第四章 研究結果與討論
第四節 「空間中的坐標表示」課程試做
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對師生而言是多了一項新工具可以使用，並且能將其運用在較困難的 圖形上，尤其像是特殊型的圖形，一時之間是很難找得到相對應的模 型，若要立即以現有材料做一個，勢必也會花上不少時間。因此，研 究者認為以GGB 輔助繪圖學習，對數學教學來說無疑是一大進步。
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行建構數學概念。而後半部分則是隨堂練習，在這個階段，原則上教 學者先以不干擾學生解題思維為主，教學者主要是以引導的方式刺激 學生共同討論並解題，於全數順利解題完畢之後，教學者最後再下整 體的課程結論。
三、課程學習內容的特性
在講解學習概念之前，為了能讓學生理解空間坐標系的重要性，
教學者首先會讓學生們討論，生活中哪些事情會應用到空間坐標系
（例如：飛機是靠什麼指引而不會在空中相撞）？進而帶出坐標系統 的概念並且說明空間座標系如何運用在解題上。
本課程設計與傳統板書的教學方式相比，最大的不同之處在於黑 板僅能呈現二維平面（x y 坐標）的內容，而 GGB 不僅可以呈現三維 空間的立體感，並且能讓學生自行操作以更具體的方式動態觀察點坐 標高低位置的不同（尤其是 z 軸方向的移動）。
貳、課程的實施結果
一、教學教材之適切性
（一）課程進行形式（課堂觀察）
在講解概念的部份，研究者於初版的課程試做中發現，改以填空 格方式搭配 GGB 繪圖輔助學習，的確學生在學習上的效果比較好
（1031118 錄、1031118 札），因為學生會為了填滿空格進而刺激動腦，
同時也增加討論的樂趣。
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T1：投影點跟對稱點的關係是什麼？中點嗎？（1031118 錄）
T3：我們來用GGB 剛剛看到的對稱小工具來畫畫看！（1031118 錄）
T2：例如點(1,2,3) 在 yz 平面（x = 0）上的投影點就是跟它對稱的點（畫圖 找到(-1,2,3)）的中點，所以投影點就是(0,2,3)，耶！（1031118 錄）
然而研究者於再版試做中發現，雖然學生在圖形操作後在填表格
（投影點、對稱點、距離）上會很順手，但是在隨機抽點問答相關概 念時，他們還是會需要花一點時間去思考（1031226 錄）。值得一提 的是，在常見迷思錯誤的討論中，可看到他們對於空間中圖形的想像 其實會越來越具體。
T4：這些對稱點跟原來點的關係好像可以找到一些規律耶！（1031226 錄）
T5：像這個點要找跟它對稱於 x 軸的，就是 x 的位置不變，其他加負號？
（1031226 錄）
T4：喔！所以說如果有一個點要找跟它對稱於 yz 平面的，那就是 yz 的位置 不變，x 這個要加負號！（1031226 錄）
在提到「法向量」的幾何概念時，因為學生還沒有學過向量概念，
所以他們當下的反應理所當然會感到困惑，而教學者也因為他們沒有 向量概念而放棄引導學習，關於這點教學者於事後反省，認為當時應 嘗試以簡單的方式去解釋「法向量」的概念，讓學生有個基本的認識
（1031226 札）。
另外，在隨堂例題 4（圖 4-13）的解題策略有兩種：一是假設各 線段長（按比例）；二是座標化求長度。兩種方式會回到同一個算式
（餘弦定理）。但可能是因為剛開始接觸空間座標概念還不熟悉，因
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此 解 題 時 學 生 還 是 習 慣 以 傳 統 的 幾 何 方 式 作 答 （ 按 比 例 ） 為 主
（1031118 札、1031226 札）。
圖4- 13 正立方體中求角度的餘弦值
（二）、學生對於課程內容的學習轉變（課後作業）
研究者於本次課程的課後練習中發現，雖然學生是第一次接觸空 間中的坐標表示，但是對於題目上坐標的假設卻沒有太大的失誤
（1031118 札、1031226 札）。經研究者簡單訪談後瞭解，學生們表示 在課堂上以 GGB 輔助學習到，確立原點位置後，再自行推理其他點 的位置，就可以輕鬆寫出點坐標。
研究者在本次課程的課後練習中設計的三道題目略顯繁複，是因 為此單元開始有代數觀點融入幾何學習，因此在題目練習的部份會較 偏重數字運算。學生普遍認為較困難的一題是第 2 題（如圖 4-14），
這是一個長方形摺紙問題，目標是利用長方形（ABCD）的特性求出 D 點的坐標（1031118 札、1031226 札）。研究者認為，學生會覺得這 題很困難的原因是因為，題目給定的解題條件不明顯，有許多解題關 鍵需要靠學生自行去推理運算。經研究者觀察後發現，學生透過動態
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幾何軟體輔助學習後，對於圖形的理解逐漸有一定的基礎，因此檢討 這道題目時其實教學者只需要稍做提醒，學習者便能自行解題。
圖4-14 長方形摺紙問題
二、學生對於課程之接受度（上課記錄、學習回饋單）
本次課程的進行無論是初版或再版試做大致上都還算順利，也於 時間內結束課程。然而，在解題的過程中，研究者發現試做的5 位學 生已經漸漸不需要倚賴 GGB 輔助繪圖思考，就能自行憑空描繪並且 以推理的方式進行解題。特別要注意的是，隨堂例題5 稍有難度，因 此研究者認為在往後的課程設計中應該要考慮改為進階難題挑戰。
T1：這堂課複習了一年級學過的對稱、投影，並延伸到空間，沒有什麼斷層 的感覺，很快就可以連接平面和空間的關聯（1031118 單）。
T2：有學到東西，也有獨立思考XD（1031118 單）
T3： 雖然需要用到較多的 GGB 以利看圖，但主要好像仍是純代數運算
（1031118 單）。
T4：用GGB 上課其實滿有趣的，可是一直動腦超累的！（1031226 單）
T5：GGB 確實有幫助理解，但還是需要多花時間整理與思考。（1031226 單）
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參、課程的總體性省思
研究者在試做的過程中發現，學生的學習概念迷思往往比我們想 像中的嚴重程度還要大，因此研究者建議在下一次教學的時候，教學 者除了講解要清晰之外，整個概念的結構也要非常的清楚，以避免學 生在理解上有所誤解。
對高二的學生而言，空間坐標系是一個從未接觸過數學概念，因 此初學者容易在學習上出現迷思概念是可想而知的。而以動態幾何軟 體 GGB 輔助學習的優勢是，許多圖形可以在電腦螢幕上讓學生做動 態觀察，不需要費盡心思在腦海裡做抽象的想像。然而，研究者於此 要特別提醒的是，由於目前的考試仍然是以紙筆測驗為主，因此學生 在以 GGB 輔助理解圖形特性之後，教學者還是得帶領學生回歸到紙 筆形式，練習在平面上繪圖，動態幾何軟體於此僅能作為學習的輔助 工具。