式和基模知識，有功能固著的現象，因而造成他們再解 答數學文字題時，不管問題的性質，都固定套用他們習慣使用的基模知識。

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三、策略知識的錯誤概念分析

1. 學生未能瞭解已知條件和未知條件的關係，因而在做假設及列出式子 時，未能切題列出正確的方程式。

2. 學生做假設時通常是問什麼就假設什麼，不考慮是否有其他簡易的方法。

3. 學生做假設是一回事，列式子又是一回事，兩者無法連貫。

4. 學生沒有等號兩邊相等的概念，所以列出來的式子並未兩邊相等。

四、程序性知識的錯誤概念分析

在解代數方程式時，最常出現的問題是移項時產生錯誤。

Marshall(1987)將學生的解題錯誤分為六大類：

(一)處理語言訊息的錯誤 (errors in processing language information)。

(二)解釋空間訊息的錯誤 (errors in interpreting spatial information)。

(三)選擇適當步驟的錯誤 (errors in selecting appropriate procedures)。

(四)概念連接的錯誤 (errors in making concept association)。

(五)應用不相干的規則或訊息 (errors in using irrelevant rules or information)。

(六)不專心 (unconcentration)。

Mayer(1985)將學生解題錯誤分成三大類：

(一)遺漏的錯誤 (omission error)：是對命題不能完整回憶的結果。

(二)細節的錯誤 (specification error)：在陳述句中一個變數轉換到另一個變數的 能力不足所致。

(三)轉換的錯誤 (conversion error)：無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式。

三種錯誤中，以轉換的錯誤最為嚴重，其原因是很多學生對關係的回憶，缺 乏表徵關係的語言知識所導致。

Engelhardt(1982)將學生的錯誤分成四種基本類型：

(一)機械性的錯誤。

(二)粗心的錯誤。

(三)計算上的錯誤。

(四)演算過程的錯誤。

秦麗花(1995)將解題錯誤分為四個層次：

(一)缺少檢驗工作忽略答案合理性：沒寫答案、沒寫單位、單位寫錯、不知答案 為何、省略步驟、抄寫錯誤。

(二)執行計劃失誤，運算不熟練：基本運算不熟練、不懂借位運算、二種運算混 淆、顧此失彼。

(三)基本概念不清，盲目運算：缺少相關概念知識、不懂數學語言、迷失於關鍵 字中、加所有的數字、無法辨別數據大小、無法辨別數據間的意義、只停留＋、

－運算而缺少×與÷概念。

(四)沒有解題能立及作答動機：不會閱讀、一知半解、畏懼作答。

張景媛(1994)提出：過去有關教與學的研究中，教師通常認為學生答錯是 因不小心或誤解題意。呂溪木(1983)的研究指出：學生錯誤概念的產生可能是來 自學生日常生活經驗中所學得的，也有些是來自於學生對老師機械式教學的一知 半解。

綜合上述可以看出學生的錯誤概念來自於兩方面：

(一)教師的教學：以講述式的教法，教師以一對三十左右的學生，教師一成不變 的教學方式，為了讓學生多做練習及在趕進度的情況下，反應較慢的學生最後以 自己的生活中的經驗解讀而產生錯誤概念。

(二)學生的練習：學生於課餘時間的練習不足，無法建立自己的思考模式，多半 在練習有著不求甚解的態度，以為自己了解了，題目沒有耐心看仔細，做完題目 又不能細心檢查，而造成錯誤的概念。

Carpenter et al.(1989)研究提出：運用學生思考的知識來教學，會增進學生的 解題策略，而教師也越來越能瞭解學生學習上的困難及學生個別差異的情形。這 對教師和學生而言都有很大的幫助。

謝孟珊(2000)將學生解方程式的錯誤類型分成五類，分別是文字符號認知 錯誤類型、等號的認知錯誤類型、代數式認知錯誤類型、解題策略錯誤類型、解 題程序認知錯誤類型。每一種類型中，舉出學生因表徵不同所造成的解題錯誤：

一、文字符號認知錯誤類型 1. 認為□前面不能有負號。

2. 認為□不能移項。

3. 無法了解□跟□可以運算。

4. 認為不能將□與數字運算。

二、等號的認知錯誤類型

1. 只出現在表徵的錯誤：認為□表徵沒有省略乘號之代數文法；無法將一個

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代數式看成一個整數；無法正確判斷括號在代數式中的運算結構。

2. 只出現在×表徵中的錯誤：未依照運算結構使用代數文法；不能將分數代 數式看成運算的意義。

三、代數式認知錯誤類型

1. 等號右邊不能接代數式，因為等號右邊是要算出一個數，所以返回去算 一次便要完成，如 x ×2＋5＝35 其作答為 x ＝35－5÷2＝15

2. 等號右邊是答案。即等號左邊是放待求的未知數符號，右邊是放待求的 答案，所以當未知數的係數是負數時，學生求解便出問題，如 7－□＝－

15，□＝－15＋7，□＝－8。

四、解題策略錯誤類型

1. 只出現在表徵中的錯誤…列舉評估法的誤用。

2. 只出現在×表徵中的錯誤…移項法則的誤用。

五、解題程序認知錯誤類型 1. 合併同類項的錯誤。

2. 去括號的錯誤。

Ginsburg(1989)、Harding(1986)認為當學生不瞭解教師所教授的知識和書本 的說明時，往往因為缺少完整的概念或不當的使用數學規則，因而造成錯誤。

黃敏晃（1993）目前我國的小學數學教學法，只要求學生在考試前記住許多 要考的數學知識，而沒有要求他們理解這些知識的行成原由。

Ashlock(1992)認為學生系統性錯誤發生的原因，是在於團體教學中學生並未 具備需要學習之概念與程序之先前理解和技能所致。例如當學生需要具體事例 時，卻被迫記憶一系列複雜機械的行動。於是學生會以最簡單的程序加以記憶，

尤其是學生常常以錯誤程序處理時，卻因正確而得到增強。

由以上的錯誤原因及錯誤類型，可以推論教學的目標是相當地重要，而目前 教育制度似乎還是考試領導教學，教學為了讓學生考出好成績，都會在考前要學 生背好許多考試的數學知識，並不去理會學生是否了解，只檢驗學生公式是否背 熟了會不會代公式，並不在乎學生對公式的由來是否明白，以急就章的方式要求 學生應付考試。而學生在這樣的教學環境之下也習慣了考試的方式，也以最少的 理解方式以及許多練習強迫記憶一些數學知識以準備考試，學生只求會不會做，

答案正不正確，對於訂正的工作不在乎，為什麼會答錯也無所謂，由此學生常常 以錯誤的態度解決，也導致錯誤的概念。所以對於學生錯誤的原因及常犯的錯教 師有必要知道，才能對症下藥。