第四章 研究結果與討論
第一節 發展初步二階段評量工具
每一階段將一元一次方程式之相關基本知識分成七大類：（一）文字符號的 意義，（二）文字符號的列式，（三）文字符號的簡記（合併），（四）求式子的值，
（五）列一元一次方程式，（六）解一元一次方程式（等量公理），（七）應用問
題（代數文字題），茲將七大類分析於每一個階段中學生所產生的錯誤類型。本 階段研究群先發展評量工具，對五個班級 142 位學生進行第一次施測，綜合整理 統計之後，計算出此評量工具試題之錯誤人數、錯誤率及難易程度之分析如下：
表 4-1
開放式試卷錯誤情形分析表
分類 題號
錯誤 人數
錯誤率
﹪
未作 答人數
未作答人數佔 錯誤人數﹪
難易度分析
難 中 易
（二） 1（1） 45 31.69 11.00 24.44 ○ 1（2） 71 50.00 20.00 28.17 ○ 2（1） 124 87.32 11.00 8.87 ○
2（2） 73 51.41 13.00 17.81 ○
（三） 3（1） 26 18.31 2.00 7.69 ○ 3（2） 24 16.90 4.00 16.67 ○
（三） 3（3） 12 8.45 4.00 33.33 ○ 3（4） 18 12.68 5.00 27.78 ○ 3（5） 33 23.24 10.00 30.30 ○
3（6） 55 38.73 6.00 10.91 ○ 3（7） 64 45.07 14.00 21.88 ○ 3（8） 65 45.77 14.00 21.54 ○
（一） 3（9） 41 28.87 9.00 21.95 ○
（四） 4（1） 40 28.17 5.00 12.50 ○
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表 4-3
學生錯誤情形分析表，引自郭正仁（2001）
低 錯誤比率 高 低
空白比率
高
第二區 第一區
錯誤率 0﹪~50﹪ 空白率 0﹪~50﹪ 錯誤率 50﹪~90﹪ 空白率 0﹪~50﹪
題號越左上方之題目代表越不會困擾 學生而且興趣越高。因此學生錯誤類 型及原因較多為個人錯誤。
題號越右上方之題目代表學生的錯誤 概念越多，但興趣越高，此類題目提 供較多錯誤類型及原因供分析。
第三區 第四區
錯誤率 0﹪~50﹪ 空白率 50﹪~70﹪ 錯誤率 50﹪~90﹪ 空白率 50﹪~70﹪
題號越左下方之題目代表學生越容易 上手，但空白情形的增加顯示完全缺 乏概念的生比率升高。
題號越右下方之題目表示較為艱難，
完全缺乏概念的學生增多，顯示學生 較易放棄且難與舊經驗聯結。
表 4-4
開放式試題分析情形 第二區
3（1）、3（3）、3（4）、3（6）、4（1）、
4（2）、3（5）、6（3）、5（1）、5（2）
5（3）、3（2）、3（9）、11、1（1）、
3（7）、3（8）、6（1）、
6（4）、6（7）、6（8）
第一區
2（1）、5（4）、2（2）、6（2）、6（10）
1（2）、10、8、6（6）、6（9）、6（5）
9、
第三區 第四區
7
上面己將學生作答結果在每一小題的答錯人數、錯誤率以及空白率和題目的 難中易分析出來，大部份的題目都落在第一區和第第二區內，表示題目不會困擾
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學生而且興趣越高以及顯示學生的錯誤概念越多，但興趣越高，此類題目提供較 多錯誤類型及原因供分析。因此學生錯誤類型及原因較多為個人錯誤。接下來，
根據學生對這兩份開放式的試卷作答情形，以七大類順序進行質的分析，且針對 答錯率偏高或特殊作答情形做進一步的晤談，以了解學生在解題的思維及想法。
一、文字符號意義
此類題目計有 1 題，即 r＋r＋r＋r＋r＝？
表 4-5
學生在「文字符號的意義」中，作答情形之統計表 (空白率＝未作答人數÷答錯人數)
題號 答對人數 答錯人數 錯誤率 未作答人數 空白率
一、3（9） 101 41 28.87 9.00 21.95
由作答情況多為正確，表示學生在此文字符號的意義都能有正碓的觀念，但 少部份的同學答案出現 r 5和 5r ，5 5r、以及空白的情形，顯示少部份的學生對 於文字的意義不了解，然而會阻礙後面式子化簡合併的能力。
二、文字符號的列式 此類題目計有 4 題，
1、SoGo 百貨公司年終全面七五折優待顧客，請問
（1）定價 x 元的音響，售價為多少元？
（2）售價y元的照相機，定價原來是多少元？
2、己知薇薇今年的年齡是襄襄的 2 倍少 3 歲，請問
（1）若薇薇今年年齡為 x 歲，則襄襄今年幾歲？
（2）若襄襄今年年齡為y歲，則薇薇今年幾歲？
表 4-6
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（7）－5（b－2）＋（5－6b）＝ －b＋15，－5 乘以 b 時變成 5b，再和－6b 相 加，得－b＋15，文字部份未注意到負號，數字部份是正確的。也會出現 －11b＋5 這個答案，剛好和前面的答案相反，注意到文字部份的性質符號 卻反而忽略了數字的部份。另外，有部份同學都將答案寫成－1b＋15，沒 有省略 1，如果將 b 改成 x 是否就會減少這個錯誤呢？值得探討。
（8）（4 x －4）－3（2 x －7）＝4 x －4－6 x －21＝10 x －25，去括號時－3 乘以 －7 沒有注意到，再加上合併時，4x 和－6 x 沒有計算正確造成兩次錯誤。
此外一些錯誤的答皆因去括號和合併時的錯誤，無法正確算出答案。
四、求式子的值
此試題計有 3 題：
4、若a ＝ 3
2，則
（1）－3 a －2＝ （2）
3
72－（－ a ）＝
7、若 578x ＝800－100 x ，則 678 x ＝ 表 4-8
學生在「求式子的值」中，作答情形之統計表
題號 答對人數 答錯人數 錯誤率 未作答人數 空白率
四、4（1） 102 40 28.17 5.00 12.50
四、4（2） 83 59 41.55 4.00 6.78
四、7 46 96 67.61 52.00 54.17
文字符號所代表的數若為負數時，學生就容易犯錯，搞不清楚正負數。題目
的未知數若前有「－」，同樣可以混淆學生的概念。其錯誤類型有：
（1）－3 a －2＝－3×
3
2－2 ＝－4，將 3
2代入，相乘時未負負得正，所以得
出答案為－4。也有些同學以為 a＝ 3
2 代入之後省略了乘號變成了相減
的關係： －3 3
2－2 ＝ 3 52
。另有些同學不知－3 與 a 是乘的關係，直
44
其錯誤的類型有：
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是什麼，以為只要負的移項就變成正的。也有同學索性先乘以 3 以免被分數混
48
導致一些錯誤。而對於 36－
7
x＝6，－
7
x＝6－36，－
7
x＝－42，x＝6 的錯誤就 覺得有些不應該。
七、應用問題（代數文字題）
此類題目計有 4 題：
8、爸爸、媽媽帶著兩個小孩小守、小智去喝下午茶，最後付款 880 元，
價目表如下表：問大人 1 人需付多少元？
9、淵明國中舉行二年級隔宿露營活動，至香格里柆遊樂區搭帳篷露營，
已知男女生每個帳篷住的人數皆為 8 人，而男生所使用的帳篷個數比 女生帳篷個數多 5 個，而女生人數是男生人數的
4
3倍，問總共使用了多 少個帳篷？
10、有x 顆巧克力，柯南取走一半又 2 顆，服部取走剩餘的一半又 3 顆，
則剩下 18 顆巧克力，x 等於多少？
11、金田一在心中想了一個幸運數字，然後加上 4，再乘以 5，最後再減掉 8 ，大聲說出計算後的數是 62，請你算出他的幸運數字為何？
表 4-11
學生在應用問題（文字題）中，作答情形之統計表
題號 答對人數 答錯人數 錯誤率 未作答人數 空白率
七、8 15 136 95.77 31.00 22.79
七、9 25 126 88.73 58.00 46.03
七、10 26 125 88.03 30.00 24.00 七、11 101 50 35.21 11.00 22.00
應用問題關鍵解答在於學生明不明白題目，也就是閱讀能力的多少。往往在意思 有間飯店
下午茶：大人 x 元 小孩 （ x －100）元 單位：1 人 加收一成服務費
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不清楚的狀況下，大概連列式上都會產生困難，若列式錯誤，即使解方程式正確，
答案也是錯誤的。所以很明顯應用問題的閱讀能力變成為解題關鍵了。
8、爸爸、媽媽帶著兩個小孩小守、小智去喝下午茶，最後付款 880 元，
價目表如下表：問大人 1 人需付多少元？
此試題之錯誤類型有：
答案為 270 2 x ＋2 x －200＝880 ，4 x ＝1080， x ＝270 列式時未將等號左邊右一成，所以列式錯誤。
答案為 250 2 x ＋2（ x －100）＋80＝88O
2x ＋2 x －200＋80＝880，4 x ＝1000 ， x ＝250
列式正確，且所求出來的 x 值亦正確，但未在最後價錢加一成服務費。
答案為 225 （2 x ＋2 x －200）×0.1＝880
4x －20＝880， 4 x ＝900， x ＝225
列式時，雖想加一成服務費，卻連原來的價錢都不見了，只算到一層服務費 而已，也在計算的過程中產生錯誤。
答案為 170
2x ＋2（ x －100）＝880，4 x －200＝880，4 x ＝680， x ＝170 列式不正確且計算時也移項錯誤。
9、淵明國中舉行二年級隔宿露營活動，至香格里柆遊樂區搭帳篷露營，已知男 女生每個帳篷住的人數皆為 8 人，而男生所使用的帳篷個數比女生帳篷個數 多 5 個，而女生人數是男生人數的
4
3倍，問總共使用了多少個帳篷？
這題題目比較長一點，所以在意思上可能就有些投降了，未作答的的人 數增多，反應了過去學生對於題目過長時就放棄的態度，而列方程式的形式 也各有不同。列式正確的而且最常見的是
有間飯店
下午茶：大人 x 元 小孩 （ x －100）元 單位：1 人 加收一成服務費
設女生帳篷有 x 個，則 [8( 5)]
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