第四章 研究結果與討論
第三節 已知整體等分配結果問題之分數詞意義
本節主要探討學生對「已知整體等分配結果問題」的分量命名，其分數詞中 分子及分母數值所參照的意義。研究者先將訪談資料進行初步的分類(參見表 3-5-3)，分「已知每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」、「已知每一單位得到的 份數比 1 個多且無餘數」、「已知單一單位得到的份數及分配後的餘數」、「已知每 一單位得到的份數及分配後的餘數」，四個部分來探討學生命名的分數詞中分子 及分母的意義。再分析學生在「已知整體等分配結果問題」的分數詞意義。
壹、 「已知每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」問題的分數詞意義
「已知每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」的問題，題目內容中已提示等 分配數為 M，每一單位分到 1 等分。此種問題與將一整體量平分成 M 等分的題型 相同，只是將題目等分配結果中分得的部份量從未知改變為已知，而整體等分配 數從已知改變為未知的非典型分數問題。研究者從訪談中發現，學生在此類問題 中，雖然得出的分數答案是正確的，但訪談的回答則出現分數詞的分母參照到等 等分配數的情形。如例 4-16 的 A9、A10、B9、B10 題中，S2、S3、S4 學生在回 答分數詞的意義時，分母均參照到等分配數的「平分給 8 個人」(A9 題)、「平分 給 16 個人」 (A10 題)、「平分給 4 個人」(B9 題)、「平分給 9 個人」(B10 題)。
分數詞意義是將 1 和等分配數並置成分數。
例 4-16
A9. 一個鬆餅，平分給 8 個人吃，每個人吃到 1 塊，可以說每個人吃到幾 個鬆餅？
TA9 ：現在請你把你的答案唸一次，說一下你的答案是多少。
S2A9：八分之一塊。
TA9 ：喔，是八分之一塊鬆餅啊， 你為什麼會寫八分之一塊。
S2A9：看啊，用看的。
TA9 ：看哪裡？
S2A9：看1,8啊。
TA9 ：看這裡和這裡，那你的八指的是什麼？
S2A9：這個(手指著8個人)。
TA9 ：這是什麼？
S2A9：分母。
TA9 ：分母。喔，八放在分母，那你這八指的是這裡的八個人嗎？
S2A9：嗯。
TA9 ：喔，八就是指你剛剛比這裡說這裡的八個人。
S2A9：嗯。
…
(卷1 2004/06/23 訪)
TA9 ：你的答案是什麼？
S3A9：八分之一個
TA9 ：好，告訴我為什麼你寫八分之一個？
S3A9：八分之一個，因為平分給八個人吃每個人吃到一塊。
TA9 ：平分給八個人每個人吃到一塊，所以是八分之一個，那八是什麼意思？
S3A9 ：八就是八個人。
TA9 ：八就是指八個人？
S3A9：嗯。
…
(卷1 2004/06/24 訪)
TA9：一個人吃到幾個鬆餅？
S4A9：八分之一個
TA9 ：為什麼寫八分之一個？
S4A9：因為平分給八個人，每個人可以得到一塊 TA9：好，那個八指的是什麼？
S4A9：平分給八個人。
…
(卷1 2004/06/24 訪)
A10.一盒巧克力，平分給 16 個人，每個人得到 1 個，可以說每個人得到幾 盒的巧克力？
TA10：分到幾盒巧克力。你的答案是…
S2A10：嗯…十六分之一個。
TA10：巧克力。每個人分到十六分之一個巧克力。好，那你為什麼會寫十六 分之一？
S2A10：十六就是那個有十六個人。一就是那個，每個人可以分到一個。
TA10：那你這個十六意思就是指十六個人囉？
S2A10：對。
…
(卷1 2004/06/23 訪)
TA10 ：每個人可以得到幾盒巧克力，你的答案是？
S3A10：十六分之一盒
TA10 ：十六分之一盒，那你為什麼寫十六分之一？
S3A10：因為平分給十六個人，每個人得到一個 TA10 ：好，那十六指的是什麼？
S3A10：就分給十六個人
…
TA10 ：好，那你整個十六分之一盒的意思再說一次。
S3A10：就是那個…有…那個就是有十六人，然後…他說每個人可以得到一個 巧克力。
…
(卷1 2004/06/24 訪)
TA10 ：你的答案是多少？
S4A10：十六分之一盒。
TA10 ：十六分之一盒巧克力是不是？老師想知道你為什麼寫十六分之一盒？
S4A10：有十六個人，一盒巧克力，然後平分給十六個人，每個人要得到1個，
所以 就可以說分到十六分之一。
TA10 ：那你的十六指的是什麼？
S4A10：是十六個人
…
TA10 ：那你把十六分之一盒的意思再重新說一次，可以嗎？
S4A10：十六就是平分給十六個人，1就是每人分到1個巧克力。
…
(卷1 2004/06/24 訪)
B9. 一個鬆餅，平分給 4 個人吃，每個人吃到 1 塊，可以說每個人吃到幾
B10.一盒香皂平分給 9 個人，每個人得到 1 個香皂，可以說每個人得分到 幾盒的香皂？
TB10：每個人分到幾盒香皂，你寫的是幾盒？
S2B10：九分之一盒
TB10：九分之一盒？你怎麼會想到寫九分之一盒？
S2B10：因為平分給九個人
TB10：所以答案就是九分之一盒？好，那你那個九指的是什麼？
S2B10：平分給九個人
…
(卷3 2004/06/29 訪)
TB10 ：每個人分到幾盒香皂？
S3B10：九分之一盒
TB10：九分之一盒，你怎麼會想到寫九分之一盒？
S3B10：因為分給九個人
TB10：九是平分給九個人的九？
S3B10：嗯
…
TB10：好，那你把九分之一的意思再說一次
S3B10：就是有九個人，然後平分香皂，每人可以得到一個
….
(卷3 2004/06/30 訪)
TB10：你寫的答案是？
S4B10：九分之一盒
TB10：九分之一盒，好，那你那個九指的是什麼？
S4B10：是九個人
….
TB10：那你把九分之一盒的意思再說一次
S4B10：九就是有九個人，一是每人可以得到一個香皂
…
(卷3 2004/06/30 訪)
「已知每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」這類問題，在題目中除「整體 1(單位量)」外，僅出現「等分配數為 M」及「每一單位分到 1 等分」兩個訊息。
因為分得的部份量是已知的「1」，學生解決這一類問題只要將 1 和 M 並置即可正 確的用分數表徵分量，但其中的 M 卻不一定是學生透過等分配數 M 及部份量 1 反 向推算出來的整體量 M。研究者發現，例 4-16 中 A9 題「一個鬆餅，平分給 8 個 人吃，每個人吃到 1 塊，可以說每個人吃到幾個鬆餅？」的問題，S2 學生的答案 是「八分之一塊」，S3、S4 學生的答案均為「八分之一個」，分數詞的分母都是正 確的「8」。當研究者追問分母的 8 是什麼意思時，S2、S3、S4 學生均回答 8 就是 平分給 8 個人，分數詞的分母參照到等分配數「平分給 8 個人」。在 A10 題「一 盒巧克力，平分給 16 個人，每個人得到 1 個，可以說每個人得到幾盒的巧克力？」
的問題，S2 學生的答案是「十六分之一個」，S3、S4 學生的答案均為「十六分之 一盒」，分數詞的分母都是正確的「16」。但對於分母的意義，在研究者追問之下，
S2、S3、S4 學生的回答均指分母的 16 就是平分給 16 個人，以等分配數「16 個 人」為分母。在 B9 題「一個鬆餅，平分給 4 個人吃，每個人吃到 1 塊，可以說 每個人吃到幾個鬆餅？」的問題，S2、S3、S4 學生的答案都是正確的「四分之一 個」。當研究者追問分母的意義時，三名學生均認為分母的 4 是平分給 4 個人，
其分數詞的分母參照到等分配數「4 個人」。在 B10 題「一盒香皂平分給 9 個人，
每個人得到 1 個香皂，可以說每個人得分到幾盒的香皂？」的問題，S2、S3、S4 學生的答案亦均為正確的「九分之一盒」。當研究者請學生再說明「1/9」的意義 時，三名學生的回答均表示分母的 9 是平分給 9 個人。由上述資料可見，在「已 知每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」的問題，學生或許能用正確分數表徵分 量，但在分數詞的意義部份，其回答則會受題目訊息的影響，將分數詞的分母參 照到等分配數。
貳、 「已知每一單位得到的份數大於 1 且無餘數」問題的分數詞意義
「已知每一單位得到的份數大於 1 且無餘數」的問題敘述中，提示出等分配
數為 M，每一單位分到 a 等分(a＞1)。此種問題與將整體等分割成 N 份，平分成 M 等分的題型相同，只是將題目等分配結果中分得的部份量從未知改變為已知，
而整體等分配數從已知改變為未知的題型。學生面對此種問題要先將每一單位得 到的份數乘以等分配數（M×a），算出整體等分割的份數（全部內容物數量），再 以分得的部分量與整體等分割的份數並置，用分數表現其「部分－整體」關係。
研究者發現，部分學生在此類問題，雖然分數詞的分子是正確的，但分數詞的分 母卻出現參照到等分配數的情形。如例 4-17 的 A12 題，S2 學生的答案是「三分 之二盒」，分數詞的分母參照到等分配數「3 個班級」。在 B11 題中，S2、S3 學生 的答案是「五分之三條」，分數詞的分母參照到等分配數「分裝成 5 包」。在 B12 題中，S2、S3、S4 學生的答案均是「八分之二盒」，分母均參照到等分配數「8 個班級」。這些現象均反映出學生是將 a 和等分配數並置成分數，其分數詞分母參 照到等分配數的問題。
例 4-17
A12.一盒香皂分給 3 個班級，每班分到 2 塊，可以說每個班分得幾盒香皂？
TA12：你的答案是分到幾盒？
S2A12：三分之二塊
TA12：三分之二塊，那這個三是從哪裡來的？
S2A12：是三個班級
TA12：三是三個班級，這樣子嗎？那二呢？
S2A12：二是每班分到兩塊
…
TA12：所以每一班是三分之二塊，好，那你可以把三分之二塊的意思再完整 說一次嗎？
S2A12：三是三個班級，二是每班分到兩塊
…
(卷2 2004/06/25 訪)
B11. 一條土司麵包平分成一片一片的，分裝成 5 包，每一包有 3 片，可以 說每一包有條土司麵包？
TB11：每一包有幾條土司麵包？
S2B11：五分之三條
TB11：五分之三條，為什麼你的分母寫五？
S2B11：因為是分裝成五包
TB11：五是分裝成五包，那三呢？
S2B11：每一包裡面有三片
…
(卷3 2004/06/29 訪)
TB11：每一包有幾條土司麵包，你寫的是？
S3B11：五分之三條
TB11：五分之三條，為什麼你寫五分之三條？
S3B11：因為分裝成五包 TB11：因為分裝成五包
S3B11：然後每一包裡面有三片
TB11：每一包裡面有三片，五包，每一包裡面有三片，所以你認為答案是五 分之三條，那你這個五在這裏指的是分裝成的五包嗎？
S3B11：嗯
…
(卷3 2004/06/30 訪)
B12.把一盒巧克力分給 8 個班級，每班分到 2 塊，可以說每個班分得幾盒 巧克力？
TB12：你的答案是每個班分得幾盒巧克力？
S2B12：八分之二盒。
TB12：為什麼，你寫八分之二？
S2B12：這個八呢就是他說一盒巧克力要分給八個班級。然後這個二呢就代表 每班分到兩塊。
TB12：兩塊，八指的是什麼？
S2B12：八…是有八個班級。
….
(卷 4 2004/07/01 訪)
TB12：你的答案是每個班分得幾盒巧克力？
S3B12：八分之二盒巧克力
TB12：八分之二盒巧克力，你為什麼會寫八分之二盒？
S3B12：因為每班得到兩塊
TB12：因為每班得到兩塊，所以就是八分之二，這樣子，好，那八是什麼東 西？
S3B12：要分給八個班級
…
(卷 4 2004/07/01 訪)
TB12：你的答案是每個班分得幾盒巧克力？
S4B12：八分之二盒
TB12：八分之二盒，為什麼是分母是八？
S4B12：要分給八個班級
TB12：分母的八是指分八個班級嗎？
S4B12：是
…
(卷 4 2004/07/01 訪)
「已知每一單位得到的份數大於 1 且無餘數」這類問題，在題目中出現等「等 分配數為 M」、「每一單位分到 a 等分」兩個訊息。學生透過 M×a 的計算，便可算 出整體等分割的份數。因為分得的部份量是已知的「a」，學生解決這一類問題要
「已知每一單位得到的份數大於 1 且無餘數」這類問題，在題目中出現等「等 分配數為 M」、「每一單位分到 a 等分」兩個訊息。學生透過 M×a 的計算，便可算 出整體等分割的份數。因為分得的部份量是已知的「a」，學生解決這一類問題要