第四章 研究結果與討論
第五節 大班教學課程實施結果與討論
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參、課程的總體性省思
研究者在試做的過程中發現，學生的學習概念迷思往往比我們想 像中的嚴重程度還要大，因此研究者建議在下一次教學的時候，教學 者除了講解要清晰之外，整個概念的結構也要非常的清楚，以避免學 生在理解上有所誤解。
對高二的學生而言，空間坐標系是一個從未接觸過數學概念，因 此初學者容易在學習上出現迷思概念是可想而知的。而以動態幾何軟 體 GGB 輔助學習的優勢是，許多圖形可以在電腦螢幕上讓學生做動 態觀察，不需要費盡心思在腦海裡做抽象的想像。然而，研究者於此 要特別提醒的是，由於目前的考試仍然是以紙筆測驗為主，因此學生 在以 GGB 輔助理解圖形特性之後，教學者還是得帶領學生回歸到紙 筆形式，練習在平面上繪圖，動態幾何軟體於此僅能作為學習的輔助 工具。
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壹、「空間中的基本幾何概念」
一、課程進行形式之適切性（課堂觀察）
課程一開始，在學生熟悉軟體操作的部份所花費的總時數比研究 者原先預計的時間多出了一倍（1040128 札），研究者初步猜測原因 應該是上課人數比預期的多，加上師生之間是第一次認識，在沒有任 何默契與明確操作指令的情況下，學生會比較顯得不知所措。然而在 課程一進行到第二部分的時候，學生的學習漸入佳境，情況明顯改善 許多，唯有少數學生容易沉浸在 GGB 軟體中，雖不回應老師的各種 提問與互動，但在操作上也仍是持續朝引導方向前進（1040128 札）。
本課程的重要學習概念之一是「歪斜」。其實「歪斜」這個名詞 對初學者來說雖然陌生，但是「歪斜」的兩直線交會性質在生活中卻 處處可見。由於教學者已有先前的試做經驗，瞭解到先進行問答而不 展示圖檔的教學優勢，藉由提問可以刺激學生的圖形想像，進一步再 讓學生自行思考其定義。因此，在本次課程中，教學者同樣也得到許 多有創意的回應（1040128 札），茲將對話（1040128 錄）整理如下。
師：想想看，生活上看過哪些情形是歪斜（用手指比出歪斜）？
小帥：高速公路！
小音：兩支手電筒朝不同方向照出來的光線，而且要錯開，不可以疊在一起。
小孟：眼睛脫窗的時候（全班大笑）！
師：大家打開圖檔觀察一下，你們會如何向同學說明「歪斜」的幾何意義？
小帥：錯開的兩條直線但不是平行。
小雄：在互為平行的兩平面上，畫出的任意兩條不平行的直線，就是歪斜。
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本課程的重要學習概念之二是「三面交會情形」。教學者於先前 試做經驗中瞭解到，要求學生憑空想像進而完整說出共八個分類是一 件不容易的事情，因此教學者得先明確引導學生作圖思考。一開始大 家都是安靜的，經教學者不斷引導刺激後才陸續有學生回應（1040128 札）。圖4-15 為研究者蒐集學生畫的八種「三面交會情形」。
(1) 三面交於一點 (2) 三面交於一線
(3) 三面重疊 (4) 兩面重疊交一直線於第三面
(5) 三面相互平行 (6) 兩平面平行與第三面各交一直線
(7) 兩重疊且平行於第三面 (8) 兩兩交於一線
圖4-15 八種三面交會分類情形
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二、學生對於課程之反應（上課記錄、問卷回饋）
從問卷中的回應來看，可將大家印象較為深刻的學習概念分為五 類：加強空間概念（點線面）、立體圖形模擬、歪斜、面與面交會情 形與其他（1040128 卷）。整體而言，大部分的學生認為，透過 GGB 的確有助於了解此單元的概念學習，尤其是在加強空間概念（點線面）
的部份覺得很有幫助，茲將整理如表4-1。
表4-1 學生對於課程一的學習印象
課程一 有幫助(42/48) 沒有幫助(6/48)
概念 類型
加強空間概念
（點線面）
立體圖
形模擬 歪斜 面與面
交會情形 其他 聽不懂 其他
總人數 15 7 7 5 8 1 5
呼應先前試做結果可以瞭解到，藉由 GGB 軟體的輔助教學可以 增加學生對於空間中點線面概念的結構。此外，由於課程是讓學生自 行操作軟體，因此也增加了學生在課程上的參與度，顯得更願意投入 學習。
另外，研究者於大班教學的觀察中發現，如同先前試做的學生所 述，大班教學的缺點就是：因為人多，教學者無法在課堂上滿足每位 學生的學習需求，因此常常會忽略掉少數學生的學習權益。
S7： 透過 GGB 有助於加強我對空間中的抽象圖形概念以及對於形狀理解的 判斷力。（1040128 卷）
S35：透過 GGB 有助於空間上直線與立體圖形的計算，並且可以尋找垂直關 係，從另一個角度看圖形。（1040128 卷）
S42：透過 GGB 有助理解歪斜與三平面在空間中的關係。（1040128 卷）
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S1：透過 GGB 有助於觀察三平面的八種相交情形。（1040128 卷）
S16：透過 GGB 有助於釐清一些中文敘述的題目。（1040128 卷）
貳、「三垂線定理與二面角」
一、課程進行形式之適切性（課堂觀察）
在先前試做結果中發現，學生對於「直線與平面垂直」概念的理 解，常常會有一些教學者意想不到的迷思（1040128 札）。因此，在 此次概念的講解中，教學者僅先提問，試圖引導學生讓他們自行操作 GGB 觀察圖形後（如圖 4-5、圖 4-6），可以思考並釐清其迷思想法。
師：大家試著想一下，是不是只要找到任意一條直線 L 跟平面 E 上的某一 條直線垂直，那麼直線 L 就會是平面 E 的垂線？（1040128 錄）
小音：不是，只有一條確定是有垂直的，那還不一定。（1040128 錄）
師：所以如果今天直線 L 歪掉了，它並沒有跟平面 E 上的每一條直線都垂 直，那麼直線 L 還會是平面 E 的垂線嗎？（1040128 錄）
小樂：歪掉的話就不一定會跟平面 E 上的任一直線垂直了！（1040128 錄）
師：請大家再看一次講義上的敘述，是否更理解它的意思呢？（1040128 錄）
小帥：突破之前沒發現的盲點（對平面上 no 垂線有誤解）！（1040128 錄）
另外，在「三垂線定理」的概念講解中，研究者發現，用 GGB 的好處是學生們動手轉個角度就可以看到第三個交角的確是呈現垂 直的狀態。然而，當教學者提到該如何證明時，大家一開始都顯得毫 無頭緒的樣子，直到教學者畫出輔助線後，就有學生提出用「畢氏定 理」就可以做，再經引導後完成此證明（1040128 錄）。
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師：大家先觀察一下，圖中兩直線的關係會是呈垂直的嗎？
小雄：一定是啊！轉過來看一下就知道是了！
師：哦？有何說服力？只用「看」的恐怕不夠喔！
民民：量出來是 90 度啊！！（註：GGB 中有一個內建工具盒可以量角度）
師：要不要試著寫一下證明（畫出輔助線）？會更有說服力喔！
小帥：直角三角形耶...用畢氏定理就可以啦！
最後，在「二面角」的概念講解中，大家似乎對於講義上的文字 理解都很直覺，沒有太多的疑問。然而，當教學者提問：「為何要找 交 線 又 找 垂 直 」 ？ 多 數 學 生 的 反 應 是 楞 住 ， 然 後 開 始 陷 入 沉 思
（1040128 札）。經教學者引導討論後，很開心有學生直接回答到問 題核心，他認為需要找交線又找垂直的原因是因為這樣在二面角的定 義上才會有其唯一性（1040128 錄）。
師：看來大家對二面角的定義都還滿清楚的，但是大家試著想想看，為什麼 在找二面角的時候，都需要先找交線上的一點再做出垂直的兩射線呢？
提摩：嗯...就定義啊！？看起來滿合理的＠＠
師：定義這麼定會有其原因吧？大家可以試著移動圖中的動點去觀察一下～
小帥：嗯...是因為這樣的角度才會是唯一的嗎？不然隨便畫也都有夾角啊！
二、學生對於課程之反應（上課記錄、問卷回饋）
從問卷中的回應來看，可將大家印象較為深刻的學習概念分為五 類：三垂線定理、二面角、角度關係、平面與垂線與其他（1040128 卷）。整體而言，大部分的學生認為，透過GGB 的確有助於了解此單 元的概念學習，尤其是對三垂線定理的證明覺得很有幫助。茲將整理 如表4-2。
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表4-2 學生對於課程二的學習印象
課程二 有幫助(38/48) 沒有幫助(10/48)
概念 類型
三垂線
定理 二面角 角度 關係
平面與
垂線 其他 聽不懂 其他
總人數 11 9 8 2 8 3 7
呼應先前試做結果可以瞭解到，藉由 GGB 軟體的輔助教學可以 增加學生對於空間中圖形的想像與邊角關係（畢氏定理）的推論。此 外，在此次課程施做中也發現與先前試做一樣的狀況，在隨堂例題1 的部份，有少數學生被平面圖形給誤導，然而多數的學生是以幾何推 論的方式或者直接觀察 GGB 上所畫的圖形，避開圖形迷思進而回答 問題（1040128 札）。
S42：透過 GGB 有助於理解三垂線定理的證明。（1040128 卷）
S15：透過 GGB 有助於理解二面角的圖形定義。（1040128 卷）
S28：透過 GGB 有助於觀察角度是否垂直。（1040128 卷）
S35：透過 GGB 有助於理解平面與垂直的關係。（1040128 卷）
S18：透過 GGB 有助於思考對圖形、形狀的想像。（1040128 卷）
參、「空間中的多面體」
一、課程進行形式之適切性（課堂觀察）
本課程的學習目標偏重對多面體的觀察與理解，較重視學生在空 間中的解題策略。研究者發現，多數學生對於正四面體與正六面體較 為熟悉，而有少數的學生則反應沒有看過正八面體（1040128 札）。
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經教學者引導討論後，學生們表示對於正八面體有較深度的理解，並 且也學會以GGB 的內建工具輔助解題。
師：大家先試想一下，正八面體的任意兩稜線夾角為何？（1040128 錄）
熊熊：60 度或 120 度！？（1040128 錄）
師：哦？60 度是因為正三角形對吧？那 120 度是為什麼呢？（1040128 錄）
拉拉：因為中間看起來是一個菱形，180 - 60 是 120。（1040128 錄）
師：好的，大家現在可以打開做好的圖檔，去旋轉觀察看看。（1040128 錄）
熊熊：中間是一個正方形！所以正八面體就是兩個金字塔嘛！（1040128 錄）
師：說的很好！那大家再進一步找找看正八面體的任意兩面夾角為何？
（1040128 錄）
小智：前一個單元有學，先找出兩面的交線，然後畫垂直，再用小工具量就 可以知道大概是 104 度。（1040128 錄）
師：可以用算的嗎？（1040128 錄）
小雄：可以啊！算出三邊長再用餘弦公式就可以啦！（1040128 錄）
另外，在隨堂例題 1 的部份，1-1 其實直接用看的或用 GGB「不 共線三點構成唯一平面」的小工具輔助繪圖都會得到答案。然而 1-2 因為題目多打一個字母，本來教學者想事先做修正，卻有少數幾位同 學就先發現題目的矛盾之處，令教學者著實感到驚喜（1040128 札）。
小雄：老師！1-2 那一題怪怪的，「這四個點不共平面啊！怎麼會有截痕？」
（1040128 錄）
師：本來要講的，卻被你們先發現了！所以你們覺得老師原本是想問什麼？
（1040128 錄）