QUASAR 紙筆認知評量實施結果

本節說明實施 QUASAR 紙筆認知評量的內容及呈現。評量的內容 包含符號代表數、式子的值、式子的化簡 、等量公理與移項法則、應 用問題等五種題型，每一個題型分別選擇 2 至 3 題進行評量。

表 4-2-1

QUASAR 紙筆認知評量試題

主題 試題內容

符號代表數 1

1 2) ( 5 

 x

符號代表數 2 ^{) 2}

2

( 1  y 

式子的值 1 當 ^{x  5} 時，12 x  9  ?

式子的值 2 ^?

6 1 14 3 15  

 x

x 時，

當

式子的化簡 1 3x79x11?

式子的化簡 2

? ) 3 1 (2 3 ) 2 3 (

2 x   x 

等量公理與移項法則 1 6x33x12 等量公理與移項法則 2 7x8 5x 22

（續下頁）

48

主題 試題內容

應用問題 1

（以文字符號列 式）

如圖，長方形的周長是多少公分？

應用問題 2

（以文字符號列 式）

一臺PS4定價 x元，老闆清倉大拍賣時以定價打八五 折出售 ，則 阿忠拿 4000元買了一臺 PS4， 可找多少 元？

應用問題 3 已知母親和女兒現在的年齡和為 47 歲，若 7 年前 母親的年齡為女兒的 10 倍，則母親、 女兒現年各 幾歲？

應用問題 4 老師將一袋糖果分給一群小朋友，若每人分 8 個 ， 會剩下 7 個；若每人分 10 個，會不足 9 個 ，請問 糖果有幾個?小朋友幾人?

根據表 3-3-1 一元一次方程式雙項細目表，並和三位資深教師共同討論 後，編製試題內容，如附錄一。在試卷上方增加 QUASAR 紙筆認知評量的 規準，目的是讓學生們留下空白沒有文字或圖形說明的可能性降低，將算 式直接翻譯成文字或說理簡略的情形增加 ，並且更可以得知學生學習的狀 態。

49

評量的題型共有五種，本文從學生之解題說理和解題類型的兩個向度進行 分析，並進行解題式例萃取，以便再次進行複式評量。

一、 學生之解題與說理表現分析

依照主題針對學生說理解題的部分進行整體分析，並對於解題正 確者之說理表現進行分析。分析說明如下 ：

（一） 符號代表數的部分

在教室中進行 「 符號代表數 」 之教學 ， 引 導學生透過教學 ， 理解並運用符號代表數， 再以紙筆方式實施評量 。學生之評量表現如 表 4-2-2：

表 4-2-2

符號代表數之評量表現

解題答案 解題說理 Level 1-5 人數

正確 錯誤 5 4 3 2 1 0 合計

符號代表數 1 25 5 9 2 11 3 3 2 30 符號代表數 2 24 6 14 1 6 3 3 3 30 合計 49 11 23 3 17 6 6 5 60 人數百分比 82% 18% 38% 5% 29% 10% 10% 8% 100%

由表 4-2-2 得知「符號代表數」之學生整體評量表現為正確解題 82%，

錯誤解題 18%。由表 4-2-3 可知，說理解題表現至 Level 5 及 Level 4 的學生，

占了全部學生的 43%。有 29%的學生為 Level 3，故有 29%的學生對於「符 號代表數」說理解題的作答方式比較無法完整作答；換句話說，這些學生 實際上能正確解題，但是說理能力還需加強。

50

（二） 式子的值

在教室中進行「式子的值」之教學，引導學生透過教學，理 解並運用符號代表數，再以紙筆方式實施評量。學生之評量表現 如表 4-2-3：

表 4-2-3

式子的值之評量表現

解題答案 解題說理 Level 1-5 人數

正確 錯誤 5 4 3 2 1 0 合計 式子的值 1 26 4 6 7 6 7 2 2 30 式子的值 2 19 11 6 3 7 10 3 1 30 合計 45 15 12 10 13 17 5 3 60 人數百分比 75% 25% 20% 17% 22% 28% 8% 5% 100%

由表 4-2-3 得知「式子的值 」之學生整體評量表現為正確解題 75%，

錯誤解題 25%。由表 4-2-4 可知，本主題說理解題表現達 Level 5 及 Level 4 的學生，占了全部學生的 37%。有 22%的學生為 Level 3，故有 22%

的學生對於「式子的值」說理解題的作答方式比較無法完整作答；換 句話說，這些學生實際上能正確解題，但是說理能力還需加強。

(三) 式子的化簡

在教室中進行之 「 式子的化簡 」 教 學 ， 引 導學生透過教學 ， 理解並運用符號代表數 ， 再以紙筆方式實施評量 。 學生之評量表 現如表 4-2-4：

表 4-2-4

式子的化簡之評量表現

解題答案 解題說理 Level 1-5 人數

正確 錯誤 5 4 3 2 1 0 合計

式子的化簡 1 24 9 13 6 8 2 1 0 30 式子的化簡 2 22 8 5 4 9 7 2 3 30 合計 46 17 18 10 17 9 3 3 60 人數百分比 77% 40% 30% 17% 28% 15% 5% 5% ^100%

51

由表 4-2-4 得知「式子的化簡」之整體評量表現為正確解題 77%，

錯誤解題 40%。本主題說理解題表現達 Level 5 及 Level 4 的學生，占 了全部學生的 47%。有 28%的學生為 Level 3，故有 28%的學生對於「式 子的化簡」說理解題的作答方式比較無法完整作答；換句話說，這些 學生實際上能正確解題，但是說理能力還需加強。

(四) 等量公理與移項法則

在教室中進行 「 等量公理與移項法 則 」 之 教學 ， 引導學生透 過教學 ， 理解並運用符號代表數 ，再以紙筆方式實施評量 。學生 之評量表現如表 4-2-5：

表 4-2-5

等量公理與移項法則之評量表現

解題答案 解題說理 Level 1-5 人數 正確 錯誤 5 4 3 2 1 合計 等量公理與移項法則 1 27 3 15 3 6 5 1 30 等量公理與移項法則 2 25 5 6 4 9 10 2 30 合計 52 8 21 7 15 15 2 60 人數百分比 87% 13% 35% 12% 25% 25% 3% 100%

由表 4-2-5 得知「等量公理與移項法則」 之整體評量表現為正確 解題 87%，錯誤解題 13%。本主題說理解題表現達 Level 5 及 Level 4 的學生，占了全部學生的 47%。有 25%的學生為 Level 3，故有 25%的 學生對於「等量公理與移項法則」說理解題的作答方式比較無法完整 作答；換句話說，這些學生實際上能正確解題，但是說理能力還需加 強。

52

(五) 應用問題

在教室中進行 「 應用問題 」 之教學 ， 引導 學生透過教學 ， 理 解並運用符號代表數 ， 再以紙筆方式實施評量 。 學生之評量表現 如表 4-2-6：

表 4-2-6

應用問題之評量表現

解題 解題說理 Level 1-5 人數

正確 錯誤 5 4 3 2 1 0 合計 應用問題 1 23 7 13 7 3 9 0 4 30 應用問題 2 29 1 10 9 5 5 0 1 30 應用問題 3 18 12 5 7 3 8 3 4 30 應用問題 4 19 12 1 8 6 7 2 6 30 合計 89 31 29 31 16 31 5 5 120 人數百分比 74% 26% 24% 26% 13% 26% 4% 13% 100%

由表 4-2-6 得知「應用問題 」之整體評量表現為正確解題 74%，錯 誤解題 26%。本主題說理解題表現達 Level 5 及 Level 4 的學生，占了 全部學生的 50%。有 13%的學生為 Level 3，故有 13%的學生對於「應 用問題」說理解題的作答方式比較無法完整作答；換句話說，這些學 生實際上能正確解題，但是說理能力還需加強。

二、 學生之解題類型分析

此次評量內容有「符號代表數」、「式子的化簡」、「式子的值」、「等 量公理與移項法則」 和 「應用問題 」 等五種類型 。除了 「 應用問題 」 以外，每一種類型均有 2 題至 3 題；「應用問題」中，還分為以「文 字符號列式」、「餘有不足」及「周長與面積 」的相關觀念之題目。將 學生解題類型分析和式例萃取， 歸納如下 ：

53

54

55

(三) 式子的值之解題類型分析

1. 式子的值第一題題目：當 ^{x  5} 時，12x9?

表 4-2-9

式子的值第一題之解類型分析

解題類型分析 Level 1-5 人數 5 4 3 2 1 0 正

確 答 案

類 型 一

51 9 -5 12

9 12 5









 x

x 時，

當 6 7 6 7 0 2

錯 誤 答 案

類 型 一

x x 51

9 5 12 9 12









 0 0 0 0 2 0

學生答案正確的解題類型有 1 種，學生錯誤答案的解題類型 有 1 種。如表，其中使用第 1 種類型的學生最多，採用這種解題 說理的學生多能清楚說明，但仍有 12 位學生不太會說理，有 2 位 學生放棄作答。

錯誤答案類型一：學生的錯誤在於最後答案又多乘以 x 正確答案類型一：答案正確的同學都將 5 帶入式子裡計算出 最後的結果 51

56

57

58

59

算為2 x  6 ，乘法的分配律不熟悉或是計算錯誤；錯誤答案類型二：

學生發生錯誤在步驟 1 第一項約分錯誤， 又在步驟 2 中沒有同類項合 併；錯誤答案類型三：學生在步驟 1 中第 2 次的乘法分配律發生錯誤；

錯誤答案類型四：學生在步驟 1 中第 2 次的乘法分配律發生錯誤，且 沒有完整將式子化簡；正確答案類型一： 作答正確的同學均採用這類 型的解題方法

(五) 等量公理與移項法則之解題類型分析 1. 等量公理與移項法則第一題解類型分析

等量公理與移項法則第一題題目 ： ^{6x 33x12} 表 4-2-13

等量公理與移項法則第一題之解類型分析

解題類型分析 Level 1-5 人數

5 4 3 2 1 0 正

確 答 案

類 型

一 ₅ 15 3

3 12 3

6

12 3 3 6























x x

x x

x x

15 3 6 3 0 0

（續下頁）

60

61

62

概念，但將

12

20

x 並未約分；錯誤答案類型二：學生錯誤類型在於 學生在步驟 1 多寫等號，但有等量公理與移項法則的概念；錯誤 答案類型三：學生在步驟 1 多寫等號，但有等量公理與移項法則 的概念，步驟 3 時同除以 3 後，誤將答案計算成x10；錯誤答案 類型四：學生誤將12x30作為最後解答；錯誤答案類型五：錯 誤發生在步驟 1 雖然有移項法則的概念， 但是誤將一元一次方程 式與一次式觀念混淆

正確答案類型一：作答正確的同學均採用這兩類型的解題方 法。

(六) 應用問題之解題類型分析

1. 應用問題第一題解題類型分析 應用問題第一題題目：

如圖，長方形的周長是多少公分 ？

表 4-2-15

應用問題第一題解題類型分析

解題類型分析 Level 1-5 人數

5 4 3 2 1 0 正

確 答 案

類 型

一 ^{10 10}

2 ) 5 5 (

2 ) 7 2 2 3 (



















y y

y y

6 3 3 4 0 0

（續下頁）

63

64

2. 應用問題第二題解題類型分析

應用問題第二題題目：一臺 PS4 定價 x 元 ，老闆清倉大拍 賣時以定價打八五折出售，則阿忠拿 4000 元買了一臺 PS4，可 找多少元？

表 4-2-16

應用問題第二題解題類型分析

解題類型分析 Level 1-5 人數 5 4 3 2 1 0 正

確 答 案

類 型

一 ^x

x

100 4000 85

100) ( 85 4000









10 9 5 5 0 1

應用問題第一題中，學生答案正確的解題類型有 1 種，沒有 學生 坐錯誤答案的解題。但仍有 10 位學生不太會說理，有 1 位學生放棄作 答。

正確答案類型一：學生均能理解題目，並用未知數列式。

3. 應用問題第三題解題類型分析

應用問題第三題題目：已知母親和女兒現在的年齡和為 47 歲，若 7 年前母親的年齡為女兒的 10 倍，則母親、女兒現年各 幾歲？

65

66

67

應用問題第四題中，學生答案正確的解題類型有種，學生錯誤答案的解題 類型有種。如下表，其中使用第種類型的學生最多，採用這種解題說理的 學生多能清楚說明，但仍有位學生不太會說理，有位學生不太會說理，有 位學生放棄作答。

錯誤答案類型一： 學生的錯誤在於未知數與解題方法不同； 錯誤 答案類型二： 學生進行移項法則時發生錯誤；錯誤答案類型三 ：學生 未知數假設與解題方向不同，移項法則錯誤；錯誤答案類型四 ：未知 數假設正確，但題目轉譯錯誤。

正確答案類型一：假設未知數為人，做正確表徵列式；正確答案 類型二：假設未知數為糖果數， 做正確表 徵列式。

68

在文檔中 結合 QUASAR 紙筆認知評量與複式評量 對於國中學生數學學習之行動研究 (頁 60-81)