第四章 研究結果與討論
第三節 錯誤概念之分析
一、分析修正二階段評量診斷工具
由第一次開放式問卷之分析和初步二階段評量信效度分析，將初步二階段評 量工具修正成為正式之二階段評量工具，並實施第三次施測再分析學生之錯誤概 念以及工具中之信效度分析。
修正二階段評量工具中，分成兩個階層，第一階層之答案設計為「是」和「否」
兩個選項，第二階層為理由選項，共有 5 個選項，以利於確認學生學習的概念情 形。茲將學生作答反應分析之錯誤概念如下：
本次施測對象共有 77 位學生，將此 77 位學生分別編號為 S01~S77。在學生 的作答反應上，若發生疑義時，將會陸續晤談一些學生，以使分析時，更能維持 客觀性和正確性。
1、SoGo 百貨公司年終全面八折優待顧客，請問售價 y 元的照相機，它的定價是 否為 5
4 y 元？
□是 □否
理由是（ ）： 因為打八折，所以將 8
10 乘以 y 因為打八折，所以將 10
8 乘以 y 因為打八折，所以將 y 除以 8 因為打八折，所以將 y 除以 5 4 其他答案
評量目標：能依題意用文字符號列出代數式
表 4-14
72
S65：不知道，只是隨便選一個選項而已。
S43：不知道它的意思是什麼，隨便選。
學生習慣於用乘的關係，例如定價×折數＝售價，若假設定價為x 時，求售 價為多少時？大部份的學生都會寫
5
4 x ，但改成售價為 x 時，用除的想法就會有
因難。但對於一般文字符號是以大小來表示時，學生比較能夠接受，例如：哥哥 x 歲，哥哥比弟弟大 3 歲，則弟弟幾歲？
2、3x＝x＋x＋x 是否正確？
□是 □否
理由是（ ）： 3x 是 3 ×x，也就是 x＋x＋x 3x 是 3 ×x，也就是 x×x×x 3x 等於是x3
3x 中的 x，即文字符號是不可以作運算 其他答案
評量目標：能了解文字符號的意義 表 4-15
題號 2 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
正確選項 53
將 x＋x＋x 誤認為 x × x × x 的意思是一樣的。 3
無人選 0
無人選 0
作答為 x＋x＋x=3x，而 x × x × x ＝x3，觀念正確但對於選項 中 3x 是 3×x，認為答案是多餘的，而不選。
2
否
不明白 3x 是 3 ×x 5
以為 3x 是 3×x，也就是 x × x × x。把 x＋x＋x 認為就是 x × x × x 9
無人選 0
認為文字符號和數字是不能運算，而無法寫成 x＋x＋x 2
皆另外作答為 3×x＝3x，但不認同是 x＋x＋x 3
T：為什麼 x＋x＋x 就是 x × x × x ？ S43：加法和乘法有時是相通。
T：：為什麼是相通的？
S43：連乘和連加的關係吧！我也不是很清楚。
T：3×x＝3x，和 x＋x＋x 不同嗎？
S65：3x 是 3 倍的x ，x＋x＋x 是 x 加 3 次 T：不一樣嗎？
S65：樣子不同吧！
綜合上述之晤談結果有些同學對於符號的表示似乎有些不是很清楚，只要表 示出來的形式不相同時，就會覺得是不一樣的意思。在上課中曾出現過這樣的例 子：化簡 2（ x －3）－（－3 x ）（－4），許多同學都寫成 2 x －6＋3 x －4，把（－
3x ）（－4）看做是減的關係了，可見學生在文字符號的意義上不是很了解，在 這個部分仍須注意，而不因為簡單而忽略掉學生在此所產生的迷思概念。
3、將 28b÷
4
7化簡，得49b
□是 □否
我的理由是（ ）： 文字符號可以和數字直接作運算且 28b 可以和 4 約分，
所以得 28b÷
4
7＝7b×7＝49b
因為文字符號乘除時，不受限於同類項，文字符號可 以和數字相乘，所以 28b÷
4
7＝28b×
7
4＝4b×4＝16b
28b 和 4
7不是同類項不可以作運算
當文字與數字相除時，文字符號必須省略不寫，所以 得 28b÷
4
7＝28b×
7
4＝4×4
其他答案
評量目標：能化簡文字符號式子
74
表 4-16
題號 3 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
先備知識之除法運算規則不正確。 2
無人選 0
無人選 0
無人選 0
無人選 0
否
除法之運算規則不正確，而選該項之理由的同學第一層選項
應為是，但其卻選否，表示其並未將題目或選項看清隨便作 答，才會有如此矛盾的答案。
1
同學觀念正確。 70
以為文字符號相乘或相除時也必須是同類項才可以運算，而
28b 和 4
7一個有文字符號，一個是沒有的所以不能作運算。 4
無人選 0
無人選 0
T：為什麼文字符號相乘或相除時，必須是同類項才可以運算呢？
S01：上課時有聽老師這樣說過。
T ：是乘除的關係嗎？還是其他的算式？
S01：不知道。
文字符號的化簡一般同學皆能接受，只有少數幾位同學對於老師強調用錯了 地方，以為每一種情形都適用而產生了錯誤。當然還有一些錯誤的同學是因為之 前先備知識的錯誤導致對文字符號運算也跟著錯。
4、「r＋r＋r＋r＋r＝r 」這個式子是否正確？ 5
□是 □否
理由是（ ）： 5 個 r 的一次方相加是r11111，所以等於 r5 5 個 r 相加
5 個 r 相加並且 5 個一次方也相加，所以等於 5r5 5 個 r 次方加 5 次，所以等於 5r
其他答案 評量目標：能了解文字符號的意義 表 4-17
題號 4 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
以為是 r 的一次方部份相加即可，把 5 個 r 相加的觀念弄混
淆了。 3
不知道 5 個 r 相加的結果。認為 5 個 r 相加就是 r5 4
只有一個人選，純粹湊答案而己。 1
無人選 0
不知道上面四個選項的意思，就選其他答案，而且未作答 1
否
認為該選項的敘述是正確的，可是題目中r＋r＋r＋r＋r 不是等於 r5，對於文字符號的意義不是很清楚。自己內部產 生矛盾。
7
了解 5 個 r 相加應為 5r，觀念正確。 27
5 個 r 相加之外又以為需要把一次方的部份相加。 2
5 個一次方當作了 5 個 1 相加 3
選此項答案的同學，認為答案應為 5r，作答正確。但卻不 知 r ＋ r ＋ r ＋ r ＋ r 意義為 5 個 r 相加，也就等於是 5r。另 外大部的同學可能覺得第 2 選項並未說明清楚，所以就自己 作答。
29
T：5 個 r 相加不是等於 5r 嗎？
S10：好像是吧。寫的時候沒有注意到。
S15：應該是 r5吧！
學生對於相同的文字符號相加時，會把次方相加起來，以為這就是答案。
而對r＋r＋r＋r＋r轉換成 5r時，似乎又要多一層解釋才能明白其中的意義。
5、將 5y＋15－4y－16 合併化簡，是否得 1y－1？
□是 □否
理由是（ ）： 因為 y 不是 x ，所以係數 1 要寫出來
文字符號和數字作加減運算時，同類項才可以合併，所以 5y－4y = 1，最後 1－1= 0
76
因為同類項合併，（5y－4y）+（15－16）＝y1
y 是未知數，在這個式子中，沒有等號不能運算
其他答案 評量目標：能化簡文字符號的式子 表 4-18
題號 5 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
會運算，但習慣了 x 的用法，換了未知數時卻不知 1 可以略，
另外有些同學認為 1 可以省略，但－1 必須要寫出來。 6
沒有同類項合併的觀念，以為只要按照順序，而且項數中的
文字符號可以不理會。答案產生矛盾。 2
有同類項合併的觀念，但仍不清楚 1 可以省略不寫。 56
以為只要有未知數就是方程式，而沒有等號不能解 y 1
無人選 0
否
無人選 0
同樣沒有同類項合併的觀念，以為只要按照順序，而且項數
中的文字符號可以不理會。 2
正確觀念 10
無人選 0
無人選 0
學生答案中選是，選項中選的居多，認為1y1＝y1，所以認為 1 不省 略不會影響到答案，但問及到若係數是 x 呢？他們又覺得 1 要省略不寫，見學生 比較習慣 x 的運算，所以老師在教學上舉例時應多能舉出各種不同的文字符號。
6、解 3
x = 5，得 x = 15
□是 □否
理由是（ ）利用移項法則，把－3 移到左邊變成＋3，所以得 x = 8 利用等量乘法公理，分母－3，兩邊同乘以3，所以得
x =－15
利用等量除法公理，分母 3
1兩邊同除以3，得 x = 3
5
利用等量乘法公理，分母為－3，移到右邊變成 3，所以兩邊
78
x＝－
80
評量目標：能以等量公理或移項法則解一元一次方程式 表 4-21
題號 8 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
無人選 0
無人選 0
無人選 0
因為答案 a = 2
3 ，和題目吻合 7
無人選 0
否
觀念正確。 42
等量減法公理使用正確，但一邊為零的方程式覺得很奇怪，
所以以為是無解。 13
學生認為 a a 2
3 ＝ a ， a a 2
2 ＝0，所以 a ＝0 14
隨便作答，對題目不了解。 1
無人選 0
對於缺項的方程式，理論上應屬於比較最簡單的題型，但由於同學題目做 多了，又不曾思考過這個題型的意思時，對學生而言反而是難題，也充份表示學 生對於方程式的意義及解方程式的想法不是很清楚的觀念，所以在此除了加強同 學的計算能力之外，對於觀念的傳輸也是很重要的。另外，使用等量公理時，特 別是除法時，在同除以一個數時，該數不得為零的觀念有些同學有，有些同學沒 有，但另一方面同學即使有不為零的觀念時，但在同除以一個未知數時，卻沒有 考慮到未知數也有可能是零的情形，顯示學生對於觀念之應用還無法實際使用。
對於這樣的形式同學對方程式似乎很陌生，不習慣這樣的形式呈現，使得他們不 知如何使用等量公理來解方程式。
而有一些同學暫且不論其對方程式的解是否正確，他們對於解出來的解a
＝0，結果卻認為是無解，這裡教師們也要注意一下。
9、求方程式 36 x ÷ 7 = 6 的解，其算法是否為 x = 6 × 7 + 36？
□是 □否
理由是（ ）： 將答案代入原式結果不對
82
－ 7
x＝6－36
－ 7
x＝－30
x＝
7 30
觀念對了，可惜在最後的運算卻算錯了。而另外還有一些同學認為 x 的解必須要 算出來為 210，選項 3 是沒有算出來的。還有同學認為
36 x ÷ 7 = 6 x＝6×7－36 －x＝42 x＝－42
學生對於未知數的位置若不是自己熟悉的型式時，對於等量公理的運用可就 亂了手腳，以這題為例，未知數前為負數，而且前有個 36 x ÷ 7，便不知是要 先乘除還是加減了，甚至在移項或利用等量公理時，性質符號都會弄錯，顯示學 生對於一個式子的運算中並非真的了解，而往往在此產生錯誤概念。
10、金田一在心中想了一個幸運數字，然後加上 4，再乘以 5，最後再減掉 8，
大聲說出計算後的數是 62。現在假設幸運數字為 x，將這個運算過程寫成一 元一次方程式 x + 4 × 5 – 8 = 62，請問這個方程式是否正確？
□是 □否
理由是（ ）： 因為先加上 4 所以 x + 4，再乘以 5，所以 x + 4 × 5，後再 減掉 8，所以得 x + 4 × 5 – 8 = 62
因為先加 4 得 x + 4，再乘以 5 得(x + 4) × 5，然後再減掉 8，
所以得(x + 4) × 5 – 8 = 62
因為先乘除後加減，所以得 x × 5 + 4 – 8 = 62
因為 62 減 8，再乘以 5，再加 4 等於 x，所以得 x = (62 – 8) 5 + 4
其他答案
評量目標：能依題意列出一元一次方程式
表 4-23
題號 10 之學生作答分析表
題號配對 學生理由分析 選答
人數
是
選項選是者的同學，呈現出沒有括號的觀念，即先做運算的 意思，若是一個一個步驟去解題，也許有些同學會算對，但 目前以這樣的型式出現，同學們就會誤以為這是對的。
12
平時沒有習慣用括號，所以式子中有括號或沒有括號是相同
平時沒有習慣用括號，所以式子中有括號或沒有括號是相同