第四章 結果與討論
第一節 一元一次方程式教學歷程與展現
學生學習解題的過程，需要的不只是模仿老師課堂中所給的解題方法，
真正的學習是學生能有自己思考的能力； 迅速且正確的模仿解題方法，對 學生而言並不是真正的學習。而在一元一次方程式的學習過程中，正是需 要教師鼓勵學生去練習思考的時候，學生因恰好初步進七年級的學習領域，
雖然對於用符號代表數的部分比較熟悉， 但是在抽象的代數部分卻是才初 步學習，故在教學前的準備階段 ，研究者需要重新整理並理解教學目標及 思考讓學生如何能了解題意、蒐集題目中解題的資訊、建立解題思考路徑、
進行解題，最後檢核答案是否正確合理。
一、教學前之準備
(一) 教學前的困擾算術是在處理具體的數 字 ，而代數則是在處理抽象的數 。 而在上 這個單元以前 ，學生並未正式學習到「 式子」、「方程式」這些名稱 ， 對學生來說，可能會不太瞭解甚麼是「 式子 」、「方程式」?怎麼向學生 介紹「式子」、「方程式」?如何恰當的向學生說明運用等量公理去理解 移項法則?這是我在看到本單元時， 覺得困擾的問題。
研究者在進行本單元教學前，對於自己過往教學時所遭遇的困擾做
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一次的整理，重新檢視本單元的能力指標 ，可以看出以下幾點教學目 標：
1. 符號代表數方面
(1) 練習以 x、y 等符號記錄生活情境中的簡易數學式子。
(2) 理解如何簡記式子方式。
(3) 利用 x 代表一個未知數量，並用 x 的一次式表達和此未知 數量的關係。
2. 計算式子的值、式子的化簡方面
(1)利用一個符號表徵列式，並依符號所代表的數求出算式的 值。
(2) 讓學生可以理解一元一次式及項的意義 。
(3) 讓學生能將算式中相同的文字符號、常數進行化簡或合 併。
(4) 使學生理解並學會運用符號表徵做交換律、結合律、分配 律的運算。
3. 等量公理與移項法則的部分
(1) 讓學生了解一元一次方程式的意義，並將生活情境的問題 用一元一次方程式表達問題。
(2) 使學生學會以代入法或列舉法求出一元一次方程式的 解。
(3) 理解等量公理「等式的左右兩邊同時加、減、乘、除以一 個數（除數不為 0）時，等式仍然成立」的概念。
(4) 運用等量公理的概念能理解移項法則，並發現兩者之中的 關係。
(5) 使學生能利用等量公理或移項法則解一元一次方程式，並 作驗算。
4. 應用問題的部分
(1) 由應用問題的情境中，能適當的假設未知數，並依題意列
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出一元一次方程式。
(2) 利用一元一次方程式解決生活情境中的問題，並描述其解 的意義及判斷解的合理性。
因學生在國小五年級時， 已經先學習到「用符號代表數 」、「怎樣 解題」這兩個部份，在國中三年的階段七年級的部分將應該學習到「以 符號代表數」、「求式子的值 」、「式子的化簡」、「利用等量公理解一元 一次方程式」、「利用移項法則解一元一次方程式」、「應用問題並批判 合理性」，在八年級的部分將學習到「二元一次聯立方程式」、「一元一 次不等式」、「一元二次方程式」。故在七年級所學的一元一次方程式，
將是學生進入八年級學習內容重要的基礎 之一。 而「以符號代表數」
的小節而言， 學生常較能迅速學習吸收 ， 但是在 「式子的化簡 」中，
學生常因計算技巧與能力不足， 而有學習上的挫敗感， 另外在 「等量 公理與移項法則」，學生則常因解題作答粗心或是練習不足，而產生錯 誤解答 。在「 文字問題」 方面， 學生常因不能理解文字題的敘述，而 放棄解題。
所以若能在教學活動中，利用 QUASAR 紙筆認知評量方式，明確 告訴學生評量規準， 或許可以提高學生解題作答的意願 ，降低學生考 卷 上 留 下 空 白 未 作 答 的 可 能 ， 更 可 以 提 供 教 學 者 作 為 了 解 學 生 的 學 習。
(二) 教學前的準備
在重新檢視教學目標後，心中擬定教學策略來解決教學前的煩 惱。
1. 選用 Mayer 解題歷程引導學生處理抽象的數並學習解題
國小階段已經教過使用「（）、□、x、y」等符號代表數的列式 與解題 ，但是還是有很多學生在這部分的學習有困難 ，再加上學 生個體所發展的認知能力有所差異 ，所能接受抽象概念的程度也 不盡相同， 因此需要慢慢讓學生了解與習慣使用文字符號代表數 的相關概念。
Mayer 解題歷程中，認為數學解題歷程分為問題表徵以及問題
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解決兩大部分， 其中問題表徵又包含兩個子步驟 ，問題的轉譯與 問題整合。 另外在問題解決的部分 ，也分為兩個子步驟， 解答的 計畫與 監控 、解答的實施 。學生在遇到解題困難時， 首先必須要 瞭解問題的陳述 ，進而找出相關問題之式的連結 ，嘗試表徵此問 題的模式，最後根據這個表徵而推出結果 。
因此 ， 在一元一次方程式的教學活動中 ， 將五個部份的教學 活動運用 Mayer 所主張的數學解題歷程， 強調將問題轉譯成內在 的心理表徵 ，在轉譯的過程中 ，需要引導學生知道問題的語句間 關係與結構 ，並整合基模知識 ，區分出問題的類型後 ，再要求學 生將問題的陳述，組成連貫的表徵，得以順利解題。
2. 分析學生解題類型
郭汾派（1988）發現國中生在文字符號概念的主要錯誤形態中，
學生常誤將係數和文字分別處理 、 錯誤合併同類項 ，並且常將文 字符號錯誤認知不為負數等等的錯誤類型。 另外 ， 陳創義 、 洪有 情 （ 2003） 研究青少年代數運算概念發展 中 ， 發現學生會錯誤處 理有括號的分配律問題 、 數字與符號的加、 乘作錯誤的混用 、 逆 向思考對學生來說比較困難 、當代表符號當作是變數及把文字符 號代換時，對學生而言比較困難 。
瞭解過去研究結果的錯誤形態後 ， 依照教 學活動的程序進行 教學 ， 並結合教學與評量的活動流程， 以獲得學生學習的過程及 解題的方法。
二、 教學活動與發現
首先，在「式子的運算」部分，我先將 7x 稱為 x 的 7 倍，如此可 以幫助學生理解；另外，用 3÷5＝
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3的方式，說明 x÷8＝
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x；且－x 可
看作是 x 的相反數。本單元一開始要讓學生習慣符號代表數的抽象概 念，在熟練之後再進行「 ×」號的省略，並提醒同學式子的化簡，還是 要遵守先乘除後加減的運算規則 。
剛開始說明式子的基本運算及概念時，同學都覺得很容易上手，
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但是計算練習多次後 ，已經熟練的學生覺得有些單調 ，但都能完 成。(省思 102.12.4)
今天讓學生在黑板上練習式子的基本運算 ，發現有一些學生會指 責在台上的同學錯誤的表現， 但是我告訴其他坐在台下的同學，
黑板上所做錯的步驟 ，有時候也可能會是自己粗心的錯誤 ，大家 應該要小心 ，而不是指責或嘲笑同學。說畢，我感覺 到學生有一 些 若 有 所 悟 ， 他 們 便 收 起 玩 笑 心 態 ， 認 真 上 課 了 起 來 。 ( 省 思 102.12.5)
在進入使用符號列式的練習時 ，我先用一個已知的數讓學生熟悉 題目中的數量關係，再引入未知量來列式 。
「以符號代表數 」進行時 ，發現學生在簡單敘述的題目中多能清 楚列式，但是在正方形周長換算成邊長或年齡換算的逆向運算時，
則需要多一些時間解題。 (省思 102.12.6)
「式子的值」教學的部分，我將「8x－9」讀作「x 的 8 倍再減 9」，
等學生較為熟練後，再讀成「 8x 減 9」，如此一來，對於中下程度的學 生將 x＝12 代入時，比較不會產生問題；並提醒同學當 x 的值已知時，
算式的值也跟著確定。
「式子的值 」教學中 ，大部分的學生在概念簡單的題目， 例如：
x = 2, 5x + 7 =? 這樣的題目都會計算出正確的答案 ， 但是發現學 生若遇到以表格的方式填入各式子所代表的值時 ，初始會不明白 表格中所代表的意義。(省思 102.12.9)
「 式子的化簡 」中 ， 我先介紹一元一次式的意義 ，並舉例說明 。 在解說「 項」 的部分時，則告訴同學式子中被「＋」、「－」區隔的，
都稱作是「項」。例如：12x－8，其中共有兩項，分別是 12x 和－8（或 8）；另外在「 同類項」的部分 ，則跟學生強調文字符號相同 、次數也 相同的項，稱為同類項。例如：7x、－9x 是同類項；3、－7 是同類項；
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另外在 「係數 」的部分 ，則向學生說明，在未知數前的數就是該 項的係數。例如：－33x 的係數就是－33。在進行「同類項合併」的說 明時，利用生活中的例子來說明 ：學校福利社裡的茶葉蛋一個 x 元，
阿華買 2 個，需要 2x 元；小宇買 1 個，需要 x 元。兩人共買 3 個茶葉 蛋，就需要 3x 元。
列式：2x＋ x＝ 2×x＋ 1×x＝（2＋ 1）×x＝3x
學生對於加 、乘混合運算 、去括號、 有分數的式子化簡， 例如：
− ，仍不熟練。學生需要多加練習。今天的教學花了很多 時間在這些練習，真希望低成就的學生們有聽懂上課內容。(省思 102.12.13)
進行 「 一元一次方程式 」時 ， 我先用列舉法及帶入法將一元一次 方程式的解帶著學生一一找出來。算術的處理是可以算出具體的數字，
而代數卻是處理抽象的數字，， 在這部分因是學生初次的學習 ，所以 我在這部分教學的速度放慢，讓學生能習慣並且理解。
今天花了一點時間介紹一元一次方程式的定義， 學生 ”感覺上”
好像有聽懂，課本裡前 2 題例題在課堂講解時進行得很順利。今 天進度進行得很快，可以講解到等量公理 。(省思 102.12.16)
「 等量公理與移項法則 」中 ， 教科書採用天平的圖形分別說明等 量公理的加減乘除運算方法，說明上較為具體， 學生也較容易理解。
但是在引用等量公理作一元一次方程式求解時， 我在向學生說明時，
除了強調目的是要求出方程式中的未知數 x 的值，以外，每一個解題 的步驟都要說明詳細 ，並且強調運算時 ， 注意等號的左式＝右式，以 維持天平也就是等號的平衡。等待學生完全理解如何藉由利用等量公 理求一元一次方程式解的方法時 ，再帶學生觀察運算過程，以引導學
除了強調目的是要求出方程式中的未知數 x 的值，以外，每一個解題 的步驟都要說明詳細 ，並且強調運算時 ， 注意等號的左式＝右式，以 維持天平也就是等號的平衡。等待學生完全理解如何藉由利用等量公 理求一元一次方程式解的方法時 ，再帶學生觀察運算過程，以引導學