三角形三心幾何課程分析

根據教育部(2008)公布國民中小學九年一貫課程綱要中，指出演算能力、抽像能力 與推理能力數學教育的三大主軸，也提及數學教育要提升數學溝通能力，而溝通包括理 解與表達兩種能力，其中理解指的是要能瞭解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數 學資訊；而表達指的是能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己 的意思。因此，本研究就是要利用「適性指標設計原則」及「分隔訊息方法」呈現三角 形重心的兩個性質證明─三角形三中線經過同一點，重心與頂點的連線等分三角形陎 積，看學習者是否在如此的教學法上，能理解這兩個性質及可書寫出性質的論證。

2.5.1 三角形三心課程分析

國中九年一貫課程中，數學領域將九年國中教育分為四個階段，而國中階段屬於第 四個階段(國中一年級到三年級)，對於幾何課程也給了明確的要求：「要學習三角形及圓 的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理。」這可以 看出，幾何學習已由對各種幾何圖形的觀察操弄，慢慢進入非形式化的推理，最後提升 至形式化的推理。

根據教育部(2008)所訂定的「國民中小學九年一貫課程綱要數學領域」與本研究三 角形重心單元相關的能力指標為 S-4-16 能理解三角形內心、外心、重心的意義與性質，

而其相對應的分年細目與詮釋如下表 8：

表 8

三角形三心相關分年細目與說明

分年細目 說明

9-s-8 能理解多邊形外心的意義和相關性質 1. 多邊形外接圓圓心(圓通過每 個頂點)稱為多邊形外心 2. 多邊形外心到各頂點距離相

同

3. 直角三角形斜邊中點到各頂 點等距離

4. 園內接四邊形的性質

9-s-9 能理解多邊形內心的意義和相關性質 1. 多邊形內切圓圓心(圓與每邊 均相切)稱為多邊形內心 2. 多邊形內心到各邊距離相等 3. 多邊形周長為 s，內切圓半徑

為 r，知道多邊形陎積為 2 rs

4. 直角三角形中，

兩股和等於斜邊加內切圓直 徑

5. 圓外切四邊形的性質 9-s-10 能理解三角形重心的意義和相關性質 1. 三角形三條中線必相交於同

一點，此點稱為三角形重心 2. 三角形重心到頂點的距離等

於它道對邊中點距離的兩倍 3. 三角形重心與三頂點連線等

分三角形陎積

4. 三角形三條中線將三角形陎 積六等分

根據上述九年一貫數學領域課程綱要，三角形重心教材地位如下圖 12：

圖 12 三角形重心教材地位分析圖 三角形中線的定義

重心到頂點的 距離等於2倍重

心到對邊中點 距離

重心與頂點連 線會三等分三

角形陎積

已 習 教 材 三 角 形 重 心 教 材 未 來 發 展

帄行截線性質

相似三角形

同高三角形 陎積比等於底邊比

幾何學 (高中)

比例式

2.5.2 三角形三心相關研究

查詢台灣博碩士論文知識加系統，以三角形三心為檢索關鍵，可以發現數篇相關論 文，檢視其與本研究相關性，將簡述於下：

謝銘祥(2007)以 flash 軟體開發一個可輔助國中數學教師教學並提供學生觀察、探索 的電腦輔助軟體。並對低成就學生進行補救教學，發現學生學習有顯著差異、且也增加 學生興趣及信心。方淑美(2008)利用謝銘祥所製作 flash 應用在電子白板上對學生施以教 學設計，去探討學生的學習成效及學習態度。這兩位研究生均是利用多媒體教材來幫助 學生學習三角形重心，皆有其影響。

呂益昇(2005)在其研究目的為探討國中生「三角形外心與內心概念」的學習困難與 因素，並發展有效的學習策略解決學習困難。在其研究中發現，國三學生「外心與內心 內念」學習困難的原因有：

1. 未能以正確、完整的數學語言或符號描述圖形或數學專有名詞。

2. 未能以所學的知識整理成有系統的概念幫助學習。

3. 論證觀念不完整，文字表徵與形式論證的能力不足。

4. 缺少相關的解題經驗，沒有主動繪製參照圖的習慣。

5. 未熟悉預備知識，缺乏利用幾之性質推理的能力。

而其也利用「類比遷移」、「局部推理與模仿」的教學策略來補教教學實驗，發現能 有效協助學生解決學習困難，並能使行事證明的混沌狀態趨向明朗化。

呂鳳琳(2009)在其研究目的中，去探討透過不同文本呈現方式與教學策略之幾何證 明對學生的認知負荷及閱讀理解之影響。其研究發現，將一個複雜的幾何證明切割成幾 個局部證明，為學習者在閱讀幾何證明時，能有助降低其認知負荷。但如要提升學生在 幾何證明閱讀理解還需要加入有效的教學策略，促使學生做深層的思考以建立相關的基 模網絡，方能在閱讀幾何證明的活動中達到深層的理解。

基於以上研究本研究將要利用適性指標設計原則來引導學生注意力及利用分隔訊 息方式降低教材對學生的負荷，來設計多媒體教材，探討是否能有效的幫助學生學習三 角形重心的兩個性質證明。