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「空間中的多面體」課程試做

第四章 研究結果與討論

第三節 「空間中的多面體」課程試做

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參、課程的總體性省思

在本課程的試做後研究者認為,除了圖形需做修正以避免讓學生 有誤解題目之外,其他並沒有發現什麼特別的內容需要做修改。而在 教學的過程中,要特別注意的是,學生常常會有令人意想不到得迷思 概念,因此研究者認為,教學者除了要能夠隨機應變之外,可以事先 多揣摩學生的各種錯誤迷思,以避免在上課時造成雙方無法相互理解 的窘境。

關於有學生提出,這樣的教學方式若要進班恐有其難度。研究者 於課程設計時也有考慮到這些狀況,進度的部份倒是不需要太擔心,

因為課程設計包括時間的安排都是參考各家版本的教學進度所設計,

因此不太會有課程進度落後的問題。而學生學習專注力的部分,研究 者認為,這些情形其實在傳統教學的過程中也很常出現,因此教學是 否能進行順利,端看教學者與學生之間的互動與默契。

值得思考的是,以平面繪圖呈現空間中的概念測驗真的很容易有 陷阱,研究者不禁想問,這樣的出題方式真的適合用在空間教學及測 驗嗎?然而,試做之後,研究者認為從另一個角度思考,可以瞭解到,

其實這樣的出題方式可以考驗學生在圖形幾何上的推理能力,也算是 一個好的考試策略。

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一、課程主題內容的設計

「空間中的多面體」的課程內容設計主要目標是希望讓學生透過 GGB 的動態圖形輔助觀察,能夠從圖形觀察中學會以幾何思維模式 輔助文字思維模式解題。經三位現職教師建議後修改,在隨堂例題中 以相同的概念出題,增加進階思考題型,以避免程度好的學生因為提 早將題目做完而有太多空閒的時間。而課後練習的部份則是將題目中 原本有未知數的部分改以較好運算的數字代替。畢竟對學生而言,具 體的數字總是比未知數較好理解;而對教學者而言也不會因為改了一 個數字就無法檢視學生的學習轉變。

二、課程試做的進行形式

本課程預計教學時間為 50 分鐘(1 節課),在此單元中並沒有設 計太多的教學概念,而是輔助學生熟悉各類型多面體常見的題型,因 此課程進行主要分為兩個部分。首先是檢討上週課程的課後練習,檢 討的形式以問答為主,倘若教學者已經確認學生沒有問題需要解惑時,

教學者將以隨機抽問的方式檢視學生的學習情形。而後半部分則是隨 堂練習,在這個階段,原則上教學者先以不干擾學生解題思維為主,

教學者主要是以引導的方式刺激學生共同討論並解題,於全數順利解 題完畢之後,教學者最後再下整體的課程結論。

三、課程學習內容的特性

課程首先一開始讓學生認識五種正多面體。一般傳統的教學方式 是以模型作為輔助工具,然而考量到並不是每位教師都可以有相關的 教材,因此研究者於此以GGB 繪圖輔助設計出常見的三種正多面體:

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正四面體、正六面體與正八面體,如圖4-10。

4-10 三種常見的正多面體

(由左至右依序為:正四面體、正六面體、正八面體)

倘若時間允許,教學者可以利用閒置時間教導學生如何自行畫出 簡單的立體圖形,尤其是針對一些特殊型的立體圖形(如圖 4-11),

如果學生學會如何以 GGB 作為繪圖的輔助工具,那麼對於學生日後 的解題會有很大的幫助。然而,由於過程中需要一些較複雜的幾何概 念,因此這部份仍是視情況而定,原則上還是以既定圖形輔助學生做 動態觀察為主要教學內容。

4- 11 特殊立體圖形

(左圖為折紙後所形成的一個三角錐;右圖為布丁形狀的立體圖形)

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貳、課程的實施結果

一、教學教材之適切性

(一)課程進行形式(課堂觀察)

無論是初版或是再版的試做情形,此次的課程試做都顯得較前兩 堂課流暢(1031111 札、1031219 札)。研究者推測是因為本次課程的 內容皆以解題為主,教學之前僅需確認學生的先備知識(三角函數)

是否充足,再稍作前兩個課程概念的複習即可。

於初版試做討論到正八面體時,這三位學生似乎是因為化學課正 好有教到結構式,學生常將這些多面體連想到化學課程內容(1031111 錄)。研究者認為無論是對於數學課或化學課而言,都算是順便提昇 了課程的廣度。

T3:正八面體的中間應該要是正方形...因為每個邊長都等長...(1031111 錄)

T2:可是四邊等長只能說是菱形,不一定是正方形吧... (1031111 錄)

T3:我記得化學裡有個結構跟它長得很像,是那個原子結構... (1031111 錄)

T2:那個...sp3d2的混成!sp3d2123456... (1031111 錄)

T1:它是在那三條的正上方,d 是混成軌域,所以是磷(P6)嗎?(1031111 錄)

T2:硫是皇冠,磷是正四面體,正八面體是...氯化鈉晶體啦!(1031111 錄)

T1:嗯...所以正八面體的中間(轉動附檔圖形)是正方形啦!其實就是兩個 金字塔上下顛倒疊在一起的樣子。(1031111 錄)

而在隨堂例題 2 的部份,有學生提出,除了可以藉由 GGB 輔助 繪圖理解之外(如圖 4-12),切蛋糕的思維方式也很容易讓大家去連 結思考圖形的樣子(1031111 錄)。

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T2:你就想像拿著刀子在切蛋糕,你不可能切到一半把刀子留在蛋糕上吧?

(1031111 錄)

T1:哦!我用GGB 畫出來了!是一個正六邊形!(1031111 錄)

4-12 正立方體中的截面圖形

於再版試做時,一樣是在隨堂例題 2 的部份,兩位再版試做的學 生是用推論的方式(圖形有對稱)得到答案,GGB 軟體僅作為輔助 驗證結果(1031219 錄)。延續上一節課試做結果的發現,平面圖形 容易造成誤會,但其實善用邊角關係作推論,可以避免掉一些誤解。

此外,研究者認為,雖然 GGB 不是萬能,但必要時會是一個很好用 的解題工具。

T4:切下去一定是梯形!因為你把那些點連起來就是個梯形。(1031219 錄)

T5:可是要再繼續切下去啊!有對稱耶!所以兩個梯形合起來是正六邊形!

(1031219 錄)

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(二)、學生對於課程內容的學習轉變(課後作業)

本次的課後練習中的第一題,研究者在設計題目時並沒有給予圖 形,僅有單純的文字敘述。研究者發現,幾乎每一個試做的學生都會 自行嘗試以各個不同的角度去畫圖並且也順理解題成功(1031118 札)。

因此,研究者認為,若是教學者能在課堂教學中,給予學生多接觸各 種不同圖形的樣貌,對於學生而言也會有較多的圖形經驗以利解題。

在本次的課後練習中,研究者觀察到初版試做時有一位學生對於 立體圖形的想像,相較於其他學生而言不是那麼的直接(1031118 札)。 對於難度較高的題型,他在解題的時候一定得透過實體的輔助(例如 以GGB 繪圖操作動態觀察)才會有較具體的解題思維,在平面上繪 圖作推理的方式對他來說是相對較困難的。而其他學生於課後練習的 部份則是都能夠直接以平面繪圖作答,相較而言學習速度與理解能力 是偏高的。

二、學生對於課程之接受度(上課記錄、學習回饋單)

(一)同儕之間互助學習

5 位試做的學生皆表示從 GGB 的操作中得到了適當的解題策略

(1031111 單、1031219 單)。然而,初版試做的其中一位學生因為數 學學習認知遠多於其他兩位學生,因此他在解完所以進階思考題後,

仍然有多出來的空閒時間,這部份教學者當下的處理是請他協助另外 兩位同學解題,藉由討論與互動的方式,希望能形成一個學習共同體,

並且也減輕教學者在課堂上的教學負擔(1031111 札)。

T1:用GGB 操作可以從不同角度就可以知道正八面體長怎樣(1031111 單)

T2:隨堂5 用 GGB 看,效果說不定不錯,容易懂。(1031111 單)

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T3:把多面體用GGB 一直翻來翻去、俯視、剖面,各種圖形顯而易見~覺 得很棒(1031111 單)

(二)有學生希望有實際模型可以相互搭配觀察

另外,有學生提到是否可以有實際的模型可以作為解題的輔助?

其實有許多關於多面體的題目學生都可以自行摺紙而得,只是摺紙的 過程中相對較花費時間,而且也不是所有的學校都配置有相關的立體 模型教材。但研究者認為,不管是實際的立體模型,或是 GGB 的虛 擬圖形,只要是能夠幫助學生建構知識的教具,在學習上都能夠有達 到相輔相成的效果。

T4:觀察圖形有幫助到解題!但我想我得加強我的三角函數先(1031219 單)

T5:我覺得沒有圖我做不出來,但經過GGB 的輔助與同學講解就會了。另 外想問老師是否有模型可看?如果實際用摸的感受應該會比較深刻>”<

(1031219 單)

參、課程的總體性省思

研究者認為空間幾何圖形的想像其實是可以訓練的,但是得讓學 生有先前圖像的經驗作連結,這部份光是靠一系列的平面繪圖仍嫌不 足,建議在學習解題之前先讓初學者有模型經驗,再教導學生如何在 平面上繪圖,會令學生在學習上印象較為深刻。此外,在隨堂練習的 講解過程中,教學者需特別注意幾何概念的呈現,避免花費過多的時 間在做無謂的數字計算,造成學習重點失焦。

以往在解決多面體題型的教學方式是讓學生先觀察期圖形模型 的特性,藉以輔助思考解題策略。然而,以動態幾何軟體GGB 繪圖,

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對師生而言是多了一項新工具可以使用,並且能將其運用在較困難的 圖形上,尤其像是特殊型的圖形,一時之間是很難找得到相對應的模 型,若要立即以現有材料做一個,勢必也會花上不少時間。因此,研 究者認為以GGB 輔助繪圖學習,對數學教學來說無疑是一大進步。