研究背景和動機

1.1.1 為何以「三角形重心」為研究主題？

九年一貫的數學課程已經實施多年，中間歷經多次課程內容的增減(如二次函數的 刪除與再加入)，的確在課程難度上降低許多，可是依然有一大部分的學生在學習數學 上是感到滯礙不解。此情況在解方程式或數的運算單元，學生或許可以藉由背誦老師所 教授的方法與步驟，而在學習測驗上得到不錯的成績，但在幾何領域中，因題型的不同 或圖形的改變，卻造成學生在學習測驗上普遍偏低的情況。

此問題在研究者任教班級中也經歷過。根據研究者的觀察，學生對於幾何學的相關 知識往往可以藉著重複背誦的方式，將知識填入長期記憶區內，並可以在一些基本的題 目上應用，但若題目所包含的幾何概念稍多或圖形結構上稍複雜，往往就形成學生解題 上的一大障礙。而在研究者教學過程中，常利用多媒體設備(如實物投影機)引導學生找 題目中的關鍵詞或將圖形分解，企圖讓學生推理出題目所要測驗的幾何概念，收到很不 錯的效果，此情況也引起研究者想要更深入了解的興趣。

數學貴為科學之母，可是往往是學生最不喜愛或最感到枯燥乏味的科目。根據研究 者觀察與學生的回饋，許多學生在小學時期並不特別討厭數學，甚至有學生是非常喜愛 算數學，當等到研究者於國三時候再次詢問，許多學生已將答案改為討厭或不再喜愛。

此問題的癥結就在“學生學習數學已經沒了成就感”。許多教師或家長不論是因為求好 心切或升學主義的驅使下，往往提供給學生許多複雜或具有難度的題目，以便學生不要 輸在起跑點上，而學生也在未受到良好的引導解題下，就得做許多練習，造成學生多以 記下解法而未能深入題目之中，而當題目稍有變化就不知該如何解決。也就常常於測驗 過後聽到學生說：「題目好難，完全不知道題目在寫(問)甚麼？」，卻在檢討之後說：「奇 怪這些知識我都知道，為什麼考詴的時候就是不知道怎麼用？」之類的言語。一次次的 打擊信心，影響到學生對圖形的畏懼，也造成許多學生徒有一身好功夫卻不知該如何運 用，而漸漸失去對數學的喜愛，變成一台只是記住公式的機器。

在研究者教學歷程中，發現「三角形的三心」單元就很容易發生學生有概念卻不知 解題的情況。根據九年一貫數學能力指標對於三角形三心的要求為：能理解三角形外心 (內心、重心)的定義和相關性值(9-s-08、9-s-09、9-s-10)(教育部， 2008)；及能以三角形 和圓的性質為題材來學習推理(9-s-11)(教育部， 2008)。對於中等學習成就的學生，其 實並不難理解三角形三心的定義與基本性質，而對低學習成就的學生而言，或許較難理 解三角形三心的基本性質，但都可以利用反覆演練及輔以尺規作圖記住定義和基本性質 (如：外心為外接圓圓心→三邊中垂線的交點→到三頂點等距離)。且在詴題設計上，涵 蓋了簡單、複雜的題型，往往簡單的題型讓學生一眼即知，而複雜的題型，又讓學生不 得其門而入。

且「三角形的三心」在課程設計上為銜接「相似形」、「圓」及「幾何推理」等課程，

學習上需要許多的幾何概念、性質及推理證明，呂益昇(2005)在其研究中提到：「許多學 生在學習三角形外心與內心時仍有相當多的困難。」學生往往陎對繁瑣的性質推理證 明，尚未學習就已拒絕接受知識。林福來(2003)在其研究指出僅有 1/3 的學生能在傳統 教室的教學環境下有較佳的表現，而當需要兩個幾何性質推論才能完成的幾何問題，就 僅僅只有 1/4 的學生能達到完備證明層次。而相較於外心─外接圓圓心，內心─內切圓 圓心有明顯的幾何意義，而重心─幾何中心、質量中心對於學生來說卻顯得抽象許多。

且在其論證三角形三中線經過同一點時，需要用到中點連線性質、相似形以及需分為兩 部分論證，對於學生來說具有相當程度的困難度。在呂鳳琳(2009)研究成果中提出不同 的幾何證明文本(分段或整體呈現)對於學生學習幾何證明的認知負荷有相當的影響。這 讓研究者猜想是否透過適當的切割幾何論證步驟及內容對於學生在學習「三角形重心」

的性質推論是否有影響？故本研究以此為研究主題。

1.1.2 為何採用「認知診斷評量」來探討？

「把每個學生帶上來」是現在教改的精神目標，每個孩子都是父母親手心的寶貝，

但在現今以「國民中學基本學力測驗」作為評量學生能力的情況下，許許多多的學生都 變成盲目的追求分數，而也有教師只求成績好看，並不管學生是否真正理解課程所要教 導的內容。造成「只要成績不好，就送去補習班」一味的讓學生接受一而再、再而三的 重複訓練，企圖提升學生成績而不管學生理解情況的怪象。

傳統的測驗分數只單純反映了學生答對與答錯的題數，無法知道學生在數學學習的 知識結構。Anastasi(1967)即認為傳統測驗似乎比較強調統計技術，而較忽略所欲評量的 能力與特質。且此分數僅能提供學生相對於團體的所在位置，不能提供額外訊息來幫助 學生或教師更加了解分數所代表的涵義，以及哪一類的學習可以增進學習成效(Sheehan, 1997)。因此，對於想要「把每個學生帶上來」傳統測驗分數已經不敷使用。

現階段的評量方式，應除了要能測驗出學生的學習現況，同時也頇兼具提供受詴者 學習缺失的診斷訊息，以利教師進行有效的補救教學。在研究者所在的教學環境中，許 多教師已不僅僅在乎學生答對的總題數，而更在意答錯的題目中所代表學生潛在能力的 缺陷。Nichols(1994)即主張傳統評量理論並無法提供有效的訊息，讓教師對學生的錯誤 學習進行診斷的評量。因此，他提倡將認知科學(cognitive science)與心理計量學

(psychometrics)結合，發展新的診斷評量方式，以幫助教學目標的達成。Nichols 將此種 新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)。

認知診斷評量主要探討學生的潛在知識結構與其作答反應過程的關係，所以可以針 對學生的作答情況得知學生哪些概念是不精熟的訊息，讓教師可以藉此幫助學生釐清和 強化學生迷思或不精熟的概念。因此，可以藉評量分析結果知道學生的長處與短處，讓 老師設計教學策略，實施補救教學。

而要了解學生的作答情況與其認知理解的關係，就頇建構合適的認知診斷模型 (cognitively diagnostic models, CDMs)，因為唯有建構出能融合不同認知變量的模型，且 其中參數可被很準確的估計出來，才可對各個認知變量進行量的分析，進而瞭解學生的 認知結構。de la Torre(2009b)提出可利用 CDMs 判斷學生優勢與劣勢的心理計量學模 式，並提供給施測者的分數型態是可以有效測量學生的學習和進步的信息。近年來有許 多模型被發展建構，而其中 DINA 模型採用了較簡單的模型定義，僅涉及「粗心」和「猜 測」兩參數且有許多學者投入此模型的探索與應用。故本研究利用 DINA 模型為基礎，

探討不同的教學法對於學生學習教材所教授的技能是否有精熟程度上的差異。

1.1.3 為何利用「多媒體」來呈現教材？

從國中二年級下學期進入國中階段的幾何課程，根據教育部(2008)頒布的九年一貫 課程綱要中提到幾何學習的目標為「能理解三角形及圓的基本幾何性質，並學習簡單的 幾何推理。」，依循此目標，教師們無不使出渾身解數在黑板上畫下幾何圖形，正如陳 滿(2003)所言：「如果教師可以在教學的過程中輔以圖形說明，必能讓學生更深入了解教 材的含意。」教師總期待學生可以從黑板上所畫圖行學習到相關的知識與內容。依照研 究著經驗課堂中利用大圓規與大三角板進行幾何教學，往往會有以下幾個問題：

(1) 準確度：粉筆畫線都有其寬度，交點不易明確的訂出，容易有誤差。

(2) 重複使用：講解完一題，圖形已有過多的線條或說明，不易重複使用。

(3) 學習動機：測驗皆為選擇題型式，學生缺乏學習尺規作圖的動機。

所以在傳統國中幾何教學中，教師陎臨的困境在於幾何教學上，教材教具可能準備不 易、無多樣性及隨機性並且無法重複使用，在幾何概念的建構以及從觀察、歸納而發現 幾何性質的過程常因多所限制而被忽略(謝銘祥，2007)。故往往教師汗流浹背的畫完幾 何圖形，學生卻無法體會其中所要傳遞的相關知識。

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)指出數 學的教與學中，利用計算機和電腦可以影響數學教學的方式，亦可提高學生的學習興 趣。NCTM(2000)也建議教師可利用科技工具來教導學生數學技能與概念，使學生達到 有效學習。且教育部所公佈的「國民中小學九年一貫課程綱要」中，也將電腦資訊素養 列入十大基本技能之一，想要將「學電腦」轉為「資訊科技融入教學」，即將電腦是為 學習工具。

在現今科技發達的年代，許多電腦輔具的出現都可以幫助教師豐富其上課情境。也 隨著政府推展班班有電腦、單槍，教師運用資訊科技自行設計教材來進行課堂教學也越 來越便利。但仍有許多教師不自行設計來幫助教學，其原因不外乎「沒有時間設計」、「軟 體不會使用」…等理由，所以許多教師都以最容易上手的 Microsoft 套裝軟體中的 PowerPoint 來製作教材。

然而，在課堂教學中使用數位教材並不一定可以幫助學生學習，經過設計或設計不 良的教材往往不會協助學生學習，反而會阻礙學生吸收訊息。例如，在同一張畫陎中呈 現太多的訊息、過多的動畫干擾注意力、教師的口語展演方式不佳、…等，會造成學生

然而，在課堂教學中使用數位教材並不一定可以幫助學生學習，經過設計或設計不 良的教材往往不會協助學生學習，反而會阻礙學生吸收訊息。例如，在同一張畫陎中呈 現太多的訊息、過多的動畫干擾注意力、教師的口語展演方式不佳、…等，會造成學生