多元評量與數學解題歷程的理論與相關研究

根據調查研究發現我國學生對數學普遍有畏懼感，興趣不高，甚或討 厭、排斥（戴寶蓮，1991）。除了數學本身較具抽象性及邏輯性外，主要 的問題便出在教學上了，而數學的學科本質是無可改變的，唯有從教學層 面改善，透過教學設計使學生能參與學習活動（蘇育任，1993）。因此如 何增加學生主動參與的機會和幫助學生學習表現，已成為許多專家學者研 究的課題。學生在平時課業尋求幫助的表現，大多以在班級中主動的尋求 老師、同學協助的社會歷程等方式進行， 這些在影響學習與智能的發展上 扮演著關鍵的角色。

九年一貫課程 綱要的推行 中，著重十大基本能力的培養 ，十大基本能 力為一、了解自我與發展潛能； 二、欣賞 、表現與創新；三、生涯規劃與 終身學習；四、表達、溝通與分享；五、 尊重關懷與團隊合作；六、文化 學習與國際理解；七、規劃、組織與執行 ；八、主動探索與研究；九、獨 立思考與解決問題；十、運用科技與資訊 。十大能力指標中強調欣賞、表 現與創新、表達溝通與分享、尊重關懷與團隊合作、主動探索與研究及獨 立思考與解決問題等能力的培養 等十大基本能力。

故若在課堂中，僅只注重課程目標，將學科內容單調的教導給學生，

那麼便剝奪了學生學習主動探索與研究的精神，並且更可能使學生喪失學 習興趣、獨立思考及解決問題的能力。課程綱要中的能力指標，是根據學 生能力的發展作為分段教學目標 ，為了能有效評量學生的學習結果，評量 方式必須有別於現在偏重紙筆測驗的形式 。

綜上所述，教師若 透過傳統講述法中的「老師講而學生聽」的情況下，

很難有機會培養學生在十大能力 。因此， 對於進行傳統教學的教師，必須 因應課程的變革與衝擊，進行反思自己教學方法，並改變教學方式與評量。

以下就多元評量與數學解題歷程 兩個面向做為文獻探討基礎。

一、 多元評量

(一) 多元評量的理念與特質

多元評量係以教師教學與評量專業為基礎，依據教學目標研擬適切的 評量方式、評量內涵、評量人員 、及評量時機與過程，並呈現多元的學習

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結果，以提供更適性化的教學來增進學生成長（李坤崇，1999）。

Gardner 強調未來評量應將具有的特色中， 特別提到評量重於測驗，

利用一些有趣及能引起動機的素材，採取多元的測量工具，考量個體的個 別差異、學生的不同發展階段， 以及不同專業知識，並應在「真實工作情 境」的相似狀態下進行評量，對 於學生的 表現才能做出最適當的預測，最 後幫助學生瞭解其學習優缺點，應將評量訊息回饋給學生（Gardner，1993；

李坤崇，1999）。

在多元評量的特質上，陳明終指出多元評量應該具有應該具有以下幾 點的特質：評量歷程多元化；評量人員多元化；評量標準多元化；評量環 境的多元化；評量時間多元化； 評量參考資料多元化；評量科技應用多元 化；評量通知單呈現多元化（陳明終，2000）。

多元評量強調評量重於測驗，並用以判斷學生是否能用所學，在方法 上是採取多元的測量工具，再貼近真實性的測驗中態下進行評量，並且秉 持著評量歷程多元化、評量標準多元化等之原則，使學生可以解決日常生 活所遇到的問題，並引發學生自我省思學習歷程。如此，教學目標與課程 目標才能落實十大能力的培養。

(二) 現代教師應具備的教學評量能力

近年來，國內外測驗學界對傳統單一紙筆評量提出許多批判，促使興 起了多元評量討論與實施。

傳統紙筆評量以行為主義為其理論依據， 強調評量活動應客觀評量學 習者的行為表現，為達評分客觀性，評量試題便偏重於是非題、選擇題、

配合題等試題，然而是非題、選擇題與配合題等題目僅能評量到低層次的 教學目標（凃金堂，2011）。因此，為了評量學生高層次問題解決能力與自 我省思能力，評量方式轉而強調實作評量與檔案評量（余民寧，2002）。而 經過複式評量，則除了可以蒐集學生解題歷程外，再透過重組後，更可以 至做成高層次的選擇題或其他題目。

「九年一貫」數學領域課程中， 教師需要注意的兩個方向：一是數學 的重要性，在於數學課程得以顧及技術層面外，更重視與其他領域的連結；

二是未來的數學教學將更強化培養學生「 解題」、「溝通」與「分析批判」

等能力，因為這些能力不僅成為了未來數學領域的課程重要目標，且日後 都將成為幫助學生發展終身學習的基礎（陳啟明，2004）。數學課程在平時

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上起課來，若按課本內容教導學生，教師不另加以其他方式教學，使學生 提不起學習興趣，更使學生之解題與溝通技巧隨之喪失，故數學雖然有其 重要性，但教師應亦可使用不同的評量方式，使學生在有目標的情形之下，

漸漸的培養「解題」、「溝通」與 「分析批判」等能力。

在評量與教學的循環下， 教師可以透過 實際教學後之小考或周考及其 他回饋的方式，掌握學生的學習情形觀察與監控學生學習狀況的歷程，最 後將學生個人檔案資料進行更新 。這正說明了評量活動與教學活動的關聯 是密不可分的（涂金堂， 2011）。

故教師應培養具備教學與評量的專業， 利用評量的多元化，以接近真 實情境狀態下，活潑評量的方法 ，注重學生在班級互動的參與度與日常表 現，兼顧非正式評量，激勵學生主動的自 我省思。

二、 各學者關於學生數學解題歷程的研究

張春興認為， 在問題的情境下， 經過思考與推理所達到目標的心理歷 程是為解題（張春興，1993）。此外，美國數學教師協會（NCTM）於 2000 時 ， 更 曾 提 出 解 題 不 僅 是 學 習 數 學 的 目 標 ， 也 是 學 習 數 學 的 主 要 手 段

（NCTM, 2000）。

因此解題的過程應具有策略及步驟，在發現問題時，才能運用現有的 知識與經驗，經由思考與推理的心路歷程，以推理與歸納的方式達成目標。

數學與人類的日常生活息息相關 ，若學生具備數學視野與能力將有助於日 後達成終身學習的習慣。因此可以看出在數學領域的教學過程裡，「解題」

仍將成為數學領域的教學重點。

所謂數學解題歷程是指學生處理數學問題時的程序。國中學生學習代 數的問題時，必須先理解問題、 描述問題 、將問題轉換成代數符號。這樣 的心理表徵，要從解題歷程的程序瞭解。以下是 Mayer（邱志賢，毛國楠，

2001）對於解題歷程的探討，Mayer 將解題歷程分為兩個步驟，將數學文 字題的解題分成兩大部分，每個步驟又包含二個子步驟，分述如下：

(一) 問題表徵（problem representation）：

即將文字或圖案轉換成心理表徵 ，其中又包含二個子步驟。

1. 問題轉譯（problem translation）：將問題從文字表徵轉換成心 理表徵是不太容易的 。 轉譯問題要將題目中的每一個句 子或主

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要的詞句轉 換成為內在心理表徵， 並且有良好的陳述性與程序 性知識。

2. 問題整合（problem integration）：問題整合需要具有基模知識

（schematic knowledge），以區分問題的類型，並且要求學生將問 題的敘述組合成連貫的表徵。

(二) 問題解決：

即從心理表徵進行到最後答案的過 程 ， 含 二個步驟 ， 茲分述 如下：

1. 解答的計畫與監控（Solution planning and monitoring）：需要具 有如何解決問題的策略性知識。

2. 解答的實施（solution execution）：需要以正確且有效的程序知 識應用算式，以執行工作。

Mayer 將解題歷程分成兩步驟 ，包含問題的轉譯、 問題整合及解答的 計畫與解答的實施。

在解題歷程的一開始，即問題轉譯的部分 ，學生必須利用良好的陳述 與程序性的知識，將問題轉譯成為心理表徵，此時所使用到的知識需要大 量的語言；問題整合的階段，學生必須利用一連串的基模，將問題敘述組 合成數學表徵；進入問題解決階段後，採用策略性知識去擬定解題計畫且 必 須 選 好 適 當 的 解 題 策 略 ； 最後 用 程 序 性知 識 以 正 確 有 效 進 行 解 題 與 計 算。

因此， 大致上來說 ，在學生數學的解題歷程當中 ，教師若能了解學生 解題歷程中的問題，必能將在數學解題的教學過程中，可適時地將解題活 動融入日常生活中，以提升學生正面的數學態度，提高學生學習動機，另 外也要注意避免讓學生重複練習而忽略推理與思考的訓練。

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