第四章 研究結果與討論
第二節 編製二階段評量
54
其他答案 理由：
56
5、解下列方程式
58
3
2 1 0 2
3 其他答案 理由：
（10）（ ）36－ x ÷7＝6
7
30 210 294 6 其他答案 理由：
（六）7、若 578 x ＝800－100 x ，則 678 x ＝
該題有些變化，但答對的人數又不在少數之下，不過學生的答案又呈現多樣
化的型式，可以將學生作答的答案列為選項之答案，所以研究群認為有必要保留 來看看其他學生的反應為何？修正為：
7、（ ）若 578 x ＝800－100 x ，則 678 x ＝
900200x 800 900100x 800x 其他答案 理由：
（七）8、爸爸、媽媽帶著兩個小孩小守、小智去喝下午茶，最後付款 880 元，
價目表如下表：問大人 1 人需付多少元？
9、淵明國中舉行二年級隔宿露營活動，至香格里柆遊樂區搭帳篷露營，
已知男女生每個帳篷住的人數皆為 8 人，而男生所使用的帳篷個數比 女生帳篷個數多 5 個，而女生人數是男生人數的
4
3倍，問總共使用了多 少個帳篷？
10、有 x 顆巧克力，柯南取走一半又 2 顆，服部取走剩餘的一半又 3 顆，
則剩下 18 顆巧克力， x 等於多少？
11、金田一在心中想了一個幸運數字，然後加上 4，再乘以 5，最後再減掉 8，大聲說出計算後的數是 62，請你算出他的幸運數字為何？
有間飯店
下午茶：大人 x 元
小孩 （x－100）元 單位：1 人 加收一成服務費
應用問題在一元一次方程式也扮演著非常重要的角色，而且題型也是多樣 化，是學生認為最頭痛的題目，而問題徵結通常有兩個因素，一在於題目的意思，
二在於即使了解題意，對於假設未知數以及列方程式的部分，也會有困難，為了 明白學生是在於題目的關係或是本身對於列方程式或解方程式中有因難，所以將 此應用問題的部份皆做保留。修正為：
8、爸爸、媽媽帶著兩個小孩小守、小智去喝下午茶，最後付款 880 元，
價目表如下表：問大人 1 人需付多少元？
（1）（ ）請列出一元一次方程式
2x2x200800 2x2(x100)880
(2x2x200)0.1880 2x2(x100)800
其他答案 理由：
（2）（ ）解得大人 1 人需付多少？
275 250 270 170
其他答案 理由：
9、淵明國中舉行二年級隔宿露營活動，至香格里柆遊樂區搭帳篷露營，
已知男女生每個帳篷住的人數皆為 8 人，而男生所使用的帳篷個數比 女生帳篷個數多 5 個，而女生人數是男生人數的
4
3倍，問總共使用了多 少個帳篷？
（1）（ ）請列出一元一次方程式
設女生帳篷x 個，則 [8( 5)]
4
8x 3 x
設男生 x 人，女生 4
3x， 則 8( 5) 4
8x3 x
設男生帳篷x 個，則 x x 3 5 4
有間飯店
下午茶：大人 x 元 小孩 （ x －100）元 單位：1 人 加收一成服務費
60
式子的值，（五）列一元一次方程式，（六）解一元一次方程式（等量公理），（七）
應用問題（代數文字題），茲將七大類分析學生所作答的情形。
本階段研究群將此初步二階段評量工具，對五個班級進行第一次施測，針 對每一題目學生所選的選項以及理由，綜合整理統計之後，計算出此評量工具試 題之分析如下：
要發展一份評量工具，那麼研究群在自編的測驗中，應該要如何來分析試 題品質優良性與否？首先研究群對初步二階段評量試題進行量化分析，主要是難 度、鑑別度以內部一致性、信效度來作為判斷，並修改試題。
二、信度、難度、鑑別度、內部一致性分析：
由問題注意係數表中，原則上刪題後的係數若大於內部一致性係數時，即表 示，將該試題刪除後的結果，是有益於整份測驗信度的提升，余民寧（2002）。
而鑑別度分析如下 表 4-12
鑑別度的評鑑標準
鑑別度指標 試題評鑑結果
.40 以上 .30~.39 .20~.29 .19 以下
非常優良
優良，但可能需要修改 尚可，但須作局部修改 劣，需要刪除或修改
此外，可以以鑑別度指標以大於.25 以上，難度指標以介於.40 到.80 之間作 為選題的標準。另外，還可以以 S-P 學生問題表分析之試題的診斷分析表 A、A’、
B、B’來判斷試題之性質。
首先，先將二階段評量之試題全部按照順序轉化為 1 至 32 題。由問題注意係數 表中刪題後的信度大於內部一致性係數的題目有試題：3、4、 6 、7、10、 11、
12、 13 、14 、18 、25、 26 、27、28、29、30、31 共 17 題，其中試題 27、
30、31 試題診斷分析表中判定類型為 B，其難度、鑑別度分別為 0.5676、0.6486、
和 0.3108、0.4595 以及 0.3919、0.5135，鑑別度均有在.0.25 以上，而難度也在 0.40~0.80 之間，若試題想要保留的話可以稍作修改。試題 6、13、25、26、28、
29 之判定類別為 B’，所以刪除。試題 3、4、7、10、11、12、14、18、31 等試
62
表 4-13
一元一次方程式概念與題目雙向分析表
概念
題號 （一） （二） （三） （四） （五） （六） （七）
1 ＊ ＊ ＊
2 ＊ ＊ ＊
3 ＊ ＊
4 ＊ ＊
5 ＊ ＊
6 ＊ ＊
7 ＊ ＊
8 ＊ ＊
9 ＊ ＊
10 ＊ ＊ ＊
11 ＊ ＊ ＊
12 ＊ ＊ ＊ ＊
13 ＊ ＊ ＊ ＊
14 ＊ ＊ ＊
15 ＊ ＊ ＊
16 ＊ ＊ ＊
17 ＊ ＊ ＊
18 ＊ ＊ ＊
19 ＊ ＊ ＊
20 ＊ ＊ ＊
21 ＊ ＊ ＊
22 ＊ ＊ ＊
23 ＊ ＊ ＊
24 ＊ ＊ ＊ ＊
25 ＊ ＊ ＊ ＊
26 ＊ ＊ ＊
27 ＊ ＊ ＊ ＊
28 ＊ ＊ ＊
29 ＊ ＊ ＊ ＊
30 ＊ ＊ ＊
31 ＊ ＊ ＊ ＊
32 ＊ ＊ ＊
64
（一）試題 1 以及試題 2 的刪題後的信度為 0.8765 和 0.8756，判定類型為 A，
所以將此題保留並做修定，考慮兩題之類型相似，而試題 1 中己了解學生 對文字符號列成文字式子，已有大部分的了解，在不增加學生作題的困擾 下又希望能進一步了解學生的程度所以保留了試題 2。並且將試題 2 中的 七五折改為八折。
1、SoGo 百貨公司年終全面八折優待顧客，請問售價 y 元的照相機，它的定價是 否為 5
4 y 元？
□是 □否
□理由是（ ）： 因為打八折，所以將 8
10 乘以 y 因為打八折，所以將 10
8 乘以 y 因為打八折，所以將 y 除以 8 因為打八折，所以將 y 除以 5 4 其他答案
（二）研究群認為對於文字符號意義的題目較少，所以在正式問卷中希望再加 上一題以確認學生對文字符號的意義是否有充分的了解。
2、3x ＝xxx是否正確？
□是 □否
理由是（ ）： 3 x 是 3 × x ，也就是xxx 3x 是 3 × x ，也就是 x × x × x 3x 等於是x3
3x 中的 x ，即文字符號是不可以作運算 其他答案
（三）試題 3 和 4 的刪題號信度為 0.8821 和 0.8811 超過了內部一致性係數，所
以將其刪掉，而試題 4 的部份認為學生都可以將文字乘以文字，和數字 乘以數字的觀念弄清楚了，而且也能利用結合律的技巧，所以認為不需
要再出現。試題 5 則保留，除了因內部一致性係數大於刪題的信度之外，
學生在文字符號之除法運算比較不熟悉，希望能再多了解學生的概念為
何。修正為
3、將 28b÷
4
7化簡，得49b □是 □否
我的理由是（ ）： 文字符號可以和數字直接作運算且 28b 可以和 4 約分，
所以得 28b÷
4
7＝7b×7＝49b
因為文字符號乘除時，不受限於同類項，文字符號可以 和數字相乘，所以 28b÷
4
7＝28b×
7
4＝4b×4＝16b
28b 和 4
7不是同類項不可以作運算
當文字與數字相除時，文字符號必須省略不寫，所以得 28b÷
4
7＝28b×
7
4＝4×4 其他答案
（四）試題 7 中 0.8802 大於 0.88，雖判類型為 A，但其類似題已存在，試題 8 也 是和試題 7 有相同的問題，故此兩題皆刪除。試題 9 修正為：
4、「r＋r＋r＋r＋r＝r 」這個式子是否正確？ 5
□是 □否
理由是（ ）： 5 個 r 的一次方相加是r11111，所以等於 r5 5 個 r 相加
5 個 r 相加並且 5 個一次方也相加，所以等於 5r5 5 個 r 次方加 5 次，所以等於 5 r
答案其他
（五）試題 6 根據其刪題後的信度以及判定類型，是必須將其刪除，但尤於其 注意後數 0.50 值得探討學生作答的原因為何？所以將其修正為：
5、將 5y＋15－4y－16 合併化簡，是否得 1y1？
□是 □否
理由是（ ）： 因為y不是 x ，所以係數 1 要寫出來
文字符號和數字作加減運算時，同類項才可以合併，所以 5y－4y = 1，最後 1－1= 0
66
因為同類項合併，（5y－4y）+（15－16）＝y1 y是未知數，在這個式子中，沒有等號不能運算 其他答案
（六）試題 10、11、12、13 均作刪除，而試題 14 至試題 23 為解方程式的題型，
雖然試題 15、16、17，分析中皆屬於良好的試題，希望用較少的題目就 能檢測出學生的概念而試題 17 研究群認為可以具有代表性，而應用題
的題目解方程式中也會出現試題 15 及試題 16 的概念，所以挑選試題 17 作為修正的題目：
6、解 3
x = 5，得 x = 15
□是 □否
理由是（ ）利用移項法則，把－3 移到左邊變成＋3，所以得 x = 8 利用等量乘法公理，分母－3，兩邊同乘以3，
所以得 x =－15
利用等量除法公理，分母 3
1兩邊同除以3，得 x = 3
5
利用等量乘法公理，分母為－3，移到右邊變成 3，所以兩邊 同乘以 3
其他答案
（七）試題 19 對於 x 係數為分母的題型應多加確認學生的想法，除了了解利用 等量公理以外，對於同乘或同除是否能實際利用，會不會有些項沒有乘 到或除到，而另外研究群在教學現場也發現同學對於兩邊同乘或同除的 觀念不對，有些同學會一邊乘以 a ，一邊乘以b以為這就是同乘，所以把 試題 19 修正為：
7、解2 x
3
2x＝ 4 1－
5
1，得 x = －1
□是 □否
理由是（ ）：兩邊同乘以 60，得 30x－40x = 15－12，－10x＝3，x＝
10
3 一邊乘以 6，一邊乘以 20，得 3x－4x = 5－4，－x＝1，x＝－1
兩邊同乘以 60，得 30x－40x = 15－12，－10x＝3，x＝13 一邊乘以 6，一邊乘以 20，得 3x－4x = 5－4，－x＝1，x＝1 其他答案
（八）於缺乏常數項的方程式，在於研究群的認知中應該是比較簡單的，但從 開放的問卷和初步的二階段評量中，觀察學生的作法及概念反而是缺項 的方程式讓他們比較無所適從，所以在試題 20、21、22 中選取試題 22 作為修正的依據：
8、解 3a = 2a，得 a = 2 3
□是 □否
理由是（ ）： 兩邊同減掉 2a，所以 a = 0
兩邊同減掉 2a，結果無解
兩邊同除以 2a，所以 a = 0
兩邊同減掉 3a，所以 a = 2 3
其他答案
（九）試題 23 刪除後的信度為 0.8779 小於內部一致性係數，再加上此題學生 對於 x 的位置意義有多有不同的想法，影響了學生使用等量公理的正確 性，所以為收集更多學生的概念，將此題修正為：
9、求方程式 36 x ÷ 7 = 6 的解，其算法是否為 x = 6 × 7 + 36？
□是 □否
理由是（ ）： 將答案代入原式結果不對
因為除以 7 和36 用移項法則變成乘以 7 和＋36 因為原題目為 36
7 x = 6，
7
x = 36 6，
x = (36 6) × 7
因為 36 先減 x，所以 7 先乘過去，36 x = 7 × 6 其他答案
68
（十）保留試題 31 及 32，其餘試題刪除。從開放式的問卷和初步二階段評量中 學生的作答情形得知學生能夠了解此題之意。而列方程式，從所列之方程 式中又能明白學生在方程式中加減乘除之先後順序的使用是否能正確使用 括號，所以將之修正為：
10、金田一在心中想了一個幸運數字，然後加上 4，再乘以 5，最後再減掉 8，
大聲說出計算後的數是 62。現在假設幸運數字為 x，將這個運算過程寫成一 元一次方程式 x + 4 × 5 – 8 = 62，請問這個方程式是否正確？
□是 □否
理由是（ ）： 因為先加上 4 所以 x + 4，再乘以 5，所以 x + 4 × 5，
後再減掉 8，所以得 x + 4 × 5 – 8 = 62
因為先加 4 得 x + 4，再乘以 5 得(x + 4) × 5，
然後再減掉 8，所以得(x + 4) × 5 – 8 = 62 因為先乘除後加減，所以得 x × 5 + 4 – 8 = 62 因為 62 減 8，再乘以 5，再加 4 等於 x，所以得
x = (62 – 8) 5 + 4 其他答案
修正完後的二階段評量，研究群及指導教授仍覺得有些不足的地方，如了解 一元一次方程式的解、一元一次的意義或其他文字代數題的應用等題目，所以又 增加了二個基本概念題目和一個應用問題以補以上以計算為主的題目。
11、(5x + 4) – (3x + 7)是否為一元一次方程式？
□是 □否
理由是（ ）： 因為(5x + 4) – (3x + 7)化簡後 x 的係數為 2，x 項仍存在，即
理由是（ ）： 因為(5x + 4) – (3x + 7)化簡後 x 的係數為 2，x 項仍存在，即