第四章 研究結果與討論
第一節 「空間中的基本幾何概念」課程試做
壹、課程內容設計
一、課程主題內容的設計
「空間中的基本幾何概念」課程的內容設計主要先讓學生熟悉 GGB 操作介面，並且請學生試著以 GGB 作圖觀察瞭解空間中點、線、
面的交互關係。經三位現職教師的建議後修改，將學習單內容原本是 重點整理的學習形式，改為填空格的方式，讓學生在小組互動的過程 中討論出答案，並且有多增加一些可以刺激學生進階思考的題型。而 隨堂練習的部份，則改以是非題的形式，以避免題型過於複雜，對於 初學者來說會造成讀題上的困擾。
二、課程試做的進行形式
預計教學時間為 75 分鐘（1.5 節課），課程進行主要分為兩個部 分，前半段的設計是以 GGB 操作輔助概念建構，除了聽老師講解之 外，學生之間主要是以小組討論的設計型態，希望學生可以藉由在互 動的過程中，自行建構數學概念。而後半部分則是隨堂練習，在這個 階段，原則上教學者先以不干擾學生解題思維為主，教學者主要是以 引導的方式刺激學生共同討論並解題，於全數順利解題完畢之後，教 學者最後再下整體的課程結論。
三、課程學習內容的特性
本課程設計與傳統板書的教學方式相比，最大的不同之處在於以 往在講解學習概念時，教學者需要花費些許時間在板書上繪圖，然而
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以 GGB 協助教學，教學者可以事先準備好課堂上可能需要的圖形，
不僅可以節省在課堂上的教學時間，也可以讓學生在能夠自行操作圖 形的環境下，建構其數學概念，並且增加在課堂上的參與感。
為了讓學生能夠快速上手 GGB 的操作，在本課程一開始，有個 5 分鐘的軟體操作基本介紹（PPT），並且於學習單中設計 5 到 10 分 鐘的基礎練習（畫點、線、面，如圖4-1），以順利銜接隨後的課程進 行，直接進入空間中點線面的基本動態圖形觀察。而每一題的隨堂練 習基本上都附有 GGB 繪製好的輔助圖形，如圖 4-2 為正立方體內嵌 正四面體，藉以幫助學生解構進而重構其解題策略。
圖4-1 空間中的兩歪斜線
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圖4-2 正立方體內嵌正四面體
貳、課程的實施結果
一、教學教材之適切性
（一）課程進行形式（課堂觀察）
本課程的重要學習概念之一是「歪斜」，因為是個全新的名詞出 現在課程中，因此對高二的學生而言其實非常陌生。然而，在初版試 做時，因為有學生已有相關的先備知識，所以整體而言討論起來算是 非常順利（1031028 錄、1031028 札）。
師：平面上兩直線有相交、平行、重合三種交會情形，那在空間中呢？還有 其他的情形嗎？（1031028 錄）
T2：這樣嗎？（用手比出歪斜情形）我記得叫歪什麼的？（1031028 錄）
T3：哦！好像是耶！就沒有相交卻又不平行！所以那叫什麼？（1031028 錄）
而再版試做時，雖然學生無法明確說出「歪斜」這個名詞，但是 他 們 都 嘗 試 用 現 有 工 具 或 實 例 說 明 「 歪 斜 」 的 兩 直 線 交 會 情 形
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（1031205 錄、1031205 札），這點倒是令研究者覺得滿驚喜的。
師：平面上兩直線有相交、平行、重合三種交會情形，那在空間中呢？還有 其他的情形嗎？（1031205 錄）
T4：就那個啊！像平行可是又不是平行！！（1031205 錄）
T5：我知道！像梯子那種（用手比出）！？（1031205 錄）
本課程的重要學習概念之二是「三面交會情形」。在初版試做時，
其中兩位學生想到的是之前物理學過的三面鏡子成像，然而第三位學 生無法想像其圖形，最後是以 GGB 繪圖畫出他們所想像的圖形（如 圖4-3）而達到共識（1031028 錄、1031028 札）。
圖4-3 三面交於一點（教學者引導學生繪圖用以觀察三面的交會情形）
而再版試做時，一開始兩位學生都毫無頭緒，透過教學者以 GGB 動態圖形引導後（如圖4-4），學生可以自行解構三面的交會情形，並 針對各種情形做分類（共 8 種）與統整（1031205 錄、1031205 札）。
T4：用GGB 畫出來之後可以看到這三個面交於一點耶！（1031205 錄）
T5：這樣的話...還會有三面交於一線的囉？像這樣（用手比）（1031205 錄）
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T4：你移動一下，交於一線的還有這種，還有三個都疊在一起的勒！
（1031205 錄）
T5：原來是這樣啊...（移動滑鼠）那這樣不就是沒有交點（1031205 錄）
師：所以...你們要不要認真數一下看三個面總共會有幾種交會的情形？可以 分成三大類：恰一解（交於一點）、無限多組解以及無解。（1031205 錄）
T4：交於一點的就一個嘛...無限多組的有...3 種...（1031205 錄）
T5：我數完了！有8 種，我確定！（1031205 錄）
圖4-4 thisisshuyu（學生自行繪圖用以觀察面與面的交會情形，檔名為學生自己的命名）
在兩次的課程試做中，可以看到小組討論的優勢是，同儕之間較 能夠理解彼此的語言。整體而言，學生是學習的主體，教學者在課程 的互動中僅是輔助者的角色。
（二）、學生對於課程內容的學習轉變（課後作業）
在本課程的課後練習中，有學生表示，過去常常看到幾何的題目 會覺得毫無頭緒，然而以GGB 輔助學習可以讓抽象的圖形具體呈現，
讓他比較不會排斥解題（1031028 單）。經研究者觀察後也發現，學
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生在練習時皆有嘗試畫圖作答，若是遇到較複雜的題型，學生們彼此 之間也很樂於共同討論（1031104 札、1031212 札）。
研究者發現無論是初版或是再版試做的學生在練習的過程中較 少使用到GGB 軟體繪圖輔助思考（1031028 單、1031205 單、1031212 札）。經研究者簡單訪談後發現，學生認為在上課時操作圖形的過程 中就已經建立其學習概念，練習題目時僅需要回憶圖形的樣子並作推 論思考，並不需要再特別去繪圖，倘若在解題的當下有對圖形無法想 像的情形，才會想使用GGB 輔助繪圖想像圖形的樣貌（1031212 錄）。
二、學生對於課程之接受度（上課記錄、學習回饋單）
（一）有學生覺得GGB 用處不大
初版試做時，有學生向教學者表示空間中的基本幾何概念有些其 實用 GGB 繪圖反而是比較沒有明顯的優勢，與其畫圖不如直接用現 成的工具（紙、筆或尺等）輔助思考即可（1031028 錄、1031028 單）。
（二）有學生認為人一多就容易分心
而另有學生向教學者表示，以小組討論的方式進行課程的確幫他 建立了許多數學幾何概念。然而，過去的學習經驗告訴他，人一多的 話，學生的心思其實很容易就不會專注在課業上，甚至開始與其他人 聊天，他建議研究者應該要想個好一點的教學方法是能吸引全班多數 人都願意參與課程的方式（1031028 錄、1031028 單、1031028 札）。
T1：因為對空間沒啥概念，所以平常很少接觸這類的想法。用GGB 可快速 畫出所需圖形，不會受限於實體模型，這堂課收穫頗多（1031028 單）。
T2：直線、平面關係，有些用GGB 仍然看不出來，其實可以用筆代替 （投
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影or 排列）好像比較簡單 0.0（1031028 單）。
T3：老師在教學時總是給予很多獨立思考的時間，但是如果是在班級中上課 的話不一定大家都會跟著思考與參與，建議想個可以讓班上大家都願意 參與的方式，或許不能所有人，但是至少是大多數…（1031028 單）。
（三）有學生對於課程感到很新奇
再版的兩位學生對於本次課程內容感到很新奇（1031205 單），
在課堂互動中也表現得非常積極，並且在問題討論的過程中表現了許 多推理與創造力（1031205 札）。然而，其中一位學生也提到與初版 試做學生一樣的觀點，他覺得這樣的教學方式雖然新穎，但是不見得 適合在大班教學（1031205 錄、1031205 單）；而另一個學生則表示各 有優缺點，觀看教學者要如何取捨（1031205 錄）。
T4：看起來滿好玩的！現在好像開始流行用電腦上課！？（1031205 單）
T5：與一般課程不同，可以得到老師較多的關注，比較能專心，但可能不適 合大班教學！？（1031205 單）
研究者認為教學型態漸漸在改變，不再是以往只能教師講、學生 聽的方式，反而是這種學生自行討論建構概念，教師最後再統整下結 論的教學方式，可以讓師生有更多的互動空間，也不會有讓學生覺得 有無聊的空閒時間。
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參、課程的總體性省思
透過學生的學習回饋單與課後作業練習可以看到學生在本次課 程的學習過程中，最大的收獲就是學到了一個新工具可以用來輔助繪 圖解題。有別於以往僅能紙上談兵，GGB 還可以讓學習者自行操作，
並且以動態觀察刺激思考解題。
此外，研究者發現，先進行問答而不先把圖展示出來的好處是可 以讓學生進行小組討論與思考。而研究者在師生互動的過程中也發現，
教學者若能對學習者多一點提問，藉由互動所形成的學習共同體，明 顯有效提昇學生在學習的參與度。
針對初版與再版試做學生提出的疑慮，研究者認為學習工具的使 用其實是因人而異的，有些學生認為透過GGB 繪圖的確可以幫助學 習，但是對於自己本來就可以憑空繪圖的學生來說其實不盡然。相較 於傳統板書的教學方式，以電腦輔助學習的方式對學生而言是新奇的，
這樣的教學方式雖然不見得適用於每一個人，但是至少能帶給學生一 個新的刺激思考的方式，加深學生的學習印象。