第四章 結果與討論
第四節 教學及評量之省思與改進
過去的教學經驗中， 常見到學生在學習符號代表數的主題上， 遇到的 問題常是原本在國小所學習符號代表數就發生困難，學生的認知能力發展 有個別上的不同，有的同學不太能接受抽象的概念，需要花很多時間讓學 生了解及習慣。
一、研究結果與討論
研究者因某機緣之下，接觸到多元評量中另類評量的研習，因而觸發 想要改變自己在教學與評量的方式。
本研究在一元一次方程式單元中，依序在五個單元：1. 「符號代表數」、
2.「式子的化簡」、3.「式子的值」、4.「等量公理與移項法則」、5.「應用問 題」中，了解學生在一元一次方程式學習後，以 QUASAR 紙筆認知評量結 果 分析 學生 學習的困難與問題 。 資料分析的內容所使用的代號如表 4-4-1 所示：
表 4-4-1
資料分析所使用的代號及意義
代號 意義
R 研究者，即訪談者 S 學生
G 女生 B 男生
SG1-1 第 1 位女生在「符號代表數」的受訪內容 SG12-0 第 12 位女生在上課心得的受訪內容
SB5-4 第 5 位男生在「等量公理與移項法則」的受訪內容
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以下分別是研究結果與討論：
(一) 研究結果
1. 無法掌握整個題目的情境
[題目] 已知母親和女兒現在的年齡和為 47 歲，若 7 年前母親的 年齡為女兒的 10 倍，則母親、女兒現年各幾歲？
[訪談內容]
R：請問你錯在哪裡
SB19-5：我錯在語文能力不足 R：你可以說得更詳細一點嗎
SB19-5：就是呢，七年前的母親年齡為女兒的 10 倍我只知道我只 算母親的年齡沒算到女兒的年齡
問題中「母親和女兒現在的年齡和為 47 歲 ，若 7 年前母親的 年齡為女兒的 10 倍」，學生 SB19 無法正確看到題目中的關鍵句子，
以致於無法掌握紙個題目的情境 。 2. 移項法則的錯誤觀念：
[題目] −7x + 8 = 5x − 22 [訪談內容]
R：這裡這一題其實你做錯，那你現在你看的到你做錯的地方嗎？
這個單元是等量公理與移項法則 ，那你知不知道你寫錯哪裡?
SG3-4：他應該就是要………嗯 ……
R：你說應該要寫甚麼?
SG3-4：就是多少 x 等於多少……
R：所以現在這個式子應該要改成甚麼?
SG3-4：這個式子就…-12x=-30
R：所以你少寫一個等於，你剛剛說-12x=-30 是最後的答案嗎 SG3-4：不是
R：所以最後的答案應該是甚麼?
SG3-4：2x=5 -2x=-5 R：所以 x 等於..
SG3-4：5
R：最後的答案等於甚麼 SG3-4：x=5
R：你要不要再算一次 SG3-4：x=
在本題中，學生 SG3 誤認為移項法則後 ， 一元一次方程式的
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解仍然是一次式。最後訪談時才正確的將 方程式中
x 的解計算出
來。3. 錯誤利用乘法分配律作去括號的動作
此為受試者 SB20 的錯誤概念，在本題第二項中的-3 沒有做正 確去括號的動作。
[題目] 2( − 3) − 3( − 1) =?
[訪談內容]
R：錯哪裡？…括弧外面的數字有沒有乘對 ? SB20-3：有阿
R：…應該怎麼乘，有怎麼乘?
SB20-3：就這樣乘……
R：後面第二項呢，-3 乘括弧裡面要怎麼乘 ，-3 乘 等於多少?
SB20-3：我看一下……，-2 R：你有 的 3 是不是跟-3 約分?
SB20-3：對 R：然後呢?
SB20-3：那就約分就沒有啦!
R：-2 SB20-3：對
R：後面那一項要乘-3 嗎?
SB20-3：不用
R：可是他有括弧，所以要不要乘?
SB20-3：要
在本題中受試者認為第二項的 −3( x − 1)在去括號時，只要乘以 ， 不需要再乘括號中的-1，以致於做出錯誤的答案。
4. 關於文字題中包含多個未知數時，容易對數學文字題產生錯誤 的解題。
受試者只知道要假設未知數，但不清楚要將未知數 x 假設為題 目中的糖果數或小朋友人數。
[題目] 老師將一帶糖果分給一群小朋友，若每人分 8 個，會剩下 7 個；若每人分 10 個，會不足 9 個，請問糖果有幾個？小朋友幾
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人？
[訪談內容]
SB26-5：這個沒有寫完啊
R：沒有寫完那你可不可以繼續說，這一題先把題目講出來，
SB26-5：老師將一袋糖果分給小朋友，若每人分 8 個會剩下 7 個，
若每人分 10 個會不足 9 個請問糖果有幾個小朋有有幾個 R：這一題應該怎麼算
SB26-5：就先算糖果有幾個小朋友有幾個 R：你要假設誰是 x
SB26-5：糖果吧 R：假設糖果是 x SB26-5：對阿 R：然後呢
SB26-5：分 8 個剩下 7 個 R：所以你怎麼算
SB26-5：8x-7
R：為什麼要減 7 不是加 7 SB26-5：啊剩下啊
R：剩下是減還是加你現在算 8x-7 是 SB26-5：加是加
R：為什麼是加
SB26-5：啊……剩下就加啊
R：為什麼你剛剛說剩下是減現在又變成剩下是加 SB26-5：因為我剛剛看到下面是不足，不足的是減
R：你覺得不足是減但是實際上為什麼要寫加，你是在算人數還是 糖果數?
SB26-5：糖果數
R：你用糖果數來假設 x，那 8 個人 1 個人拿 x 個糖果，8 個人總 共拿幾顆糖果?
SB26-5：8x 啊
R：那剩下 7 個要加 7 還是減 7?
SB26-5：加 7 吧?!
R：為什麼要加 7?
SB26-5：啊…剩下啊，還有剩下 R：加 7 是算人數還是糖果數?
SB26-5：人數吧?!
R：所以你覺得這樣算對嗎?
SB26-5：對阿!
受試者在進行非例行性解題時 ，未看完題目便進行解題， 隨意找 題目中的未知數假設為 x， 在未能將題目轉譯下匆促寫下假設，
又不能依題意列式，因而題目沒有算出正確答案。
5. 進行 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量有助於學生解題，並協 助同學自我調整。
[訪談內容]
R：請問老師在進行一元一次方程式教學的時候有不一樣，你覺得 對你有甚麼幫助？
SG12-0：嗯…我覺得…就是看題目會..比較快
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R：看題目會比較快，然後因為評分的方法也不同，所以你覺得 0 到 100 分評分還是 1 到 5 分評分兩種方式來講，你比較喜歡哪一 種？
SG12-0：我覺得 1 到 5 吧！
R：為什麼？
SG12-0：就是不會有真正分數的壓力吧！
R：題目有分層次嘛，1 到 5 分時，你會想要拿到比較多分嗎？
SG12-0：還好
R： 就是會努力想要努力盡量寫寫看，想要拿到比較高分嗎？
SG12-0：還好。
R： 原因是…..
SG12-0： 就看一看寫一寫就好啦
R： 第二題就是說經過兩次的考試，一分小卷一份大卷，對你在 寫題目的時候有沒有甚麼幫助？ 第二次是可以看到大家的寫法對 不對，第二次對你有沒有幫助
SG12-0：就是..看別人錯的話..就是..會可以..就..
R：可以看到別人錯的地方，然後呢?
SG12-0：然後..就是..恩..自己寫成對的那樣……
R： 自己寫的比較出來，有沒有讓你覺得對數學比較有信心。
R：那你看題目的時候你可不可以盡量把不會的地方仔細的看一 遍?
SG12-0：可以啊!
R： 也就是說我們如果改成 1 到 5 分那你可以把本來不會的題目 可得更仔細一點?
SG12-0：嗯!
R：會想要看更仔細一點。
SG12-0：嗯!
R： 有沒有想要可能想要再努力一點?
SG12-0：可以吧!
受訪者認為當研究者調整修正上課方式以及改變評量的方法，對 受試者很有幫助，並且表示在 QUASAR 紙筆認知評量中，喜歡評 分方法為 1-5 分，會願意再努力盡量把自己知道的寫出來。另外 在複式評量中，可以看到其他同學的寫法 ，對自己也有幫助，並 且讓受試者本身有想要再努力一點。
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二、討論
本研究主要結合 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量對於國中學生數學 學習影響之探討，茲就上述研究結果，進行分析與討論。
（一） 一元一次方程式 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量之分析 根據上述研究結果顯示，對於一元一次方程式中的五個主題：「符 號代表數」、「式子的值」、「式子的化簡」、「等量公理與移項法則」、「應用 問題」，進行 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量，發現大部分的學生對於 一元一次方程式的單元之說理與解題有進步。
本研究中發現學生在處理括號的分配律、未知數與數字加乘使用混淆、
錯誤合併同類項等等，均是學生在學習一元一次方程式時的迷思概念。
郭汾派（ 1988）研究結果發現學生解題時的六項錯誤形態有： 帶分數 迷思、係數和文字錯誤的分開計算、錯誤合併不同類項、使用錯誤的乘法 分配律、忽略題目給定的訊息以及錯誤認知文字符號不為負數等六項。
本研究亦發現學生在計算有關帶分數式子的化簡、式子的四則運算中，
容易發生錯誤；另外也有係數和文字錯誤的分開計算、使用錯誤的乘法分 配律等錯誤的迷思概念。
陳創義、 洪有情 （2003） 的研究中顯示， 發現學生常在一元一次方程 式的學習中，常見的錯誤概念： 數字與符號的加與乘錯誤混用、學生從學 習算術的舊經驗認為相加就是要求出一個數或只有一項的答案、數字與文 字分開運算,且忽略係數 1。
故學生對文字符號的認知 ，如果只是停留在具體階段， 雖然可以解決 簡單的問題，但是若遇到較為複雜問題時 ，則往往沒有辦法適當的使用文 字符號，因此形成了解題的困難與概念的迷思。
Wollman（1983）研究結果發現，造成學生轉譯錯誤的可能是問題做的 太快、列完方程式沒有立即檢驗 、未根據問題的意思列式、或者學生甚至 未使用文字符號來列式。發現其實要求學生花幾分鐘時間，從句子意義的 了解來列式並檢驗方程式，學生幾乎都可以成功的解決問題。很多學生在 解文字題時，會發生做假設是一回事，列式子又是一回事，兩者無法連貫
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（張景媛，1994）。
本研究亦發現 ，計算能力較差的學生在解文字題時，所遇到的第一個 困難就是閱讀題目後，仍對題目的文意不清楚，更不用進行解題步驟的分 析或是檢查。而這也是大部分的教師在現場教學時，所經常遇到的教學困 難。
綜合以上發現在一元一次方程式中的五個主題：「符號代表數」、「式子 的值」、「式子的化簡」、「等量公理與移項法則」、「應用問題」，進行 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量後，大部分的學生對於一元一次方程式的單元之 說理與解題有進步。此外，學生在處理括號的分配律、未知數與數字加乘 使用混淆、錯誤合併同類項等等 ，均是學生在學習一元一次方程式時的迷 思概念。學生對文字符號的認知 ，如果只是停留在具體階段，雖然可以解 決簡單的問題，但是若遇到較為複雜問題時，則往往沒有辦法適當的使用 文字符號，因此形成了解題的困難與概念的迷思。文字題的部分，教師可 以在講解時，多以引導問答的方式，讓學生有時間去思考句子的意義，學
綜合以上發現在一元一次方程式中的五個主題：「符號代表數」、「式子 的值」、「式子的化簡」、「等量公理與移項法則」、「應用問題」，進行 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量後，大部分的學生對於一元一次方程式的單元之 說理與解題有進步。此外，學生在處理括號的分配律、未知數與數字加乘 使用混淆、錯誤合併同類項等等 ，均是學生在學習一元一次方程式時的迷 思概念。學生對文字符號的認知 ，如果只是停留在具體階段，雖然可以解 決簡單的問題，但是若遇到較為複雜問題時，則往往沒有辦法適當的使用 文字符號，因此形成了解題的困難與概念的迷思。文字題的部分，教師可 以在講解時，多以引導問答的方式，讓學生有時間去思考句子的意義，學