第二章 文獻探討
第一節 一元一次方程式單元的相關研究
第二章 文獻探討
本章的目的， 旨在針對本研究所擬探討範圍之相關文獻 ，進行 有系統 性的閱讀與整理，以作為本研究之學理基礎。本章包括的內容有：第一節、
一元一次方程式單元的相關研究 ；第二節 、多元評量與數學解題歷程的研 究關於一元一次方程式單元的相關研究；第三節、QUASAR 紙筆認知評量 與複式評量之理論與研究；第四節、評量學生數學能力的方法相關研究。
第一節 一元一次方程式單元的相關研究
代數（algebra）是數學的一支，在數學發展史上已有將近四千年的歷 史。代數是在算術中數與運算的基礎上有系統而發展起來，其基本目的就 是有效的運用普遍成立的運算法則來有系統地解決各種數量問題（林敏雪，
1997）。
而一元一次方程式則是在解決代數問題時 ，經過化簡後，用只含有一 個文字符號的方式代表未知數， 而它的最高次數是一次的方程式。根據國 內外學者以及國內之教科書對一元一次方程式必要概念的陳述，研究者將 所牽涉的概念歸納整理分述如下 ：
一、 一元一次方程式教學目標與解題相關因素探討
教師應先了解在解九年一貫的課程綱要裡 ，七年級上學期代數部分的 能力指標內容分別為：
7-a-01 能熟練符號的意義，及其代數運算 。
7-a-02 能用符號算式記錄生活情境中的數學問題。
7-a-03 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出 一元一次方程式。
7-a-04 能以等量公理解一元一次方程式， 並做驗算。
7-a-05 能利用移項法則來解一元一次方程式，並做驗算。
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在目前現行的國中數學課本的版本中， 均依照九年一貫課程綱要中之 能力指標，進行編排教學目標， 各版本所列之教學目標大致相同。由學習 心智圖可以發現，學習一元一次方程式的過程。下圖則是一元一次方程式 的學習心智圖：
圖 2-1-1 一元一次方程式學習心智圖
雖然如此，但是對某些學生而言，掌握數學概念的結構關係並不困難，
難的是符號表徵的學習， 亦即未知數的尋求（Miles,1992）。 身為第一線的 教 師 ， 我 們 不 難 發 現 ， 過 去 學 生 在 學習 本單 元 時 ， 常 常 缺 乏 概 念 性 理 解
（conceptual understanding），學生會出現記憶教師講法或者將解題的方法公
以 符 號代 表 數
求 式 子的 值
式 子 的化 簡
利 用 等量 公 理解 一元 一 次方 程 式
利 用 等量 公 理解 一元 一 次方 程 式
應 用 問題
第 2 冊 第 1 章 二 元 一次 聯 立方 程式
第 2 冊 第 5 章 一 元 一次 不 等式
第 3 冊 第 4 章 一 元 二次 方 程式
用符號代表數 怎樣解題
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式化，反而常因為錯誤的記憶公式或錯誤的理解，發生解題與運算上的問 題。
二、 一元一次方程式解題的探討
(一) 關於一元一次方程式的相關研究
使用文字符號不但是代數方程 式的入門， 更是進入數學抽象概念 的初步學習。 但是學生在解代數問題時 ， 由於對文字符號常常有不同 的的意義詮釋 ，而影響學生看待問題的困難程度 。即因文字符號無法 真正連結文字符號與意義間的信息，造成 未能成為學生解題的工具，
間接地影響日後代數學習。
學 生 對 文 字 符 號 是 否 了 解 是 影 響 學 生 代 數 學 習 非 常 重 要 的 因 素
（Kuchemann,1981）。許多學生面對原有之文字符號一被改變時，甚至 會認為整個題意完全改變 ，導致影響解題的適應能力， 顯示學生在學 習時容易固著於所命名之文字符號，由此得知學生並沒有完全瞭解文 字符號在問題中所代表的意義（ Wanger,1981）。
根據以上兩位學者的研究可以得知， 學生對文字符號的認知 ，如 果只是停留在具體階段， 雖然可以解決簡單的問題，但是若遇到較為 複雜問題時， 則往往沒有辦法適當的使用文字符號，因此形成了解題 的困難與概念的迷思。
郭汾派 （ 1988） 曾對全國分區抽樣測試國中生在文字符號概念的 主要錯誤型態，其常見的錯誤有 ：
1. 帶分數模式：有 8＋ g＝ 8g 之迷思 。
2. 係數和文字分開處理：當學生會認為單項式才是答案，最常見 的錯誤類型是係數、文字分別處理，將不同類項的係數先行運算，
再將未知數置於其後。如： 2a＋5b=7ab、2a＋5b=7＋ab、2a＋5b=7
（a+b）或 2a＋5b= 7＋a＋b 等 。
3. 錯誤合併不同類項：如 h＋ h＋h＋ h＋t＝ 4ht。
4. 使用錯誤乘法分配律： 如 5（e＋ 2）＝ 5e＋2。
5. 忽略題目給定的訊息：如假設 c＋d＝ 10，且 c＜ d，求 c 時，
學生大多忽略 c＜d 而大部分的錯誤答案多為 c＝10－ d。
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6. 錯誤認知文字符號不為負數：如設 c＋d＝10，且 c＜ d，求 c 時，多數的學生會錯誤回答成為 c=1，2，3，4 或 c= 0，1，2，3，
4。
郭汾派所整理出來的六項錯誤形態：帶分數迷思 、係數和文字錯誤的 分開計算、錯誤合併不同類項、 使用錯誤的乘法分配律、忽略題目給定的 訊息以及錯誤認之文字符號不為負數等六項。教師若能在教學時，給予學 生精熟學習的機會，應能減少學生犯錯， 並且也能在文字題中的計算錯誤 機會降低，增加學生解題信心。
另外，陳創義、洪有情於 2003 所發表的青少年的代數運算概念發展研 究中顯示：
1. 七、八年級學生中，均有一半的學生會處理有括號的分配律問 題以及牽扯到兩個概念或制約的問題。但 其中僅有 8%及 11%的 學生會把文字符號當成變數或一般數。
2. 數字與符號的加、乘錯誤混用。
3. 學 生從 學習算 術的 舊經 驗認為 相加 就是 要求出 一個 數或 只有 一項的答案。
4. 學生認為相同的符號代表相同的數 ,而 不同的符號代表不同的 數。
5. 在學生的迷思概念裡,除法就是大數除以小數。
6. 不能分辨係數與指數：（a＋b）＋（a－ b）＝ a2－b2。 7. 逆向思考對學生比較難 。
8. 代表符號當作變數以及文字符號代換的概念：例如：假設 甲＋
乙＝丙，求 甲＋2 乙，這樣的題目 對國中生而言是比較難的題目。
9. 數字與文字分開運算,且忽略係數 1。
倘若教師在教學上能清楚知道學生在學習在本單元中的常見迷思概念 ， 那麼在授課時，必能針對學生的問題多加以說明，降低學生在學習本單元 之困擾，增加學生學習時的信心 。
方程式的產生是為了解決日常生活問題 。距今四千多年前 ， 埃及人 已經會利用方程式的觀念， 使用假設法來推出答案 ，其實已隱含方程式 的概念來解答一道數學問題 。中國古代最著名的數學著作九章算術中的
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「開方術」及「方程術」，基本上也都是用文字敘述來表達代數。而古希 臘數學家丟番圖（Diophantus）將一套縮寫符號有系統地應用在方程式理 論上，從此開啟了代數的發展。
學 生 當 中 占 多 數 的 人 ， 無 法 將 簡 單 的 句 子 轉 換 成 代 數 方 程 式
（Clement,Lochhead＆Monk,1981）。國小六年級學生大都直接以 問題情境 中 的 數 值 關 係 直 接 運 算 ， 可 以 知 道 學 生 忽 略 了 等 號 的 對 稱 性 與 等 價 性
（Vergnaud,1984）。
有研究指出， 造成學生轉譯錯誤的可能是問題做的太快 、列完方程式 沒有立即檢驗、未根據問題的意思列式、 或者學生甚至未使用文字符號來 列式。這個研究也發現其實要求學生花幾分鐘時間，從句子意義的了解來 列式並檢驗方程式，學生幾乎都可以成功的解決問題（Wollman,1983）。
在謝夢珊 （2000） 的研究中指出 影響學生解方程式的解題可能有 ，運 算符號的性質、運算符號的個數 、運算符號及未知數的位置、未知數出現 的次數、答案是否為整數、係數的大小、 題目中是否有括號等七項因素。
將上述研究整理，可知影響國中生方程式解題的可能因素包括：
1. 將問題做錯誤的轉譯 ：此包含對未知數的 了解 ，即學生在解 題時做的太快、未根據問題的意思列式、忽略了等號的對稱性與 等價性。
2. 學生是否具有正確的運算過程能力 ：大部 份的問題是加減乘 除的運算、括號的去除。
3. 具有足夠之先備知識，才能正確解題。
在探討文字問題中 ，發現文字 題因為其題目長又要了解題目的意 義而困擾著老師和學生， 老師覺得文字問題是數學教學過程中難教的 一個主題其中之一， 而學生也感覺到文字題會使他們感到挫折的數學 內容。
林碧珍 （ 1990） 的研究結果指出 ， 學生解文字題的能力比基本計 算能力差，尤其是在低程度的學生，他們 僅能勉強會朗讀題目 ，不但 是不懂題意 、 沒有任何 解題計劃 ， 更 是缺 乏概念性的理解 。 Cummins
（1991）指 出 ，代數文字題比一般的計算題涉及更複雜的認知歷程，
並 常 以 日 常 生 活 的 情 境 做 為 題 材 ， 以 語 文 型 態 來 描 述 數 學 問 題 的 情 境。
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綜合上述，計算能力較差的學生在解文字題時，所遇到的第一個困難 就是閱讀題目後，仍對題目的文意不清楚 ，更不用進行解題步驟的分析或 是檢查。而這也是大部分的教師在現場教學時，所經常遇到的教學困難。
Yancy（ 1981）在研究報告中曾說明學生為何感到應用題困難的可能原 因：
1. 問題題幹中，不一定將需要計算的訊息列出。
2. 有許多無關的解題訊息會夾雜在題目裡。題目呈現時，並不一 定提供輔助圖表。 有時需要從題目中，在解題過程裡 自行推論 出必要訊息。需特別注意許多關鍵字。
3. 字彙通常讓學生感到有難度 ，適用於或高於學生的閱讀程度，
不易瞭解。
4. 題目內容常常不是學生日常生活中的實際經驗，而是不為學生 所熟悉的內容。
5. 解題時，可能需要用許多計算步驟 ，才能得到答案。複雜與煩 悶的計算過程，會讓學生感到困難。
6. 題幹中，通常以文字敘述來表示觀念，而不是用『數字』表示 觀念。
此外，林清山、 張景媛 （1994） 研究指出 ，學生在解代數文字題時，
會受整個文字題的複雜度、題目中未知數數量的多寡、及題目中負號及式 子組合的影響，而對數學文字題產生錯誤概念。
從許多學者研究中，我們可以得知過去的在教學過程中的問題，幫助 我們了解今日學生易犯的錯誤及迷思概念 。我們了解國中生踏進到代數領
從許多學者研究中，我們可以得知過去的在教學過程中的問題，幫助 我們了解今日學生易犯的錯誤及迷思概念 。我們了解國中生踏進到代數領