一元一次方程式錯誤類型概念之相關研究

本節一樣以文字符號和有關方程式以及文字代數題之相關研究分別作以下 的敘述探討：

一、文字符號（未知數）

文字符號是學生在學習代數前最先接觸到的知識，而它在形式上有別於數字 的計算，學生接受數字的計算合併，但對於一個文字的計算合併或文字和文字的 合併計算，學生便認為不是那麼的自然感覺了。

戴文賓（1999）研究國一學生由算術領域進入代數領域時發現迷思概念為：

（一）有關代數式的意義：在代數式求值問題中，學生會把 3 x 當作 3＋ x 。

（二）有關同類項的意義與合併規則：

1、只處理含x 的同類項，常數項則不合併處理。

2、不接受含有加號的式子當作答案，如 3x ＋4，會再將不同類合併處理 變成 7x 或 7。

3、不確定x ＝1 x ，而會將係數忽略不計，如 3 x ＋ x ＝3 x 。

（三）含括號的化簡問題：

1、括號外的數字只和括號內的第一項相乘，忽略第二項。

2、括號外的數字如果是負數時沒有變號。

3、不知道括號內的運算是要和括號外那一項作運算。

Küchemann (1978)根據 Collis 對文字符號使用概念層次的分類，以 3000 個 平均 13 至 15 歲的學生為研究對象，並從學生認知能力的不同，來探討學生對文 字符號的瞭解情形及成就表現。其研究結果發現學生成就表現均低，而且屬於具 體運思時期的學生只能處理前三種文字符號的概念(即文字符號為可算出的值、

文字符號可忽略而不用、文字符號當作物體)；學生必須發展到形式運思時期，

才有能力將文字符號當成特定的未知數、一般化的數字，甚至在到達形式運思後 期之後，才能將文字符號當成變數來處理。由 Küchemann (1981)所主持的 NCTM 研究報告結果顯示，大部分 13 到 15 歲的學生會把文字符號當成具體的實物或具 體實物的標記(label for concrete objects)。

陳盈言（2001）在其研究中發現學生在變數（文字符號）概念上的錯誤有：

（一）文字符號與數字混合運算上的錯誤，包括：

1、帶分數模式，如 8＋g＝8g

2、加法指數模式，如 e＋e＋e＝e³。

3、不同類項擺在一起，2a＋5b＋a＝3a5b。

4、係數與文字符號分開處理，如 2a＋5b＋a＝8ab。

（二）未有符號代表未知數的概念。

（三）未能以符號表示一般化。

（四）不同符號代表不同的迷思。

（五）認為文字符號代表

（六）正數，而忽略了負數。

（七）沒有單元化的概念，學生不能將不同的文字符號組合看作一個整體。

在 Tonnessen(1980)的博士論文中，進行對文字符號作分類，即分成符號、範 圍及元素的自由表徵，去測量美國中西部大學生文字符號概念的發展。發現學生 發展的文字符號概念的層次很低。因為他的研究並未注意到學生使用文字符號的 情形，只能知道學生是否瞭解這些概念的意義。所以這個研究無法證明學生發展 到達文字符號的某一層次，就可做為預測學生使用文字符號到那一層次的指標，

即有能力去說明文字符號的意義並不保證有能力去使用它。因此，未來的研究方 向有必要朝向文字符號使用情形的瞭解。

Booth（1986）研究指出學生先前的算術經驗影響其對未知數學習。如有些 學生將 2＋x 化簡為 2x 是受到算術中 2＋

2 1＝

2

21或 42 代表 4 個 10 加 2 個 1 等 等類似經驗影響。另外 Booth 也觀察到有些學生認為 xyz-yz 可以寫成 x。

Wagner(1981)研究改變方程式及函數中的文字符號名稱，對學生的影響情 形，即欲了解學生是否知道改變文字符號的名稱並不影響方程式及函數的意義。

他發現許多學生固著於所命名文字符號刻板性用法，並不能隨著文字符號名稱的

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改變，而做適應性的解題，甚至有些學生認為替換不同的文字符號，便改變了整 個題意，而必須用完全不同的方法去做答。由此可知，有些學生並不瞭解文字符 號所代表的意義。

Rosnick(1981)指出學生在數學中文字符號的使用方面，有一些共同的錯誤。

他發現學生會混淆代表實物的文字符號和代表實物數值的文字符號概念。

1982 年國家教育進步評量(National Assessment of Educational Progress)的研 究結果亦顯示學生對文字符號概念的低成就現象(Carpenter, Kepner Jr., Corbitt, Lindquist, & Reys, 1982)。Carpenter et al.以 13 至 17 歲的學生為研究對象，並根 據學生的表現去歸納其代數技能及其瞭解情形。他們發現 91%的學生能利用”□”

的概念去解一些簡單的方程式問題，如：4×□=24，卻只有 65%的學生能解使用 文字符號的方程式問題，如：6m=36。將題目的運算數字變大，其正確的反應則 降至 30%，只有 58%的 17 歲學生能正確的以 t+9 把”比 t 大 9 的數”表示出來，

其他類似的問題也只有 43%做出正確的反應。由此可知，學生在解方程式及利用 文字符號列出方程式方面，存在著學習的困難。

Clement, Narode and Rosnick (1981)從 15 位學生的面談過程中，也發現了這 種共同的錯誤。因此，『每 17 個人(P)中，便有 3 輛汽車(C)』的問題，學生便會 犯『3C=17P』的錯誤。

郭汾派(1988)參考英國 CSMS 小組所設計的題目對全國分區抽樣測試國中生 在文字符號概念的主要錯誤類型，發現其常見的錯誤有：

（一）帶分數模式

2 71 2

71  之影響，而有 8+g=8g 之迷思。

（二）係數、文字分別處理。如 2a+5b=7ab，4×(n+5)=4n+20=24n。

（三）不同類項擺在一起。如 h+h+h+h+t=4ht。

（四）不知如何使用符號。如 5×(e+2)=5e+2 或 5×e+2。

（五）忽略數據資料。如設 c+d=10 且 c<d，求 c 時，答案多為 c=10-d，而 忽略 c<d 之條件。

（六）認為不同文字代表不同數。如 K+M+N=K+P+N 之題目要回答 M=P 之答案感到困難，認為不同文字沒有相等之可能性存在。

（七）將文字當作特定數處理：學生易認為答案一定是一個已知數的錯誤觀 念，尚未能建立好公式一般化的觀念。

（八）受定義影響。學生有時會誤解題意或不明白題意，以致作出錯誤的答 案。

（九）重新設定未知數。習慣以 x ,y,z表示未知數，換成 a,b,c 或其他 符號，其認知就會不同，也尚未能體會文字符號只是“符號”，不

管以什麼來代替都可以的地步。

（十）不能辨別符號與物品。如對甲牌鉛筆每枝 7 元，那甲支甲牌鉛筆是 7 甲元感到困難。

（十一）文字符號當有次序的特定數。學生隱約會把 a，b，c…當成 1，2，

3 之順序來處理，如若甲+2=丙，那麼會把甲+4 回答為『戊』。

（十二）文字符號只當不為負數的數字處理。如設 c+d=10，且 c<d，求 c=?

很高比例的學生會回答為 1，2，3，4 或 0，1，2，3，4。

郭汾派和林光賢(1989)以臺灣地區的國中學生為研究對象，建立了國中學生 文字符號概念的發展層次。他們發現 50％左右的國中二、三年級的學生，只會 做單一文字符號運算、處理文字符號只當特定數或只有數字計算等結構簡單的題 目。

綜合上述文獻探討，發現學生對於文字符號運算，並不容易接受：

（一）如 2＋2＋2＋2＋2＋2＝2×6，依照九九乘法表的意思可知是 6 個相加，

但若把 2 換成x ，似乎對 x ＋ x ＋ x ＋ x ＋ x ＝？心中便有許多的疑惑。

（二）一些簡單的運算當遇上了未知數時，也變得不知道要如何運算了。如 4×

（5＋6）＝？學生可以計算括號內的值再乘以 4，但 4×（x ＋6）＝？此 時無法算出括號內之值，即使教了分配律或去括號法則，學生也往往只乘 到第一個數，第二個數卻忘了。

（三）若是碰上兩個以上的未知數學生對於運算的部分更加分辨不清了。

（四）未知數習慣用 x ，對 x 的運算也許熟悉，若換了未知數之使用，也許又必 須要重新適應了。

（五）若是 x 是個未知數或甲是個未知數時，其它物品的名稱最好不要與未知數 有相同的名稱了，否則學生更搞不清楚了。

二、方程式（等號）

學生解方程式時，可能會遇到對文字符號化簡合併，及利用到等量公理解程

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式。對於方程式中的等號，一般學生對於等號的意義只是計算的結果，並沒有兩 邊對等的觀念。

Kieran(1992)的教學研究顯示多數學生把等號的右邊當成運算的結果，他們 對等號的說明，所舉的例子為左邊是一個單一運算而右邊是結果。

Behr, Erlwanger and Nichols (1976) 也指出學生在初學方程式之時，因為受 到過去學習經驗，而認為方程等號右邊是表示運算的答案，所以等號對他們而言 只是一種作出結果的符號而己。

Vergnaud(1984)也強調等價的概念，他認為學習代數的重點是必須能將等號 看成對與等價的概念。同時也指出國小 6 年級學生大都直接以情境中的數值關係 直接運算，而將整個算式寫成一列，如 2.30+3.20=5.50-1.50=4。他們忽略了等號 的對稱與等價性。

Kieran(1989)就非常強調等號的等價概念對解方程式的重要性，因為等價觀 念是學生學習代數的基礎、等價觀念是表徵方程式及解方程式的基礎，具備等價 觀念能對方程式有結構性的觀念。

Benander and Clement(1985)在算術與代數基本課程教學時，以教室觀察、檢 討、面談三種方式，發現學生在「解方程式」時存在下列的錯誤類型：

1. 未知數係數是 1 的察覺失敗：學生認為 a 和 1a 不相等，故無法察覺 a＋3a＝

1a＋3a＝4a 算式成立。

2. x ＝ x 的迷惑( x ＝ x confusion)：當學生化約方程式得到 x ＝ x 時，可能做下了 x ＝1 或 x ＝0 的結論。

3. 無法察覺同類項：學生在判斷方程式中是否有合併的相同項發生了困難，於 是認為 2＋ x 可以合併為 2 x ，而不知 2 和 x 是不同類之項次，不可以任意合 併。

4. 切換逆預算失敗：當化簡方程式時，需要用除法時學生卻用減法，而需要用 減法時，學生卻用除法。當學生在解 2 x ＝5 時，他以 x ＝5－2＝3 的方式解 出 x ＝3。

綜觀上述，學生在學習解方程式之初應能確定等號的意義，才能利用它來 解決日常生活的問題，並且真正了解方程式的意義，它不只是運算的結果而已，

而是兩邊對等的概念，如此在利用等量公理解方程式之時，才能正確使用並了解

等量公理的涵意。一般學生在解方程式時，通常會有以下幾個步驟：（1）有括號

去括號，（2）利用等量加減法公理將未知數放在等號的同一邊，等號另一邊放數 字，（3）合併同類項，（4）再利用等量乘除法公理解出未知數。但 Herscovics and Linchevski (1994) 認為教師教學時若過份強調此四個步驟的技巧，而忽略了利用

去括號，（2）利用等量加減法公理將未知數放在等號的同一邊，等號另一邊放數 字，（3）合併同類項，（4）再利用等量乘除法公理解出未知數。但 Herscovics and Linchevski (1994) 認為教師教學時若過份強調此四個步驟的技巧，而忽略了利用