第四章 研究結果與討論
第二節 「三垂線定理與二面角」課程試做
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參、課程的總體性省思
透過學生的學習回饋單與課後作業練習可以看到學生在本次課 程的學習過程中，最大的收獲就是學到了一個新工具可以用來輔助繪 圖解題。有別於以往僅能紙上談兵，GGB 還可以讓學習者自行操作，
並且以動態觀察刺激思考解題。
此外，研究者發現，先進行問答而不先把圖展示出來的好處是可 以讓學生進行小組討論與思考。而研究者在師生互動的過程中也發現，
教學者若能對學習者多一點提問，藉由互動所形成的學習共同體，明 顯有效提昇學生在學習的參與度。
針對初版與再版試做學生提出的疑慮，研究者認為學習工具的使 用其實是因人而異的，有些學生認為透過GGB 繪圖的確可以幫助學 習，但是對於自己本來就可以憑空繪圖的學生來說其實不盡然。相較 於傳統板書的教學方式，以電腦輔助學習的方式對學生而言是新奇的，
這樣的教學方式雖然不見得適用於每一個人，但是至少能帶給學生一 個新的刺激思考的方式，加深學生的學習印象。
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位置關係。經三位現職教師的建議後修改，將學習單中概念學習的部 份增加一些Q&A 的互動，希望能夠透過討論藉此消除學生學習本課 程概念常見的迷思。另外，在隨堂練習的部分，其中有一題難度偏高，
因此將其抽換至課後練習，僅供學生作為挑戰題。
二、課程試做的進行形式
本課程預計教學時間為 75 分鐘（1.5 節課），課程進行主要分為 三個部分。首先是檢討上週課程的課後練習，檢討的形式以問答為主，
倘若教學者已經確認學生沒有問題需要解惑時，教學者將以隨機抽問 的方式檢視學生的學習情形。第二個部分是以 GGB 輔助概念建構，
除了聽教學者講解之外，學生之間主要是以小組討論的設計型態，希 望學生可以藉由在互動的過程中，自行建構數學概念。而後半部分則 是隨堂練習，在這個階段，原則上教學者先以不干擾學生解題思維為 主，教學者主要是以引導的方式刺激學生共同討論並解題，於全數順 利解題完畢之後，教學者最後再下整體的課程結論。
三、課程學習內容的特性
與傳統板書的教學方式相比，本課程設計最大的不同之處是希望 能藉由動態軟體的輔助讓學生能夠觀察圖形的變化與特性。教學者於 本堂課中最重要的目標是要能夠引導學生們做圖形觀察與討論，並且 讓學生能自行建構其數學概念與意義。
本課程的單元重點有三：直線與平面垂直、三垂線定理以及二面 角。在講解概念的時候，教學者不需急著下課程結論，反而是先以引 導的方式讓學生進行迷思概念的討論。如圖4-5，教學者先開啟事先
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做好的圖檔，然後說明有一直線 L 垂直此平面，但不直接講出垂線的 定義，讓學生可以先透過操作圖檔做觀察。經學生熱烈討論後，教學 者再整理大家的想法並下結論，讓學生可以用此方式自行建立其數學 知識。
圖4-5 平面上的垂線
貳、課程的實施結果
一、教學教材之適切性
（一）課程進行形式（課堂觀察）
在「直線與平面垂直」概念的講解中，於初版試做在觀察附檔「平 面之垂線」時，有學生提問：「如果直線L 沒有垂直於 E 平面，那麼 角度不互相垂直的情況下，會不會造成三個交角都相等（1031104 錄、
1031104 札）？」這是一個教學者事先沒有預料到的提問，然而藉由 GGB 的繪圖輔助（如圖 4-6），可以直接以內建小工具測量該角度予 以學生做觀察，快速地幫了學生們解決這項疑惑。
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圖4-6 平面上之不是垂線
而再版試做的學生則認為此概念是以直覺學習思考，並無任何迷 思想法（1031212 錄）。
師：上一次試做時有同學提問：「如果直線L 沒有垂直於 E 平面，那麼角度 不互相垂直的情況下，會不會造成三個交角都相等？」（1031212 錄）
T4：直線L 就歪掉了，歪掉就沒有垂直啦！就只是都交於 P 點的四條直線。
（1031212 錄）
T5：我覺得它沒有很特別，就不會垂直啊＠＠（1031212 錄）
另外，在「三垂線定理」概念的講解中，於初版試做時，起初 教學者並沒有打算要講解其證明過程，單純只是想讓學生們觀察其圖 形特性（如圖4-7），僅以提示的方式要求學生於課後自行證明。然而，
其中有位學生反應比較快，當教學者提示完畢之後，馬上在心中有了 想法並且跟其他兩位同學做討論，於課堂上直接證明完畢（1031104 錄、1031104 札）。顯然，教學者無需侷限太多，讓學生有自行發揮 的空間，往往會有許多意想不到的驚喜結果。
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圖4-7 三垂線定理
T3：（動態旋轉附圖）這兩條線真的是垂直耶！為什麼？（1031104 錄）
T2：老師有畫輔助線啊！我猜用畢氏定理或許就可以證明了？（1031104 錄）
因此教學者於再版試做時，試著讓學生思考其證明，過程中發現，
雖然學生一開始會毫無頭緒，但是在教學者的引導下，再結合過去的 學習經驗（畢氏定理），的確是可以順利地完成此證明歷程（1031212 錄、1031212 札）。
（二）、學生對於課程內容的學習轉變（課後作業）
研究者在觀察本次的課後練習中發現，學生在練習有關三垂線定 理的相關題目時，總是能夠準確地立即判斷第三垂的位置（1031212 單），經研究者簡單訪談後瞭解到，學生們其實是對於課堂中操作三 垂線定理的動態圖檔有深刻的印象，以致於在練習時能夠有好的解題 方向（1031219 札）。
課後練習有三大題，研究者發現學生容易在第三題陷入膠著。經 瞭解後發現是因為無法理解圖形的樣貌（1031111 錄、1031219 錄），
除非以推理的方式去思考，否則很難從平面圖形上看出端倪。因此，
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教學者於課後作業檢討時，提示學生可開啟先前附加檔案中的圖形，
藉由動態觀察可以增加解題思維與策略（1031111 錄），如圖 4-9。透 過 GGB 軟體的輔助，學生可以清楚地觀察到正四面體與正八面體的 關係，讓學生於此課程概念的理解更上一層樓。
圖4-8 正四面體內嵌正八面體
二、學生對於課程之接受度（上課記錄、學習回饋單）
（一）有學生認為進班恐有難度
於初版試做時，有學生提出，他認為像這樣一對三的軟體輔助教 學很有效，但是如果要進班的話恐怕有其難度，即使課程做的再好，
恐怕也不是所有學生都會接受（1031104 錄）。他認為的理由如下：
1、電腦如果不控制畫面，學生的心很容易飛掉，教學者將不好掌握 課程的進行。
2、熟悉軟體操作倒還是小事，如何吸引學生課程專注力才是大事。
3、課程進度會不會因此延宕？
（二）有學生認為平面圖形容易造成解讀迷思
另外，在初版試做的結果中值得一提的是，有學生開始反應平面 圖形容易造成解讀上的迷思，如圖4-8。圖 4-8 是隨堂例題 1 的圖形。
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在圖形中，很容易會誤以為
KB ⊥ HF
是正確的，而KB⊥EG是錯誤的。然而簡單地推論後其實會發現，事實上是
KB ⊥ HF
是錯誤的，而 KB⊥EG是正確的，學生也可以實際透過 GGB 軟體作圖觀察，用內 建小工具測量角度證實此結論（1031104 錄、1031104 札）。圖4-9 正六面體圖形
T1：利用GGB 做動態輔助觀察，可以很快知道答案！而這次的課比上次容 易一點，不再那麼抽象，不過空間的圖形很容易誤導人…（1031104 單）
T2：可以旋轉GGB 看各個不同的角度，再進行分析與討論=))（1031104 單）
T3：有學到東西！而且每次舉日常事物都會令我更清楚。（1031104 單）
（三）有學生利用過去學習經驗幫助思考
同樣是圖 4-8 的圖形衍生題目，再版試做學生除了用 GGB 觀察 題型之外，也結合了過去的學習經驗，把圖形想像成有螞蟻在一個盒 子上面爬行，進而推理出題目所要求的答案（1031212 錄）。
T4：被騙了...把它想成國中常看到的螞蟻爬題型就好做多啦！（1031212 單）
T5：以前的我要是看到這些題目，應該會覺得...不想算 XD（1031212 單）
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參、課程的總體性省思
在本課程的試做後研究者認為，除了圖形需做修正以避免讓學生 有誤解題目之外，其他並沒有發現什麼特別的內容需要做修改。而在 教學的過程中，要特別注意的是，學生常常會有令人意想不到得迷思 概念，因此研究者認為，教學者除了要能夠隨機應變之外，可以事先 多揣摩學生的各種錯誤迷思，以避免在上課時造成雙方無法相互理解 的窘境。
關於有學生提出，這樣的教學方式若要進班恐有其難度。研究者 於課程設計時也有考慮到這些狀況，進度的部份倒是不需要太擔心，
因為課程設計包括時間的安排都是參考各家版本的教學進度所設計，
因此不太會有課程進度落後的問題。而學生學習專注力的部分，研究 者認為，這些情形其實在傳統教學的過程中也很常出現，因此教學是 否能進行順利，端看教學者與學生之間的互動與默契。
值得思考的是，以平面繪圖呈現空間中的概念測驗真的很容易有 陷阱，研究者不禁想問，這樣的出題方式真的適合用在空間教學及測 驗嗎？然而，試做之後，研究者認為從另一個角度思考，可以瞭解到，
其實這樣的出題方式可以考驗學生在圖形幾何上的推理能力，也算是 一個好的考試策略。