第四章 研究結果與討論
第一節 不同問題情境的分數詞意義
本節討論基本題型能正確作答之學生，在不同問題情境下所命名分數詞中分 子及分母數字的意義。研究者將訪談資料依問題情境進行分類(參見表 3-5-1)，
將所蒐集的逐字稿資料進行分析後，分三部份來探討學生不同問題情境的分數詞 意義，首先依問題情境分「連續量問題情境」、「離散量問題情境」二部份探討學 生的分數詞意義，再分析學生在不同問題情境分數詞意義的差異。
壹、學生在「連續量問題」情境的分數詞意義
在分數教材上連續量問題是「部份／全部」關係的意義，用「部份－整體」
關係來說明分數時，學生只要有一組部份量參照整體量即可使用分數詞表徵分 量，但學生所掌握的部份量、整體量是否正確，影響其分數詞的正確性及也蘊含
著學生分數概念中的分數詞意義。研究者根據資料分析結果，發現受訪學生的分 數詞意義出現了以下幾種情形：
ㄧ、單位量和部分量混合使用單位詞
連續量情境中的分數問題，整體等分割後子分割單位的單位詞多由命題者或 解題者自行命名，缺乏常用之單位名字可以參照，因此，在本研究的連續量情境 問題，研究者先將其連續的整體離散化，子分割單位的單位詞則由研究者命名。
當連續的整體離散化後，在題目中會出現「整體 1(單位量)」、「部分量」及「等 分配數」三種量的單位詞，學生如果單位量概念正確，就能正確地以「整體 1(單 位量)」的單位詞，作為其表徵分量的分數之單位詞。研究者從訪談資料中發現，
基本題型能正確作答之學生仍會出現單位詞混淆的情形。在例 4-1 中，A1 題「一 個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，每個人可以吃到多少個蛋糕？」的問題中，
S2 學生在這一題的答案為「九分之ㄧ塊」，分數詞的單位是部份量的單位詞「塊」。 研究者提問「一塊是九分之一什麼？」，學生猶疑的回答「九分之一…塊」，這個 現象反映了，學生將其中部份量「塊」和單位量「個」的單位詞混合使用。另外，
A5 題「一根甘蔗平分成 15 段，1 段 1 段的分給 9 個人，每個人分到的甘蔗要一 樣多，每個人最多可以分得幾根甘蔗？」的問題中，S2 學生的答案為「十五分之 ㄧ段」，分數詞的單位是部份量的單位詞「段」。面對研究者提問「一段是幾根？」
時，學生回答「一段是…十五分之一段」，這樣的反應也顯示，學生混淆了部份 量「段」和單位量「根」的單位詞。
例 4-1
A1. 一個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，每個人可以吃到多少個蛋糕？
TA1 ：每個人可以吃到多少個蛋糕。你的答案是？
S2A1：九分之一。然後先九減九等於零然後再九分之一。
TA1 ：九分之一…什麼？
S2A1：九分之一塊。
TA1 ：每個人可以吃到九分之一塊蛋糕？
TA9 ：看哪裡？
S2A9：看1,8啊。
… …
S2B1：嗯。
TB1 ：結果你的答案是每個人可以吃到？
S2B1：一塊鬆餅。
TB1 ：一塊鬆餅。那這裡他問說每個人可以吃到多少個鬆餅，你的答案是六 分之一塊鬆餅，是指一個人可以吃到一塊還是六分之一塊。
S2B1：一個人可以吃到…每個人可以吃到一塊。
TB1 ：六分之一是六分之一個還是六分之一塊？
S2B1：嗯，六分之一塊。
… …
( 卷 3 2004/06/29 訪)
B7. 一個披薩等分成 14 片，老師拿出 12 片，平分給 6 個小朋友，一個小 朋友可以分到幾個披薩？
TB7 ：你的答案是一個小朋友可以分到幾個披薩？
S2B7：兩個披薩
… …
TB7 ：一個小朋友分到兩個披薩還是兩片披薩？
S2B7：兩片
TB7 ：兩片披薩，所以你的答案是吃到幾個披薩？
S2B7：兩片披薩，六分之二片披薩
TB7 ：兩片披薩跟六分之二片披薩有沒有一樣？
S2B7：有
… …
( 卷 3 2004/06/29 訪)
在訪談資料中「整體等分成 N 份，等分配數為 N」的 A1、B1 題，及「有餘數」
的 A5、B7 題，這些問題 S2 學生均能正確地以分數「1/N」表徵分量。但在例 4-1 的 A1 題中，S2 學生的答案是「九分之ㄧ塊」時，其分數詞單位名字已錯誤的使 用到部份量的單位「塊」。研究者與其確認一個人可以吃到一塊還是九分之一塊 時，S2 學生清楚的回答是吃到一塊；當研究者提問「一塊是九分之一什麼？」，
學生的回答卻出現「一塊是九分之一塊」之分數詞和部份量混用單位詞「塊」的 情形。在 B1 題「一個鬆餅等分成 6 塊，平分給 6 個人吃，每個人可以吃到多少 個鬆餅？」的問題中，S2 學生的答案是「六分之ㄧ塊」，分數詞同樣的錯用到部
份量的單位詞「塊」。當研究者提問「一個人可以吃到一塊還是六分之一塊？」
時，S2 學生回答「一塊」；對於研究者再確認「六分之一是六分之一個還是六分 之一塊」的問題，S2 學生還是回答「六分之一塊」，其分數詞混用了單位詞「塊」。
而在 A5 題，S2 學生的答案是「十五分之ㄧ段」，其分數詞單位也已錯用到部份量 的單位詞「段」。當研究者與其確認一個人分到幾根甘蔗時，S2 學生仍回答是分 到一段，但研究者追問「一段是幾根？」時，學生的回答則是「一段是十五分之 一段」，其分數詞和部份量亦混用了單位詞「段」。在這些問題上，S2 學生都出現 單位詞混淆的情形。另外，在例 4-15 中 B7 題「一個披薩等分成 14 片，老師拿 出 12 片，平分給 6 個小朋友，一個小朋友可以分到幾個披薩？」的問題，S2 學 生原回答「兩個披薩」。當研究者追問「一個小朋友分到兩個披薩還是兩片披薩？」
時，學生又更改為兩片，而在研究者與學生確認答案是吃到幾個披薩，S2 學生又 出現「兩片披薩，六分之二片披薩」的答案，這些現象都反映了，S2 學生有單位 量和部分量混合使用單位詞的情形。
例 4-1 的 A9 題「一個鬆餅，平分給 8 個人吃，每個人吃到 1 塊，可以說每 個人吃到幾個鬆餅？」問題中，S2 學生也能正確地以分數 1/8 表徵分量。但其答 案是「八分之一塊」，答案的分數詞錯用了部分量的單位詞「塊」。當研究者追問
「一塊是吃到八分之一什麼」時，S2 學生則不確定的回答「八分之一…嗯…」，出 現無法確認單位詞的情形。A15 題「一個蔥油餅平分成一塊一塊的，分裝到 2 個 袋子，每個袋子放 3 塊，還剩下 2 塊，可以說每一袋有幾個蔥油餅？」的問題中，
S2 學生給了「二分之四塊」的答案，其分數詞所使用的單位是部份量的「塊」。
這些反應顯示，S2 學生有單位詞混淆的問題。
研究者訪談的「連續量情境」問題中，雖然每一個題目中，皆出現「整體 1(單 位量)」單位名字的關鍵字。在例 4-1 中，A9 題的「每一個人可以吃到幾個鬆餅？」、 A15 題的「可以說每一袋有幾個蔥油餅？」、B7 題的「一個小朋友可以分到幾個
披薩？」，這些題目問句中的「幾個」都隱含著單位詞「個」。但 S2 學生的答案 還是「八分之ㄧ…嗯…」、「二分之四塊吧」、「六分之二片披薩」。在本研究中「連 續量情境」的分數問題，S1、S3、S4 學生其分數詞都能使用正確的單位詞。但是 由 S2 學生在 A1、A5、A9、A15、B1、B7 幾個問題中的回答，可以發現，S2 學生 在「連續量情境」呈現出單位量和部分量混合使用單位詞，以及無法確認單位詞 的單位詞混淆問題。
二、分數詞的分母參照錯誤
連續量情境中典型的分數問題，題目的訊息多為「將整體 1 平分成 N 等分」，
在題目會出現 1 及 N 二個數值。連續量離散化的題型，題目中則至少會有「整體 1(單位量)」、「等分配數」及「整體等分的份數」或「分得的份數」三種數值。
學生用分數表徵分量時，其分數詞的分母要從題目的訊息中辨認出「整體量」(整 體等分割的份數)。本研究發現，當學生用分數表徵分量時，分母的 N 所參照的 是不一定是整體等分割的份數，亦可能是平分成 N 等分的等分配數。如例 4-2 中 A1 題「一個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，每個人可以吃到多少個蛋糕？」
的問題，S2 學生的答案是「九分之一塊」。研究者追問 1/9 的 9 是指什麼」時，
學生的回答為「9 個人」，其中分母應參照整體量的「9 塊蛋糕」，但學生卻參照 到等分配數「9 個人」。另外在 A7 題「一個西瓜等分成 18 片，老師拿出 16 片，
平分給 8 個小朋友，一個小朋友可以分到幾個西瓜？」的問題中，S2 學生的答案 為「八分之二個西瓜」。其中分母應參照到整體量「18 片西瓜」，但學生卻參照到 等分配數「8 個小朋友」。這個現象反映了，學生有將分數詞中分母參照到等分配 數的單位量混淆情形。
例 4-2
A1. 一個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，每個人可以吃到多少個蛋糕？
TA1 ：每個人可以吃到多少個蛋糕。你的答案是？
S2A1：九分之一。然後先九減九等於零然後再九分之一。
S2A9：嗯。
TA9 ：喔，八就是指你剛剛比這裡說這裡的八個人。
S2A9：嗯。
… …
(卷 1 2004/06/23 訪)
TA9 ：你的答案是什麼？
S3A9：八分之一個
TA9 ：八分之一個鬆餅嗎？
S3A9：嗯。
TA9 ：好，告訴我為什麼你寫八分之一個？
S3A9：八分之一個，因為平分給八個人吃每個人吃到一塊
TA9 ：平分給八個人每個人吃到一塊，所以是八分之一個，那八是什麼意思？
S3A9 ：八就是八個人。
TA9 ：八就是指八個人？
S3A9：嗯。
… …
(卷 1 2004/06/24 訪)
TA9：一個人吃到幾個鬆餅？
S4A9：八分之一個
TA9 ：為什麼寫八分之一個？
S4A9：因為平分給八個人，每個人可以得到一塊 TA9：好，那個八指的是什麼？
S4A9：平分給八個人。
TA9：平分給八個人，那一呢？
S4A9：每個人吃到一塊
… …
(卷 1 2004/06/24 訪)
A15. 一個蔥油餅平分成一塊一塊的，分裝到 2 個袋子，每個袋子放 3 塊，
還剩下 2 塊，可以說每一袋有幾個蔥油餅？
TA15 ：你的答案是每一袋有幾個蔥油餅？
S2A15：應該是二分之四塊蔥油餅。
TA15 ：二分之四塊阿？
S2A15 ：嗯。
TA15 ：為什麼一個袋子是二分之四塊？
B7. 一個披薩等分成 14 片，老師拿出 12 片，平分給 6 個小朋友，一個小
TB9 ：你的答案是每個人可以吃到幾個鬆餅？
S4B9：四分之一個
TB9 ：每個人可以吃到四分之一個鬆餅。四指的是什麼？
S4B9：四就是平分給四個人的那個四
TB9 ：喔，四是平分給四個人的四，那一呢？一指的是麼？
S4B9：一就是指每個人可以吃到一塊。
… …
(卷 4 2004/07/01 訪)
B11. 一條土司麵包平分成一片一片的，分裝成 5 包，每一包有 3 片，可以 說每一包有條土司麵包？
TB11：每一包有幾條土司麵包？
S2B11：五分之三條
TB11：五分之三條，為什麼你的分母寫五？
TB11：五分之三條，為什麼你的分母寫五？