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第五章 結論與建議

第一節 結論

分成二個部份來說明:

一、對二階段評量診斷工具的發展

(一)信度方面

內部一致性係數均大於刪題後之信度,而且判定類型均為 A,均作保留。此 外,可以以鑑別度指標大於 0.25 以上,難度指標以介於 0.40 到 0.80 之間作為選 題的標準。由問題注意係數表中,刪題後的信度大於內部一致性係數的題目共有 17 題。其中診斷分析表中,判定類型為 B,其難度、鑑別度分別為試題 27 題 0.5676、0.6486、和試題 30 題 0.3108、0.4595 以及試題 31 題的 0.3919、0.5135,

鑑別度均有在 0.25 以上,而難度也在 0.40~0.80 之間。若試題想要保留的話,應

該可以稍作修改。試題判定類別為 B’,所以刪除。試題之判定類別為 A’也可以

作保留用。試題內部一致性係數均大於刪題後之信度而且判定類型均為 A,均作 保留。

(二)效度方面

在效度方面,除了以開放式之問卷及晤談方式了解及收證學生的錯誤類型 之外,本研究的工具還利用雙向細目表來檢驗診斷評量工的內容效度,並委請指 導教授審二階段評量工具之試題,再結合學校三位數學老師檢驗評量工具之試題 是否在經驗作答上之語局有不適當的地方,並且在適度修改題目,以期能學生了 解到題目的意思,而不因題目語意不清而不會解題。另外在測驗知識方面評量工 具也能測量到想要測量的知識,並且經過多次的施測分析以及探討、來篩選檢驗

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題目。

二、錯誤類型的發現

以九大分類方式來說明

(一)文字符號的意義

1、學生對於數學計算的結果,大部分都能解題,只有少部分的學生對於文字符 號缺乏有意義的了解,他們對文字符號的記憶只在於他們所知的結果,卻不 知 當 時 的 用 意 為 何 。 例 如 , 他 們 記 得 答 案 曾 出 現 過 r 和5 5r , 所 以 當

?

r r r r

r 就會開始拼湊答案,不知加法或乘法在文字符號中所代表

的意義。

2、在這一概念中牽涉到以後的一元二次方程式、二元一之聯立方程式以及多項 式的運算等,若觀念正確有助於日後的學習,若觀念模糊則阻礙以後的學習。

(二)文字符號的列式

1、學生對於正向思考列出文字式時大部份都可以接受,如運用到乘、加較無問 題,題目意思也都能了解,但若將未知數的假設設計成需要反向思考時,學 生就顯得己經不知道題目要他如何列式了,如而先減再除的步驟,對他們而 言困難的。對於相同的問題用兩種不同的方式出題時,學生的反應落差很大。

2、對於將文字敘述將成數學符號,對某些學生來說是有困難的,有些是因題意 不懂,所以在文字閱讀上,這些學生是必須提升閱讀能力。而有些學生是無 法將文字敘述和數學符號連結在一起,而這方面便要增加一些數學的情境脈 絡讓學生了解其中的意義。

(三)文字符號的簡記(合併)

1、當文字符號的係數由整數變成分數時,或加上負數的四則運算時,學生的錯 誤機率便高了許多。很明顯學生過去的經驗影響到對文字符號的運算。

2、對於算出來的答案中,係數為-1 的答案,仍將-1 寫上而不知省略。

3、不論是否牽涉到整數或分數的運算,只要有括號,就不知道括號的用意,更 甚者有些學生認為有括號或無括號本身對答案沒有影響。

4、對於去括號的錯誤有下列幾種情形:

(1)去括號時,括號前若是-1,學生往往只將括號中第一項變號,但後面的項

數則忘記了。

(2)去括號時,括號前若是-3(係數非 1 時),除犯第(1)項錯誤之外,就算 括號內的項數都乘到,還會發生忘記將 3 乘進去,只乘以-1 而已。

(3)如果題目中有兩個括號,如(4x-4)-3(2x-7),學生會以為 3 是正的 而忽略了前面的負號。

(4)常常會發生括號前是負數時,但去括號時未注意。

(四)求式子的值

1、當文字符號代表一個負數時,學生往往都會省略掉『-』這個符號,計算錯 誤的機率就大幅提高。

2、題目中文字符號前的運算符號若是減號時,再加上未知數代表的是負數時,

學生就會觀念不穩,搞不清楚這個部份計算出來的是正還是負。

3,當求式子的值並非單純代入求值時,例如評量工具中的第 7 題,是由題目中 觀察數字與未知數的關係之後,然後求出幾倍的 x 值,這樣的題目對學生 就有些難度了。

(五)能了解一元一次方程式

學生從字面上可以了解一元及一次的意義,但方程式也許對他們來說是陌生 的,往往會忽略了等號。而只要有未知數的出現就認為是方程式了。

(六)列一元一次方程式

1、有些學生不了解方程式的意義,列式時尚未出現未知數及等號,有的還以為 是算出答案。

2、文字敘述列式題目意思若是簡單或生活上的對等關係,學生通常較能接受,

若有兩層關係的考量時,不知道從何列式,左右兩邊的對等關係也不是很清 楚,而導致錯誤。

3、學生有時所列出來的一元一次方程式不盡相同,有些學生是列式之後又化簡 到最後出現「x=15」,直接把答案的形式算出來,不了解依題意列方程式 意義。

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(七)能了解一元一次方程式的解

1、學生對於將一數代入一元一次方程式中,若方程式兩邊的值相等,該數便是 一元一次方程式解的觀念似乎不常使用,而且不是很清楚,這會影響到日後 學習二元一次方程式解意義。

2、對於用代入的方式來了解一元一次方程式的解,學生通常都會直接用解方程 式的方法,即使題目設計成用代入的比較方便,學生使用等量公理。也許這 不是一種錯誤概念,但也顯示學生對一元一次方程式解的意義未充分了解。

(八)解一元一次方程式(等量公理)

1、解一元一次方程式時若是所用到的規則都能很清楚運用移項法則的話,計算 上原則是沒有問題,大部份錯誤是出現在計算的部份。

2、解一元一次方程式中,未知數的係數若是分數,將增加解題困難度,如果分 數又是負分數的話,例如:

3

2y

3

2

=0,

學生將 3

2移到右邊,負的變正

的,不知 3

2與 y 之間的關係是乘的,而產生誤會。

3、題目若有小括號時,學生在去括號這個步驟中,也會出現錯誤,因此增加錯 誤的機率。

4、題目中未知數是除數的角色時,例如 36-x÷7=6 或 12÷(-a )=27 類似 這樣的題目,學生無法用移項法則解題,即使試著解題時,通常也都誤用的 結果,這類型的題目錯誤率是大幅提高。

5、如

3

a =2 a ,學生不知道其式子的意義,有些寫無解,有些寫-1 等答案,

充分顯示出學生對方程式的不了解,而自己本身只是解題的工具而已。

綜觀上述學生解一元一次方程式的錯誤觀念中,發現學生太偏愛利用移項法 則,而忽略了等量公理,所以往往在題目並非中規中矩的題型中,即使是最基本 的題目,學生還是錯誤百出,需知移項法則只是解題過程中所使用的一個技巧,

它是等量公理的應用及化簡的結果,而最基本的原理應該還是回歸到等量公理,

若是只是取其枝幹而不知其泉源時,那麼就無法真正使用移項法則的優點,反而 造成其他的錯誤。

(九)應用問題(代數文字題)

1、學生面對較長的應用問題時,通常會找不到對等的關係來列出方程式,而所 列出來的方程式也會與解題是無關,因為不了解列方程式是用來解決問題,

但卻找了一些無法解決問題的式子。

2、以表格方式來表示題意時,學生對於表格內容的意思似乎不是很清楚,會忘 記關鍵的文字或是忽略掉,導致錯誤產生。

3、學生對於應用問題的解題模式,通常是題目問什麼,就假設什麼,此想法在 題目改變問法時,學生無法轉變應用假設其他項目為未知數來列方程式,是 故該題方程式列不出來。再者即使假設正確未知數,方程式也列對,解題過 程也沒有錯誤,但在寫答時忘記題目在問什麼,以為解出來的 x 就是答案,

未將 x 再依題目計算正確的答案。

4、對於應用問題之題意當中,若有兩層涵意在裡面時,例如工具中的第 9 題, 研 究群發現學生解題方式只停留在第一層的列式,要再用第一層的觀念去列第 二層涵意時學生便失去了方向,無法列出正確的方程式。另外,學生對於列 方程中,若有更佳的方法時,學生也比較想不出來。

5、有些學生只要看到應用問題的型式,就放棄了,因為他們對於文字題目的敘 述覺得自己己經看不懂題意,不知道題目要做什麼,乾脆就不做了。

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