國小三年級學童分數詞意義之研究

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國立台中教育大學教育學系碩士論文

指導教授：游自達博士

國小三年級學童分數詞意義之研究

研究生：魏麗枝撰

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摘要

本研究旨在探索國小三年級學童分數詞意義之理解。研究者以筆試篩選出三年級基本分數題型能正確作答的四名學生進行訪談。根據訪談資料分析學生的分數詞概念，研究發現如下：一、在三年級已完成分數概念的教學之後，學生具備解決基本分數問題的能力，不代表其分數詞意義一定正確。二、在整體量已知、部份量未知的問題，學生之分數詞意義會因為題目隱藏部分量或未指名部分量，出現將分子參照到等分配數的錯誤。三、在部份量已知、單位量未知的問題，學生之分數詞意義會因為題目隱藏單位量或未指明單位量，出現將分母參照到等分配數的錯誤。四、整體等分割後取出部分數量平均分配的題型，學生會出現將分數詞的分母參照到取出分配的部分數量或等分配數的錯誤。五、對於分配後有餘數的題型，學生之分數詞意義會出現餘數不計入單位量，而將分數詞的分母參照到分配出去的數量之錯誤。最後根據研究結果，針對國小分數教材、教學及未來研究提出一些建議。 關鍵詞：分數、分數詞、整體量(單位量)

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A study of third-graders’ meaning of

the fraction words

Li-C hih We i

ABSTRACT

The purpose of this study was to investigate the third-graders’ understanding about the meaning of fraction words. Four third-graders who could correctly solve the fraction problems in a paper-pencil test were selected as research samples and then interviewed individually. Based on the data from student interviews, the main findings of this study were as follows：

(1) Third-graders who had learning experiences on fraction words and could solve simple fraction problems, might conceive fraction words incorrectly. (2) For the fraction problems with shared parts of each subject unknown, some

of the third-graders incorrectly referred the numerators to the number of subjects in the sharing activity.

(3) For the fraction problems providing the information of the shared parts of each subject only, some of the third-graders incorrectly referred the denominator to the number of subjects in the sharing activity.

(4) For the fraction problems with “n” parts to be shared from a whole with “m” parts in the whole partitioned, some of the third-graders incorrectly referred the denominator to the number of subjects in the sharing activity or the “n” parts.

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(5) For the fraction problems with un-exhausted sharing activity, i.e. problems with remainders after each subject getting some equal parts, some students altered the unit whole to the total number of parts shared, not the total number of parts partitioned.

Based on the findings, the researcher provide some recommendations for further research, the design of fraction activities in the math textbook, and the instruction of fraction.

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第一節研究動機與目的 ...1 第二節待答問題 ...5 第三節名詞釋義 ...6 第二章文獻探討...

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第一節分數的意義 ...10 第二節各版本分數初步概念教材安排之分析...27 第三節問題情境與單位量概念之探討 ...43 第三章研究方法...

54

第一節研究場地及對象 ...54 第二節研究工具 ...55 第三節研究之實施 ...61 第四節信度與效度 ...64 第五節資料分析 ...65 第四章研究結果與討論...

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第一節不同問題情境的分數詞意義...68 第二節已知整體等分割的份數問題之分數詞意義...102

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第三節已知整體等分配結果問題之分數詞意義...136 第四節綜合討論...166 第五章結論與建議...

174

第一節研究結論 ...174 第二節研究建議 ...177 第三節研究限制...180 第六章研究省思...

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參考文獻...

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一、中文部份 .... ...185 二、英文部份...188 附錄 ...

193

附錄一：紙筆測驗試題...193 附錄二：試探性研究...197 附錄三：訪談大綱...207 附錄四：訪談對象背景資料表...208 附錄五：訪談問題...209 附錄六：訪談時間表...213 附錄七：學生分數詞意義簡表...214

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圖表目次

圖 3-1 研究實施程序…...60 表 2-1-1 國內外學者分數意義詮釋表...12 表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表...16 表 2-2-1 仁林版分數教材之單元及教材內容分布...30 表 2-2-2 南ㄧ版分數教材之單元及教材內容分布...31 表 2-2-3 康軒版分數教材之單元及教材內容分布...31 表 2-2-4 翰林版分數教材之單元及教材內容分布...31 表 2-2-5 仁林版引入分數詞之教材安排與實例...33 表 2-2-6 南ㄧ版引入分數詞之教材安排與實例...34 表 2-2-7 康軒版引入分數詞之教材安排與實例...34 表 2-2-8 翰林版引入分數詞之教材安排與實例...35 表 2-2-9 仁林版問題情境及分數詞用語之教材安排與實例...37 表 2-2-10 南ㄧ版問題情境及分數詞用語之教材安排與實例...37 表 2-2-11 康軒版問題情境及分數詞用語之教材安排與實例...38 表 2-2-12 翰林版問題情境及分數詞用語之教材安排與實例...40

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表 3-2-1 筆試試題雙向細目表...57

表 3-2-2 訪談問題細目表...58

表 3-5-1：訪談問題情境分類表...64

表 3-5-2：「整體等分割份數已知」訪談問題分類表...65

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第一章緒論

第一節研究動機與目的

壹、研究動機 台灣地區國小階段數學課程中分數概念的教學，一向以等分的教材為出發，分數的啟蒙教學活動是把一個整體(單位量)等分割成為 n 等份，再合成其 m 份，引入命名為 n 分之 m，再以「兩量並置」之分數符號來表徵記為 m/n(周筱亭,黃敏晃,2001；國立編譯館,1993)，分數詞所蘊含的是部分與整體比較的「部分－整體關係」之意義。研究者曾經在一次國小三年級數學科分數加減單元的示範教學中，為了先瞭解學童的先備經驗，設計了「一個披薩，平分成 6 塊，1 塊可以說是幾個披薩？」的問題，請學生回答，幾乎全班學生都能正確回答出答案是「1/6 個」，並且能說出「平分成 6 塊，其中的 1 塊，是 1/6 個披薩」。為檢驗學童分數數詞及分數數字的意義，研究者又將學生以五或六人分成一組，設計了一個離散量情境的分數操作題：由於各組人數不同，部分組別無法將 6 個果凍完整分完，因此，與學生約定果凍要一個一個的分，不可以再切開來分。學生在操作活動後，有 1 個、1/6 盒、 1/5 盒三種答案，雖然未產生因餘量再分而使得單位分數內容物出現非整數個物的問題，部分組別卻出現了「單位量」受題目訊息影響改變的錯誤。情境：每一組發給一盒果凍，每盒中裝有 6 個果凍。佈題：請每一組把果凍一個一個的分給同組的小朋友，每個人分到的要一樣多，每人最多可以分到幾盒果凍？

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認為答案是「1/6 盒」的小組對於分數數詞分別有：「分給 6 個人，每人拿到 1 個，所以是 1/6 盒」、「一盒有 6 個果凍，每人拿到 1 個，所以是 1/6 盒」及「1 組有 6 個人， 1 個人拿到 1/6 盒」三種說法。學生的說法中，分數詞中分母的數字所對應的意義有「6 個人」和「一盒有 6 個果凍」兩種、分子的數字對應的也有「每人分到 1 個」和「1 個人」兩種意義，學生所命名的分數詞中，其分母及分子的數字參照的是哪一個量，是何種意義引發研究者探究的興趣。五個人一組的組別，答案大部分是「1/5 盒」，小組的說法是：「分給 5 個人，每人拿到 1 個，所以是 1/5 盒」及「分了 5 個果凍，每人拿到 1 個，所以是 1/5 盒」，其中分母的數字「5」所參照的量是被拿出來分配的「5 個果凍」以及分配的「5 個人」。研究者將題目設計為「整體內有 M 個個物，分配給 N 人，每人得到的完整個物一樣多，分配後有餘數」的問題，在這一次的教學活動中，學童進行簡單分數命名時，其分數的分母數字產生了參照到「被取出分配的 5 個果凍」以及「分配數 5 個人」兩種錯誤。因此，觸動研究者想了解學童進行分量命名時，命名之分數的分母數字所參照的是「整體量」？還是被取出分配的數量？亦或是分配量？九年一貫課程正式綱要數學領域第一階段能力指標 N-1-9 的內容為：能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題(教育部,2003)。九年一貫課程暫行綱要數學領域第一階段能力指標 N-1-7 的內容則為：在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境中(包含連續量、離散量)，理解真分數之初步意義(教育部,2000)。綱要中均強調分數概念的初步認識要在具體情境中進行，而在教學之具體情境應包含連續量及離散量之問題情境。李曉莉(1998)的研究曾指出二年級學童在處理離散量及連續量的分割問題採用的策略不同。由於不同問題情境的單位量計數性質不同，學童的解題方式可能也會產生不同，因此，研究者於使用離散量情境設計問題後，另外設計連續量情境問題，並請學生進行操作：

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在約定「巧克力要一格一格的分，不可以再切開來分」後，學生經過操作活動各自寫出答案，出現 2 片、2/12 片、2/10 片、2/6 片、2/5 片…數種答案。其分數數字的意義說法中：分母對應到的分別是「一片有 12 格」、「12 塊」「分了 10 格」、「分給 6 個人」、「分給 5 個人」等，分子對應的是「每人分到 2 格巧克力」、「2 格」。在這種連續量情境的題目，學童都以分到幾格巧克力為分子，但是分母卻出現「12 格」、「12 塊」、「10 格」、「6 個人」、「5 個人」…等不同的數字及意義。在這些答案中，有的學童以連續量的圖形來說明答案「一片有 12 格，其中的 2 格是 2/12 片」；有的學童以離散量來說明答案「總共有 12 塊，每人分到 2 塊，是全部的 2/12」。不同問題情境(離散量與連續量)的分量命名，學童所命名的分數詞，其分子及分母所參照的數值意義，是否也會因情境而有什麼不同？這些問題的探討也成為本研究的動機。以上討論的問題中，學生命名的分數，其分母（單位量）出現許多答案的同時，也使得研究者對於學生「單位量」的概念，產生濃厚興趣。於是研究者又另外給定「5/8 個」的分數詞，請學童擬出一個答案是「5/8 個」的分數問題，以了解學生以什麼樣的佈題來表示出分母的「8」，有許多學生擬出類似「一個蛋糕等分後，分給 5 個人一人一塊，還剩下 3 塊，請問 1 個人分到幾個蛋糕？」的題目。這一類未明確描述「整體 1 被等分割成幾份」而僅提出「已知整體被分配給數個單位後之結果」(以下簡稱「已知整體等分配結果」)的問題題型，在數學教科書分數教材中不曾出現過。研究者很訝異學童會設計出這種題型問題，同時研究者也懷疑學童是否能根據題目所提供的訊息，推算出整體被等分割成幾份(分母的數字)。而這種類型的問題，似乎可以提供探討學童能否能掌握「整體量概情境：每一組發給一片等分切成 12 格的巧克力片。佈題：請每一組把巧克力一格一格的分給同組的小朋友，每個人分到的要一樣多，每人最多可以分到幾片巧克力？

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念(單位量概念)」很好的線索。再者，綜觀國內目前各版本數學教科書的分數教材，題目的敘述多是給定整體量，有的是未等分配，有的是等分配結果已知，教學活動則要求學生將分量參照給定的整體量，用分數來表徵分量。整體等分配結果已知的問題部分，其分配到的分量已知，學生只要用部分量直接與給定的整體量並置，即可用分數表徵分量。整體量未等分配的問題部分，在連續量情境，學生只要將整體 1 窮盡分割即可獲得其單位分量；在離散量情境，其已知的全部內容物數量(整體量)也都可以被等分配完，學生透過操作活動就可以獲得分量，並用分配到的部分量與給定的整體量並置為分數來表徵分量。在現行的教科書中，顯少有用已知的等分配結果 (分量)逆向回來算整體量的題目，也不曾出現不能窮盡分配的問題。在國外 Hart(1981)的研究發現曾指出，學童會自行重定義整體量。從研究者在教學活動中，所觀察到在「等分配結果已知，整體量未知」，及整體等分割份數無法「整數個」窮盡分配的「有餘數」非典型分數問題中，學生的答案受訊息影響出現改變整體量的現象，也讓研究者對於研究學生在分數詞意義產生濃厚的興趣。九年一貫課程暫行綱要於九十學年度正式從一年級開始實施至今，正式綱要則於九十四學年度正式從一年級開始逐年實施。教師對所進行教學的內容需更能確實掌握兒童概念發展、建構的邏輯順序，才能有效的進行的教學活動設計，尤其是對小學學童在概念的學習歷程，需要相當長的時間，且不易學習的「分數」教材。近年來小學數學教育研究中，國內學者在分數概念方面的研究已逐漸豐富，有關分數的研究多集中於分數初始概念、等值分數概念及分數計算…之研究，對於學童所命名之分數詞中分母與分子的數字所參照的量是何種意義之研究則較少。因此，研究者以不同的佈題方式、不同的問題情境及不同的分配的結果，從學童命名之分數詞中分子及分母的數字所參照的量來探討學童的分數概念。

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貳、研究目的 本研究主要在於透過學童進行分量命名時其分數數詞中分子及分母所參照的數值之意義，來探討學童掌握單位量及部分量的能力及概念。基於上述，本研究的主要目的有：一、探討學童在不同的問題情境（連續量及離散量）下，其分數詞中分子及分母所參照的數值意義。二、探討學童對「已知整體等分割的份數將其等分配」問題的分量命名，其分數詞中分子及分母所參照的數值意義。三、探討學童對「已知整體等分配結果」問題的分量命名，其分數詞中分子及分母所參照的數值意義。

第二節待答問題

本研究所要探討之具體問題，基於前述之研究目的分述如下：一、學童在不同的問題情境（連續量及離散量）下，其分數詞中分子及分母所參照的數值意義為何？ 1.1 在連續量情境下，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？ 1.2 在離散量情境下，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？二、學童對「已知整體等分割的份數將其等分配」問題的分量命名，其分數詞中分子及分所參照的數值意義為何？ 2.1 在「整體等分割的份數能等分配分盡」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？

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2.2 在「整體等分割的份數等分配後有餘數」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？ 2.3 在「整體等分割後取出部分數量平均分配」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？三、學童對「已知整體等分配結果」問題的分量命名，其分數詞中分子及分母所參照的數值意義為何？ 3.1 在「已知整體等分配結果，每一單位得到的份數等於 1 且無餘數」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？ 3.2 在「已知整體等分配結果，每一單位得到的份數比 1 個多且無餘數」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？ 3.3 在「已知整體等分配結果每一單位得到的份數，及分配後的餘數」的問題中，學童命名的分數詞中分子及分母數字的意義為何？

第三節名詞釋義

一、離散量情境物件成一個一個獨立離散的狀態，其本身具有自然單位，在測量時以其自然的單位進行計數，此種量稱為離散量，例如：車輛、杯子…等。在未操作等分活動前，問題情境的整體「1」之內已有多個分離個物的離散量即為整體「1」是離散量的情境，簡稱離散量情境。離散量是不相連(dusconnected)的量，兒童能透過其分散的特性，很快的掌握單位內容物為「1」的單位分量。二、連續量情境物件呈連續的狀態呈現，其本身不具有自然單位，在測量時須以約定的測量

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工具之個別單位名稱(如：公分、公升、公斤…等)或自然語言之名稱(如：一條繩子，一張紙…等)描述之，此種量稱為連續量，例如：長度、重量、面積…等。在未操作等分割活動前，問題情境的整體「1」是一個連續的量即為是整體「1」是連續量的情境，簡稱連續量情境。連續量是相連的，其單位量必需透過約定產生，總量固定的連續量，可以進行不同的切割，產生不同的單位分量。三、單位量

單位量又稱為「整體量」（the whole），也叫做「單位整體量（unit whole）」，分數的「部份─整體」概念是一個整體等分後，紀錄其中被指定的部分與全體的關係，單位量就是「部份─整體」中的「整體」，處理分數問題首先必需具備單位量或整體量的概念。四、內容物總量在離散量情境下其以自然的單位進行計數後，以其計數後之數量為等分份數，細分成數個等量的部份，稱之為研究中為內容物總量。例：一盒有 6 個巧克力，分成 6 等分，此時 6 個巧克力為一盒巧克力之內容物總量。五、等分割等分割是指將一個單位量等分成數個等量的部份，在國小階段單位量等分割是引進分數概念的重要步驟。本研究中整體等分割的份數，在連續量情境是將一個連續量的整體等分成數個可計數之數量，在離散量情境是一個離散量的整體之內容物總量。六、等分配及等分配數整體等分割後將其等分割份數分給數個單位，而每一單位所分得的量一樣多，在本研究將其稱之為等分配。等分割份數分給的單位數量，在本研究將其稱之為等分配數。

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七、兩量並置單一個物經由分割活動將原單位量加以等分割後，產生數個(q 個)相等之新的量，以 p/q 來表示其部份量個數(p)和等分割後的總個數(q)之間的關係。或離散量之情境中，則是以 p/q 來表示部份個物數量(子集 p)和所有個物總數(集合) 之間的關係。此時 p/q 即是以兩量並置的方式呈現的分數符號表徵。八、單位分量及單位分數單一個物經由等分割活動將原單位量等分成數個相等的量，以所得的一份量做為新的單位，進行合成活動，此新的單位即為單位分量。例：以一條 1 公尺長的繩子為原單位量，將其等分為 3 等份，產生其中一等份為 1/3 公尺的單位分量，或以 3 個布丁裝成一盒，以整盒布丁個數 3 個為等分割份數，產生其中一個為 1/3 盒的單位分量，此時的 1/3 即為單位分數。簡言之，單位分數即是指分子為「1」的分數。九、單位分數內容物單位分數是指分子為「1」的分數，其「1」所內含的獨立個物或整體等分割後可計數之數量，稱之為單位分數內容物，依單位分數內容物的個數，可將分數問題分為單位分數所指示的內容為(1)單一個物(2)多個個物(3)非整數個個物三類。當學童未有測量運思前，學童較易接受單位分數內容物是單一個物，對於單位分數內容物是多個個物或非整數個個物則有較多的問題。十、單位分量累加單一個物經由等分割活動以所得的一份量做為新的單位，以此單位分量累加的結果來表徵其等分割後部份的量。例：以一條 1 公尺長的繩子為原單位量，將其等分為 5 等份，其中 3 等份以 3 個 1/5 公尺累加得為其分數詞為 3/5 公尺，或以 5 個布丁裝成一盒，將 1 個布丁以 1/5 盒為單位分量來表示，3 個布丁以 1/5

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盒布丁累加得其分數詞為 3/5 盒。此時的 3/5 公尺及 3/5 盒即為單位分數累加之分數數詞。十一、參照數值意義當學童以「兩量並置」及「單位分量累加」方式進行「部份─全部」關係分量命名時，學童以分數符號表徵每一單位所分得的分量。分數符號中的分母所參照的是整體等分割的份數、或整體等分配成數個單位的單位數等數值；分子所參照的是所分得的份數、或 1 個分配單位等數值，是本研究所稱之參照數值意義。

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第二章文獻探討

本章共分三節就兒童分數學習的主題提出探討，同時對於各版本數學教科書二、三年級分數教材安排進行分析，各節內容分別為：第一節探討分數意義與兒童分數概念的相關研究；第二節分析各版本數學教科書分數教材安排；第三節探討問題情境與單位量的概念。

第一節分數意義與分數概念的相關研究

在國小教育階段，分數(fraction)的學習在數學課程中一直深受重視，學童在低年級階段接觸點數物件的整數(1,2,3…)同時，也有許多分成一半、摺紙… 之等分割的經驗。在建立整數概念之後，學生也將經驗對於小於 1 的分量的描述，分數概念的學習與發展，乃成為數學學習的重要內涵。 壹、分數的重要性 在國小數學課程中，數的教材分為整數、分數、小數三類，其中分數與小數概念均由整數概念延伸而來，最近電算器的使用普及，測量上亦大多採用十進結構的公制系統，在紀錄、在生活上的應用小數似乎都比分數更為廣泛，因而，常有人質疑分數教材學習的必要性。分數的教材在數字概念與解題上到底有何重要性？以下從分數的發展到有理數概念及代數的數學知識等不同層面加以分析： 1.從數概念發展來看，數是以點數物件之整數(1,2,3…)為基礎，當用整數已無法描述一物件或情境時，不同於整數的數概念─分數、小數、有理數、無理數、實數、虛數等數概念逐漸於數系中產生，就抽象數系而言，分數在數

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系中始終占有非常重要的部份(李端明,1997)。分數的概念和小數、比、比例(ratio)、機率(probability)、百分率(percent)等數學概念有密切的關係，自從數系中發現了無理數之後，為了與其他數有所區別，以 p/q(p,q 皆為整數，q≠0)形式出現的分數從此亦被稱有理數，兒童需具備基本的分數概念後，才能進一步發展有理數概念。分數是基本代數運算的基礎，早期的分數概念不完備，在代數的學習就會產生困難 (Behr,Harel,Lesh & Post,1992；Behr & Post,1988)。

2.就生活情境而言，在日常生活中除了以自然數之單位可度量或計數之量外，更有許多自然數無法計數的量，面臨要度量一個與基準單位量不相等或被切割出來的量時，就必須產生自然數以外的計數單位，將原用來計數之基準單位量等分割成更小的單位量，以測量用非自然數之單位可度量或計數之量。以 p/q(p,q 皆為整數，q≠0)形式呈現的「分數」，就是非自然數表徵系統其中的一種 (呂玉琴,1996；劉秋木,2000)。分數用以表徵非整數的物件或情境，其概念的有效處理，可以增進學童了解及掌握真實世界問題的能力(楊瑞智,2000)。 3.就兒童心理發展而言，分數被用來解決不滿一個單位量的數值問題、度量自然數無法計數的量，在不同的生活情境及應用上，許多分析分數意義的研究中就指出依其不同之情境應用，分數則具有其多重的意義。它可以是兩個量之間的關係，亦可看成是一個單位或是一個數值(呂玉琴,1991b；李端明 ,1997；Behr et al.,1988；Kerslake,1986)。分數之多重及抽象化意義提供發展兒童智力及擴展心智結構，分數概念之完備，有助兒童建構基礎科學知識(楊瑞智,2000)。根據以上的分析可以了解，在國小階段分數的學習，有其必要性而且是非常重要的。

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貳、分數的意義 分數的概念就其抽象定義、情境的應用及兒童數概念的發展有不同的意義，其意義包含有理數、一對一的函數關係、由等價集所構成的「商」的場、用來表徵兩整數相除的「除式或商」、用單位分量來測量不滿一個單位量物體的「測量」、用分數數值來解釋兩個量(或集合)之間的比較關係的「比」、而在比的概念中，分數用來表徵一個量分割後所得之部份量與原整體量之關係時，其蘊含的是「部份－整體」關係、當分數具有運算的需求時，分數又可成為一個運算元。 Kieren（1976）將分數（有理數）定義為：分數是 p/q，其中 p 和 q 皆為整數，且 q 不等於零。數學家 Russell（1919）將分數 m/n 定義為當 an=bm 時存在於 a 與 b 之間的關係，m 與 n 在不為 0 的情況下，m/n 在有理數上的定義可以是非常明確的一對一的關係(引自劉秋木,2000)。Behr et al.（1992）認為有理數是由無限的等價集所構成的一個無限多的「商」的場，這個「商」的場內包含著無數等值的類，而等值的類中的一元，就是一個分數。以數學的定義來看，分數是有理數的概念是非常明確的。國內外許多學者分析分數在不同問題情境中認知意義的研究，都主張分數具有多重的意義（楊瑞智,2000；Behr,Lesh,Post & Silver,1983；Behr et al.,1992 ；Kieren,1976,1980,1988；Ohlsson,1988），學者們對於分數的意義提出不同的詮釋。以下就各學者提出的分數意義，列表分析如下：表 2-1-1 國內外學者分數意義詮釋表學者分數的意義 Behr, Lesh, Post, & Silver (1983)

認為分數有：分數測量(fraction measures)、比(ratio)、平均(含速率、密度) (rate)、商(quotient)、線性座標（linear coordinate）、小數(decimals)、運算元(operator) 七種不同的意義

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表 2-1-1 國內外學者分數意義詮釋表(續) 學者分數的意義 Behr et al. (1992) 認為分數的意義有五種建構：部分－整體(part-whole)、比(ratio)、商(quotient)、運算(operator) 、測量(measures) Kieren(1976, 1980,1988) 1976 年提出有理數的七種詮釋：分數(fractions)、小數(decimals)、比(ratio)、有序對(ordered pairs)、商(quotient)、測量(measures)、運算元(operator) 1980 年將其簡化為五種詮釋：部份－整體（part-whole）、比(ratio)、商(quotient)、測量(measures) 、運算元(operator) 1988 年再簡化為：

比 (ratio) 、商 (quotient) 、測量 (measures) 、多重運算子 (Multiplicative operators)

Ohlsson(1988) 將分數分為四種建構及十一種涵義：

1.商的函數(the quotient function)：包含等分除(partitioning)、包含除(extracting)、縮小(shrinking)、引出(educing)。

2.有理數(rational number)：包含分數(fractions)與測量(measures) 3.二元向量(a binary vector)：包含比(ratio)、內涵量(intensive quantities)、比例(proportion)、平均(含速率、密度) (rate)。 4.合成函數。

Nesher(1985) 認為分數有五種詮釋：

部份－整體（ part-whole ）、商 (quotient) 、比 (ratio) 、運算元

(operator)、機率（probability）。楊瑞智(2000) 就則其分析的結果提出分數有十種涵義： 1.部份／全部（連續量）。2.子集合／集合（離散量）。3.乘法運算元。4.等值分數。5.整數除法的結果。6.分數是一個數／數線上的一點。7.平均(含速率、密度)。8.當量。9.比例中的比／比例尺／比值／比較量÷基準量。10.機率等。

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甯自強(1993)則從量的子分割(subdivisional)活動及並置(juxtaposed)活動引入分數的意義。子分割活動是指將一個單位量打破的活動；並置活動是指將兩個量合併加以考慮的活動，且在考慮時各個量仍然維持其獨立的性質。子分割活動將一個單位量打破成為離散一群各自獨立的子分割單位(subdivisional subdivisional units)，兩個使用子分割單位形成的集聚單位被並置所形成的物件，稱之為並置類型(juxtaposed pattern)。子分割單位數值化的活動過程如果含有「部分－全體」的並置活動(將 1 和全體的子分割數量並置)，各個子分割單位數值化的結果就是單位分數；將子分割活動所得的結果予以單位化，並利用合成運思將分子及分母所指示的量加以整合，在分子與分母都是整數的情形下，分子和分母並置為一物構成的有序對就是分數 (甯自強,1993；Ning,1992)。在國小階段並沒有將全部的分數意義納入數學教材中，但依教育部頒布的九年一貫數學領域課程綱要(教育部,2003)之規定，在國小階段分數的意義仍是不少，國小階段分數有以下幾種意義：一、部份／全部（連續量）在「整體 1(單位量)是連續量」的問題情境中，將一個整體等分後，以分數來表示 N 個子分割單位的部分量和整體量之間關係，是「部份／全部」的分數意義。數學領域課程綱要的分段能力指標，將「部份／全部」意義的引入列在第一階段(1~3 年級)。二、子集合／集合（離散量）在「整體 1(單位量)是離散量」的問題情境中，由一個以上的物體所組成的整體中，以分數來表示 N 個物體合起來的部分量和整體量之間關係，是「子集合／集合」的分數意義。數學領域課程綱要的分段能力指標，亦安排在第一階段(1~3 年級)時引入「子集合／集合」意義。

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三、等值分數在存在一個整體中，等值分數用來表示不論在連續量或離散量情境中，兩個量的「部分－整體」相對關係不變。數學領域課程綱要的能力指標中，將「等值分數」意義安排在第二階段(4~5 年級)引入。四、分數是一個數／數線上的一點在數學領域課程綱要第二階段，將簡單的整數數線，延伸至分數數線，分數的意義擴展為數線上的一個點。位於數線上這個點的分數數值所表示的是當原點與單位長確定之後，這個點與原點和單位長與原點形成的相對關係。五、整數除法的結果當兩數相除無法用整數除盡時，其相除的結果用分數來表示，例如 3÷9=3/9 ，此時分數意義是整數除法的結果。六、平均(含速率) 用分數來表示兩種度量單位以其中一種為基準量相比較的結果，例如：速率是長度和時間比較的結果。七、比例中的比／比例尺／比值／比較量÷基準量當兩個集合或兩個度量相比的結果、比例尺的表示及比值用 p/q 來表示時，分數的意義是兩量比較的結果。其中整數除法的結果、平均(含速率)、比／比例尺／比值的意義，均被安排在數學領域課程綱要分段能力指標中第三階段(6 年級)引入。由以上之分析可以發現，「部份／全部」、「子集合／集合」二種意義是國小教材中最先出現的分數意義，國小分數概念的了解是影響未來學習數學的重要關卡，但是由於在國小階段分數就已有多種複雜的意義，顯見其學習的困難度，學生在分數概念的學習上有諸多的困難 (呂玉琴,1991b)。分數雖然在不同問題情境中的意義不同，但從分析中可以發現國小階段的分數都可以看到兩量關係，各

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種意義中都存在有「基準單位量」，因此，在分數啟蒙教學階段「部分－整體」關係的意義中，若未能建立良好的「單位量」概念，學童在其他分數意義的「基準量」概念發展也會因此產生困難。 參、分數概念的相關研究 過去分數概念的研究多引用國外文獻，在國內學者對分數教材之學習逐漸重視下，近年探討分數概念的學習的文獻逐漸豐富，國內外文獻的豐富更能了解台灣地區學童的分數概念問題。因此，研究者就國內外各相關研究的研究方法、對象及內容，列表說明如下：表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 1、2 年級紙筆測驗個別訪談吳宏毅 (2001) 探討國小低年級學童分數概念的整體表現，以及在等分概念、單位量概念、簡單分數、等量概念…等，分數子概念的表現 1.一年級學童具備一半的概念，二年級學童以 1/2 取代一半後，一半的概念反而模糊。 2.在等分的表現偶數比奇數的好；判斷公平的表現比平分好。 3.國字的分數名稱比分數符號容易讓學童接受。 4.連續量情境比離散量情境容易混淆單位量和部分量的單位詞。 5.以全部內容物為單位量，二年級的表現比一年級好。 1、2 年級問卷調查法陳瑞發 (2002) 探討國小低年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量三個子概念的表現，及學童在分數概念連結的表現 1.低年級學童在連續量等分問題的表現較離散量問題為佳。 2.部分二年級學童在處理簡單分數問題時，離散量情境問題易受分數符號中分子或分母的影響發生錯誤。 3.低年級學童會有忽略單位量的錯誤情形；部分學童傾向自行假設單位量進行解題。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 2 年級個案晤談李曉莉 (1998) 國小二年級兒童分數概念之研究 1.二年級學童在處理離散量及連續量的分割問題採用的策略不同。 2.在連續量情境中用來描述單位量、單位分量的分數詞，會有單位詞混淆的情形。 2 年級個別晤談教學實驗林福來黃敏晃呂玉琴 (1996b) 探討學生在正式學習分數之前的先備知識，並進行分數啟蒙的教學實驗 1.研究得知 90%以上學生已具備的先備知識包括：數數、將偶數個離散物二等份、使用一半、公平、平分等語詞的生活經驗。 2.實驗結果：約 90%的學生能操作連續量實物的二等分、三等分四等分與離散量實物的二等分、三等分、四等分及五等分。 3.能以二分之一、四分之一描述連續量分配的結果，奇數個物用二分之一表達結果仍有困難。 3 年級教學實驗個別晤談 Saenz- Ludlow (1994) 研究學生對於自然數的運思方式，探究其可能在分數概念上的應用 1.兒童若以自然數運思的方式，且具有彈性的單位化概念，則能成功的解決分數問題。 2.單位化概念的發展順序分成整數的複合單位、測量的部分整體基模－連續量情境、測量的部分整體基模－離散量情境、多重等分的協調及部分等分的協調基模。 3 年級教學晤談王淑芬 (2005) 兒童的分數概念研究：一個國小三年級的個案 1.研究假設學童的分數概念位於加法性分數概念。 2.在有理數的子概念解題活動，具有操作性顯著的子分割運思及單向的由部份去構成全體的關係，無法由全體決定部份的雙向關係的性質。 3.在分數的基本概念及使用解題活動：具有以分數詞表示部份在全體之中的並置關係及分數詞隱含算子的意義…等性質。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 3 年級行動研究魏麗枝、趙育敏、連麗菁、王清鋒、謝寒琪、劉克倫及林郁絲 (2004) 台中市永春國小三年級分數意義教學之行動研究學生分數概念的問題 1.等分概念部份：學生在圖形問題連續量情境比離散量情境容易發生等分錯誤。 2.部份量及單位量的概念部份：學生會出現以下幾種錯誤類型 a.單位量和部分量的單位詞混淆。 b.將分數詞的單位量及部份量數字倒置。 e.以等分配數為部份量或以等分配數為單位量。 d.以餘數為部份量、以餘數與分配數的和為部份量、以餘數與分得份數的和為部份量等錯誤情形。 e.以取出分配的部份為單位量、以分配數與餘數的和為單位量、以分得份數與餘數的和為單位量、以題目出現的較大數字和為單位量等情形。 3、4 年級個別教學實驗 Mack (1995) 探討學生以非正式知識建立分數意義時，先前整數意義的影響。 1.學生建構分數符號表徵意義時，常會受整數符號的過分概括，也常將分數符號意義過分概括至整數。 2.學生具有分數的非正式知識，但與分數符號知識無法連結。 3、4 年級紙筆測驗個別訪談游政雄 (2002) 探討台灣北部地區國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等量及等值分數等子概念的表現情形 1.學童普遍運用整數知識來處理分數問題，將分子、分母視為獨立的二個數。 2.判斷是否等分問題時，只注意到被分割數量，忽略分割後的每一塊是否相等。 3.連續量情境問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形。 4.一半語言的敘述問題比二分之一符號問題簡單。 5.面對餘量再分的問題時會自行增加或減少內容物。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 3、4 年級問卷調查法黃靖瑩 (2002) 探討國小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等值分數概念的表現及直觀規律的運用，最後分析犯錯誤類型的學童在分數概念的表現 1.學童處理一半問題優於等分問題，解自行等分問題優於判斷問題，判斷是否等分問題連續量情境表現優於離散量、直接敘述平分問題表現優於分數符號問題。 2.解單位分數問題表現優於解真分數問題。 3.一半語言敘述的問題的表現優於二分之一符號的問題。 4.習慣用全部內容物當單位量，面對餘量再分問題時會自行增減內容物改變單位量。 5.等值分數概念的表現出現受分母或分子控制的情形而錯誤解題。 3 至 5 年級臨床晤談 Nik pa (1987) 探討三種基本的分割基模及兒童的等值分數概念 1.三年級學生等分的概念尚未建立，處理集合與子集合關係時，無法察覺兩數間的部分與全體關係，四年級傾向以集合中的數目當作分母，五年級的學生能判斷兩個分數是等值，但無法解釋其意義。 2.並建立兒童數發展階段四種類型的分割基模，分別為撕裂基模、碎裂基模、分割基模與多對多比較基模。 3 至 6 年級紙筆測驗個別訪談林大錦 (2002) 探討三至六年級的兒童其分數部分的發展情形 1.三年級兒童的分數發展起於並置類型的活動，並獲得加法性分數活動的經驗。 2.四年級兒童的分數發展已察覺加法性分數的活動，獲得巢狀分數的初步經驗。 3.五年級兒童的分數發展是以巢狀分數活動為基礎，初步經驗有理數的共測單位分數。 4.六年級起於察覺巢狀分數活動，並獲得共測單位分數活動經驗。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 3 至 6 年級紙筆測驗張日齊 (2002) 由分數詞的評量探討國小學生分數概念的發展上的差異 1.三年級學生分數概念發展在起始單位分數階段。 2.四年級的分數概念發展已達到加法性分數概念。 3.五年級的分數概念以加法性分數概念為主，在概念的發展上，未超越四年級進入下一個階段，顯示由加法性分數發展至巢狀分數需較長的時間。 4 年級臨床晤談 Hunting (1983) 探討兒童的離散量分割知識為基礎建構的分數將離散量的單位型態分成：獨立單位、限定的獨立單位、限定子分割的獨立單位、限定子分割的複合獨立單位、未限定的獨立單位、未限定子分割的獨立單位、未限定子分割的複合獨立單位等七種。 4 年級個案研究李端明 (1997) 「分數詞」之解題活動類型：探討一個四年級兒童的分數概念該四年級兒童個案的分數詞概念位於加法性分數概念。 4、5 年級教學實驗紙筆測驗個別訪談 Behr, Lesh, Post, & Silver (1983) 探討學童在不同分數表示法中表示分數的方法以了解學生的迷思概念 1.在圖形中提供與解題條件一致或不一致的線索，會影響兒童形成分數符號的難易。 2. 不同的分割線索影響兒童答題正確性由易到難分別是，完全的線索→不完全的線索→不相干的線索→不一致的線索。 5 年級教學實驗 Hunting (1986) 探討兒童離散量分割知識的分數概念經過 5 個月的教學，發現五年級學生能用「子集/集合」的關係解決問題，但其基模並不穩固。 5 年級筆紙測驗與晤談湯錦雲 (2001) 探討國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型與錯誤原因分數概念錯誤形成的原因有： 1.過於依賴連續量的「部份/全部」模式。 2.「分數是數線上的一點」與「分數是數線上的線段長」概念混淆 3.受分數從分母讀起及直式中文順序語言的影響。 4.學生以自我的想法對文字或圖形進行解讀。 5.對於問題依據猜測作答，產生錯誤的簡易原則。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 5 年級原住民和非原住民學童紙筆測驗個別訪談陳和貴 (2001) 探討國小五年級學童的分數概念，分別瞭解屏東縣原住民和非原住民學童在分數概念的表現、常犯錯誤以及產生這些錯誤的可能原因學童在分數概念常犯的錯誤有： 1.缺乏『等分』概念。 2.忽略給定的單位量或對基準量的指認有困難。 3.將數線上的點表示分數時，未能考慮分數間的相對位置。 4.在『商』模式中，對於哪一個數該放在分子或分母的概念尚不清楚。 5.相對關係型概念較弱。 6.對於單位疏忽及缺乏判別多餘數字的能力。 5、6 年級面談測驗黃馨緯 (1995) 高年級學童分數數線表示法了解及分析造成錯誤類型的迷思概念學生分數錯誤的迷思概念成因有： 1.受過去學習的影響。 2.使用不合乎問題情境或無關的規則、策略。 3.缺乏分數相關知識或具備不完整的「部份─整體」概念。 4.受分數唸法之影響。 5.受教師教學及教科書描述所影響。 5、6 年級紙筆測驗個別訪談劉世能 (2001) 探討臺灣北部地區國小高年級學童分數概念的等分、簡單分數、分數單位量、等量及等值分數等子概念的表現情形 1.分數概念整體表現六年級學童表現較佳；仍會將分割數當成是分母的數字，而沒有注意到分割後的每一份是否相等。 2.學童仍會忽略單位量的大小，無法排除多餘資訊的干擾。 3.學童在處理連續量或離散量等值分數問題時，均出現受分母或分子控制的情形。 5、6 年級調查研究個別訪談龐嘉芬 (2001) 從真分數加減探討 64 年和 82 年版不同課程設計，國小高年級學童的分數概念與數學能力表現 1.大部分學童無法將「分數合成或分解」與生活連結。 2.五年級學童大多出現分數概念清楚，得分卻偏低的情況。 3.六學童則大多出現得分高，分數概念卻不清楚情況，高年級的學生在巢狀分數階段表現不佳。

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表 2-1-2 國內外國小學童分數概念相關研究一覽表(續) 研究對象研究方法研究者研究主題分數概念研究結果 5、6 年級問卷調查法詹婉華 (2002) 發展具良好信度、效度之「國小高年級學童分數概念量表」並探究國小高年級學童的分數概念。 1.學童在試題表現上，以單位量的表現最差。 2.等分概念的錯誤類型包括： a.未注意等分或忽略等分。 b.受題目中訊息的影響。 3.單位量概念的錯誤類型包括： a.未注意單位量不一定相等。 b.將總量視為單位量。 c.受題目訊息的影響。 d.以小數解答。 e.單位量錯誤或改變單位量。 4.等值分數概念的錯誤類型包括： a.受題目分數符號的自然數的影響。 b.未具細分並組合的能力。 c.未以相同的單位比較、不會比較。綜合以上對分數概念的研究，可以獲致以下的發現：一、在研究對象方面有關分數概念之研究以高年級學生為研究對象者最多，以中年級學生為研究對象多著重在四年級，分數的啟蒙教學初始概念之研究，則多以二年級為主，以三年級學生為研究對象研究之文獻最少。二、在研究方法方面國內外有關分數概念的研究方法包括紙筆測驗兼個別訪談、問卷調查法、教學實驗、個案晤談、調查研究等方法，其中以紙筆測驗兼個別訪談居多。三、在研究主題方面由於分數的初始意義部分是「部分－整體」關係，大部分低年級與中年級的研究問題多為探討學童分數概念的等分、簡單分數、單位量三個子概念的表現（王淑芬,2005；李曉莉,1998；吳宏毅,2001；林福來等,1996；陳瑞發,2002

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；游政雄,2001；黃靖瑩,2002；魏麗枝等,2004；Mack,1990,1995；Saenz- Ludlow,1994)；四年級部分討論到等值分數問題(Nik pa,1987)、也有從分數詞去探討兒童分數概念的研究(林大錦,2002；張日齊,2002)；高年級的研究問題大部分是分數計算的研究(陳和貴,2001；湯錦雲,2001；黃馨緯,1995；詹婉華,2002；劉世能,2001；龐嘉芬,2001) 四、整體而言分數概念研究有以下之發現 1. 學生運用整數知識來處理分數問題，將分子、分母視為獨立的二個數，比較分數大小時會直接將分子和分母分開來比。 2. 學童在判斷是否等分問題時，只注意到被分割數，忽略分割後的每一塊是否相等。 3. 連續量情境的問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形。 4. 面對餘量再分問題時，學童會自行增加或減少內容物。 5. 學童單位量概念的錯誤類型包括：未注意單位量不一定相等、將總量視為單位量、受題目訊息的影響、單位量錯誤或改變單位量。 肆、分數詞意義的概念發展 在討論學生的分數概念時，分割（partitioning）活動是被認為是分數概念學習的基礎及理解分數意義的關鍵（Behr, et al.,1983﹔Hunting,1996；Kieren, 1976, 1980,1988；Lamon,1996﹔Mcbride, & Lamb,1986﹔Nik Pa,1987；Piaget, Inhelder, & Szeminska,1960)。Nik pa(1987)以 7-11 歲兒童為研究對象，推測學童以撕裂基模、碎裂基模、分割基模與多對多比較基模等四個分割活動基模建立四個分數發展階段，分別為前反覆階段（Pre-iterative stage）、反覆階段（ iterative stage）、測量階段（measurement stage）、數值階段（numberical stage ）。甯自強(1993) 以 Nik pa 的研究為基礎，觀察學生對「分數詞」的理解，根

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據兒童在運思層次與分割活動的不同，提出以下兒童分數概念發展的五個階段，其論述在國小數學教育界廣受引用，國內許多有關學童分數概念發展的研究均引用其相關論述(王淑芬,2005；李端明,1997；林大錦,2002；張日齊,2002，龐嘉芬,2001)。現將其五個階段內容分述如下： 一、序列性合成運思與分數概念前身 序列性合成運思階段的兒童其分數詞所指向的數學物件多為「並置類型」，以分數詞 1/4 來說，其意義為「1 和 4」或「4 和 1」。雖然此階段兒童具有數概念與分割活動之經驗，在感官上能區分子分割單位是由被子分割活動所分割的單位量分割得來的，但這個階段的兒童在思維的層次上，其並置活動並非部份全體的並置，缺乏「部分－整體」關係的了解，無法使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義，「二分之一」只是將一物件分成離散的二部分，而不代表將物件等分為二份。（張日齊,2002；甯自強,1993 甯自強,1997a；Ning,1992） 二、累進性合成運思與起始單位分數 兒童若於分數的情境中引入累進性合成運思，其分數詞之意義稱之為「內嵌並置類型」(embedded patterns)，分數詞 1/4 是指由 1 所指涉的集聚單位內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中，其分子是內嵌於分母之中。此階段「內嵌並置類型」的並置關係是隱約的部份全部關係，可稱之為部份在全體之中 (part-in-whole) 。這個階段的兒童的分數詞意義是獨一單位指向 (singleton–unit oriented)而不是部份指向(part oriented），對於「一瓶汽水等分成 3 杯，1 杯是 1/3 瓶」的「1/3 」認為是「3 杯中的 1 杯」，而不是三個部分(3 個 1/3 瓶)中的一個部分(1 個 1/3 瓶)。在這階段不能進行單位分數的累積活動，兒童將兩個 1/4 合起來的結果可能是 2/8。（王淑芬,2005；張日齊,2002 ；甯自強,1993;甯自強,1997a；Ning,1992）

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三、部份─整體運思與加法性分數 經過部份整體運思的運作，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，自集聚單位中脫嵌（disembedding）而出，此時子分割單位轉換成為單位分數單位（unit fraction unit），分數詞 3/4 可以認定是代表 3 個由 1/4 所指示的單位分數單位所構成的集聚單位；分子與分母間的部份全部關係是部份獨立於全體之外（ part-of-whole ）。在這個階段的「部分與全體關係」是單向的關係（ uni-directional relationship），當從一個全部中連續取出二個不同分數，第一個分數的量被取走時，可能失去原來得全部量（例如：12 個中拿走 1/4，再拿走 1/3，學童在拿走 1/4 的 3 個後，會把剩下的 9 個當作整體量，再拿走 1/3 的 3 個）。在這個階段兒童只能用整數概念來解決幾個不同分數詞的問題，能將非單位分數視為單位分數的倍數，但無法理解分數的分數倍問題（例如：1/7 是 3/7 的 1/3 倍）。（王淑芬, 2005；張日齊, 2002；甯自強, 1993;甯自強, 1997a；Ning, 1992） 四、測量運思與巢狀分數 巢狀分數(nested fractions)是測量運思的產物，此階段兒童已能察覺到 8 個積木的 3/4 與 8 個積木的 6/8 是同一分量的測量值，測量運思階段的兒童能視分數單位為一個可子分割的分數單位，能判定 1/3 和 2/6 這兩個分數是一個整體的等值分數。這個階段的「部份與整體」關係是雙向的意義，能理解單位分數及整數的倒數關係，連續從一個整體中抽取出二個不同分數時，不會造成整體的數值的破壞。但是其「部分與整體」關係是不能分解的（例如：2 個紅色花片和 1 個藍色花片，能將 1 個藍色花片當作是全部花片的 1/3，但是無法同時將 1 個藍色花片看作是紅色花片的 1/2）。（王淑芬, 2005；張日齊, 2002；甯自強, 1993; 甯自強, 1997a；Ning, 1992）

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五、有理數概念 兒童的分數概念進步到有理數的數概念時，具有「部份─整體」關係的雙向分數概念，有等比例運思的概念，能夠將分數詞與它的情境背景的數值分開來，而同時思考兩個分數（例如 2/3、2/5），獨立運作分數間的關係。同時，此階段的兒童也能將「部分與整體」關係分解為「部分對部分」的關係，而且能以分數做為測量單位、擴展至等值分數的概念。(王淑芬,2005；張日齊,2002；甯自強 ,1993; 甯自強,1997b；Ning,1992) 九年一貫課程暫行綱要數學領域的安排，第一階段國小三年級的兒童能力是能用真分數描述分量及單位量的「部分－整體」關係，以及能做同分母分數的比較與加減。甯自強（1993）在討論分數詞的意義時，指出以「內嵌並置類型」為其分數詞意義的兒童，無法進行單位分數的累積活動。從以上有關分數概念的探討得知，能做同分母分數的加減的學童其分數詞概念要發展到加法性分數階段，能了解分數詞的意義是分子內嵌於分母之中的「部份－整體」關係。因此，檢驗兒童分數詞的分母及分子所參照的數值是問題情境中的哪一個量，以了解學童能不能掌握問題中的部分量及整體量，成為研究者探究的的焦點。 本節文獻對本研究的啟示 依本節分數意義分析結果，分數概念的啟蒙以「部份／全部」、「子集合／集合」是最先出現，也是最容易被兒童接受的二種分數意義。研究者將這二種意義都歸類於「部分－整體」關係，而要理解「部分－整體」概念的分數意義，「單位量概念」是非常重要的關鍵，所以研究者將問題情境、「單位量概念」都列為研究內容的主要重點。根據本節學童分數概念發展的分析顯示，國小三年級兒童的分數概念要發展

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到，能用真分數描述「部分－整體」關係，及能做同分母分數的比較和加減之加法性分數階段。如果學生的分數詞意義發展僅在「內嵌並置類型」，其分數概念停留在「部分在全體之中（part-in-whole）」的部分整體關係，即使學童學得一些解題的偏方，在分數的測驗中獲得高分，其單位分數與真分數的概念學習是不具發展性的，後續的分數學習將會產生許多困難。因此，研究者根據文獻所給予的啟示，研究的對象選取三年級的學童，在研究的方法上採取用紙筆測驗篩選對象個別訪談的方式，以確實了解學童分量命名產生分數詞的思考過程及影響其思考的「單位量概念」發展的情形。

第二節各版本分數初步概念教材安排之分析

國民小學教科書自民國八十五年開放審定以來，目前投入九年一貫數學領域教科書出版社之數學領域教科書，計有仁林、南一、康軒、翰林、國編等版本，本研究以 92 學年度三年級學生為研究對象，其使用之教材各版本一至三年級，是依據當時國民中小學九年一貫課程數學領域暫行綱要第一階段之能力指標安排分數的教材。由於本研究之研究範圍為分數命名之問題，因此，本節分為以下兩部分進行探討：一、九年一貫課程數學領域正式綱要及暫行綱要中的分數主題；二、國小數學教科書第一階段各版本分數初步概念教材分析。 壹、九年一貫課程數學領域正式綱要及暫行綱要中的分數主題 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育區分為四階段：階段一(1-3 年級)、階段二(4-5 年級) 、階段三(6-7 年級)和階段四(8-9 年級)。另將數學內容分為數與量(N)、圖形與

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空間(S)、統計與機率(D)、代數(A)、連結(C)等五大主題。分段能力指標以三碼編碼，其中第一碼表示主題，字母 N 表示「數與量」的主題；第二碼表示階段，以 1,2,3 表示第一、二、三階段；第三碼則是能力指標的流水號。在國民小學部份數學領域分數概念相關的能力指標主要在數與量的主題中，正式綱要另以階段能力指標演繹出分年細目，採分年進階式教學達成其教學目標。分年細目亦以三碼編排，其中第一碼表示年級；第二碼表示主題， n、s、a 、d 分別表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是表示該細項下分年細目的序號。正式綱要數學領域在第一階段(1-3 年級)能力指標及分年細目內容為： N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。本研究以 93 學年度三年級學生為研究對象，其使用之教材各版本一至三年級，則是依據當時國民中小學九年一貫課程數學領域暫行綱要第一階段之能力指標安排分數的教材。以下是九年一貫課程數學領域暫行綱要各階段能力指標：第一階段(1-3 年級) N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量) ，能以真分數(分母在 20 以內)描述內容物為單一個物的幾份，並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。第二階段(4-5 年級) N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分

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數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解、比較活動，並理解等值分數的意義。 N-2-6 在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決同分母分數的合成、分解、比較以及簡單整數倍的問題。第三階段(6-7 年級)之六年級 N-3-3 在具體情境中，理解通分的意義並運用通分解決異分母分數的合成、分解、比較問題。 N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分數和分數除以分數的問題。 N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果(除的結果為有限小數)。綜合以上之能力指標內容分析，九年一貫課程中分數的教材重點如下：一、國民小學在第一階段(1-3 年級)有關分數的能力指標在正式綱要只有「N-1-09 」一條，在暫行綱要則只有「N-1-7」一條。從能力指標中可知課程綱要中分數初步概念的教材安排有以下重點：要等分好、整體（單位量）為 1 之具體生活情境、需於具體情境中並兼顧連續量與離散量的情境、單位分數內容物為單一個物、以真分數描述內容物為單一個物的幾份。二、從第一階段的能力指標至第三階段六年級的能力指標內容得知，小學階段的分數學習均應在具體情境中進行，而低年級分數的學習應經由等分好、整體為 1 的具體生活情境中〈兼顧連續量與離散量〉建立分數的初步概念。三、暫行綱要中分數的意義在第一階段(1-3 年級)以真分數描述內容物為單一個物的幾份，至第二階段(4-5 年級)以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份，並理解等值分數的意義，然後以假分數或帶分數描述具體的量。均是在等分好之具體情境中，以分數來表徵一個部分量與整體單位量的數值關係之「部分─整體關係」意義。而至第三階段才發展出能用分數表示整數相除的結果及比的意義。正式綱要於第二階段(4-5 年級)四年級即發展在平

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分情境中分數之「整數相除」意涵。四、分數的計算在暫行綱要第一、二階段均設限在同分母分數的加減、比較問題，及分數的簡單整數倍的問題；至第三階段始運用通分解決異分母分數的加減、比較問題以及分數乘以分數和分數除以分數的問題。正式綱要則於第二階段五年級即需運用通分解決異分母分數的加減、比較問題。 貳、國小數學分數概念啟蒙教材分析 分數啟蒙教材的安排是教師發展學生分數概念的依據，為了解第一階段(1-3 年級)學童分數概念的學習狀況，以下就研究對象 93 學年度時學習之仁林、南一、康軒、翰林等版本的教科書，將第一階段(1-3 年級)之教科書有關分數的教材加以分析。 一、各版本第一階段分數教材之編排 九年一貫課程暫行綱要自九十學年度開始分段實施，第一階段（1-3 年級）於九十學年度由一年級開始實施、九十一學年度增至一、二年級實施、九十二學年度九年一貫課程實施至三年級，目前三年級即是第一批從九十學年度開始接觸九年一貫課程之學生，所使用的課本則為各出版社依據分段能力指標所編輯之教科書。為檢視學生是否均於三年級上學期完成真分數之說、讀、聽、寫的教學，以下就各版本一至三年級分數單元及教材內容分佈進行分析如表 2-2-1 至表 2-2-4：表 2-2-1 仁林版分數教材之單元及教材內容分布年級冊別單元教材內容節數三年級五 4 經驗分數的意義分母為 2、3、4 之單位分數的說、讀、聽、寫 4 三年級五 6 知道「分數、分母、分子」分母為 20 以內真分數的說、讀、聽、寫及大小比較 4

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表 2-2-1 仁林版分數教材之單元及教材內容分布(續) 年級冊別單元教材內容節數三年級六 3 同分母(分母為 20 以內)真分數的合成分解與加和減。(和<1) 5 (註：資料引自仁林版數學教科書第五冊(92 年版)、第六冊(92 年版)) 表 2-2-2 南一版分數教材之單元及教材內容分布年級冊別單元教材內容節數三年級五 6 1.在等分好的連續量或離散量的情境中，對等分成 2 、4、8、3、5、10 部分所得的單位分量加以命名。 2.在等分好的圓形版中，對等分成 n 等份所得的真分量加以命名。 3.知道「分數、分母、分子」及真分數的說、讀、聽、寫。〈2≦n≦20〉 7 三年級六 3 同分母(分母為 20 以內)真分數的分解合成。(和<1) 5 (註：資料引自南一版數學教科書第五冊(92 年版)、第六冊(92 年版)) 表 2-2-3 康軒版分數教材之單元及教材內容分布年級冊別單元教材內容節數二年級四 7 單位分量(分母為 20 以內)的意義和說、讀、聽、寫、做。 4 三年級五 8 認識分母在 20 以內真分數的意義、聽、說、讀、寫、做、數詞序列、「分數、分母、分子」的分數術語及比較單位分量的多少。 4 三年級六 4 同分母(分母為 20 以內)真分數的合成分解；及分母為 10 的分數加減。(和<1) 5 (註：資料引自康軒版數學教科書第四冊(91 年版)、第五冊及第六冊(92 年版)) 表 2-2-4 翰林版分數教材之單元及教材內容分布年級冊別單元教材內容節數三年級五 5 1.單位分量命名及單位分數的意義和說、讀、聽、寫、做活動。 2.分量命名及真分數的說、讀、聽、寫、做活動〈分母≦12〉。 5

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表 2-2-4 翰林版分數教材之單元及教材內容分布(續) 年級冊別單元教材內容節數三年級六 6 1.分母為 20 以內真分數的說、讀、聽、寫及數詞序列 2.同分母真分數的合成分解及加減問題(和<1)。 3.察覺和 1 等值的分數。 5 (註：資料引自翰林版數學教科書第五冊(92 年版)、第六冊(92 年版)) 綜合以上現行各版本數學教科書分數單元安排及教材內容分析如下： 1.林福來等(1993)在對二、三年級的分數教材分析曾指出，教科書中分數概念教學發展與整數相比，學習活動單元安排較少且學習時間也較短。90 至 92 學年度各版本教科書分數初步概念的教材除康軒版分別在二、三年級各有一單元設計 8 節課進行分數概念教學外，仁林、南一及翰林版均集中於三年級上學期設計 4 至 7 節課進行真分數意義的教學活動。整體而言，各版本仍然安排較少的分數概念學習活動單元、學習時間也較短。三年級的學生在這些學習經驗中可能學會了真分數的說、讀、聽、寫，但是，學生是否能了解其所使用的分數詞真正的意義，仍是需要探討的議題。 2.上述各版本的教科書均安排在三年級上學期完成分數啟蒙的教學，教材安排的順序亦均先從單位分量的命名(單位分數)開始。於建立分數的初始概念後，再進行真分量的命名，理解真分數(分母在 20 以內)的意義，及「分數、分母、分子」的分數術語，而同分母分數的合成及分解及加減問題(和<1)，則安排於三年級下學期進行教學。學生的分數初步概念在其三年級完成了理解真分數意義的教材學習之後，學生是否真的具備了「整體量概念」，理解其所使用的分數詞中所蘊含的部分量與整體(單位)量之間的關係，仍是值得探討的問題。

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二、各版本認識分數詞的教材安排與實例 此部分將各版本中引入分數數詞的教材，分為建立單位分量或分量的分數詞、建立分數數詞序列及分數詞中分母及分子意義之檢驗三部分，來討論各版本分數數詞及分數數字與分數原始意義間關係的教材安排，確認各版本是否均安排有單位分量及真分量的命名活動，並分析各版本引入分數詞的方式、建立單位分數、真分數數詞的情形。各版本內容如表 2-2-5 至表 2-2-8：表 2-2-5 仁林版引入分數詞之教材安排與實例方式冊別單元實例分數數詞建立情形五 4 1.(圖：半圓)是(圖：1 個圓)的一半，也可以說(圖：半圓)是 (圖：1 個圓)的二分之一，寫作 1/2。 2.把(圖：1 個圓)平分成 4 塊，4 塊中的 1 塊是(圖：1 個圓)的四分之一，寫作 1/4。 3.全部分成三等份，取其中的一份是全部的三分之一，寫作 1/3。 1.一個圓的一半與二分之一(1/2)的連絡。 2.1 塊與一個圓的四分之一(1/4)的連絡。 3.1 份與全部的三分之一 (1/3)的連絡。建立單位分量或分量的分數詞五 6 1.用色板拼拼看，2/5 是幾個 1/5 ？ 3/5 是幾個 1/5？ 4/5 是幾個 1/5？ 2.色板拼滿 3/10 是幾個 1/10？ 5/10 是幾個 1/10？ 8/10 是幾個 1/10？ 1.2/5 和 2 個 1/5， 3/5 和 3 個 1/5， 4/5 和 4 個 1/5 的連絡。 2.3/10 和 3 個 1/10，5/10 和 5 個 1/10，8/10 和 8 個 1/10 的連絡。建立分數數詞序列五 6 1.把全部分成 5 等份，取其中的 1 份，這 1 份是全部的五分之一，寫作 1/5。取其中的 2 份，是全部的五分之二，寫作 2/5。取其中的 3 份，是全部的幾分之幾？ 1.1/5、2/5、3/5、4/5 的數詞序列 (註：資料引自仁林版數學教科書第五冊(92 年版))

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表 2-2-6 南一版引入分數詞之教材安排與實例方式冊別單元實例分數數詞建立情形建立單位分量或分量的分數詞五 6 1.把 1 條巧克力平分成 2 段，1 段是二分之一條巧克力。 2.1 個大餅平分成 3 塊，1 塊可以記做 1/3 個，讀做三分之一個。 3.1 個圓形板平分成 4 份， 2 份可以說是四分之二個圓形板，記做 2/4。 1.1 段與二分之一條的連絡。 2.1 塊與 1/3 個(三分之一個)連絡。 3.2 份與四分之二個 (2/4 個)的連絡。建立分數數詞序列的連結五 6 1.1 個圓形板平分成 4 份，1 份可以說成幾個圓形板？ 2 份可以說成幾個圓形板？ 3 份是幾個圓形板呢？ 2.圓形板著色部分是幾個圓形？ (圖：圓形板色 1/8、2/8、 3/8、……7/8。) 3.把 1 張紙條平分成 9 份，1 份是幾張紙條？ 2 份呢？3 份呢？…… 1. 1/4、2/4、3/4、的數詞序列 2.1/8、2/8、3/8、…的數詞序列 3.1/9、2/9、3/9、…的數詞序列分數詞中分母及分子意義之檢驗五 6 1.1/6 的 6 記了什麼？1 記了什麼？ 1 個太陽餅裝成和 1/6 盒太陽餅一樣多嗎？ 1.1/6 中的分母和分子與單位量和部分量的連結 (註：資料引自南一版數學教科書第五冊(92 年版)) 表 2-2-7 康軒版引入分數詞之教材安排與實例方式冊別單元實例建立情形四 7 1.把一個草莓派平分成 4 份，其中的 1 份是四分之一個草莓派。 2.一包口香糖有 7 片，平分給 7 個人，每個人分到 1 片。一包有 7 片，1 片是 1/7 包。 1.1 份是四分之一個的連絡。 2. 1 片是 1/7 包的連絡。建立單位分量或分量的分數詞五 8 1.把一張紙平分成 4 格後，其中 1 格是 1/4 張，那麼其中 3 格 3/4 張。 1.1 格與 1/4 張的連絡。 3 格與 3/4 張的連絡。

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表 2-2-7 康軒版引入分數詞之教材安排與實例(續) 方式冊別單元實例建立情形建立分數數詞序列五 8 這是一條彩帶 1/8 條 2/8 條 3/8 條 4/8 條 1. 1/8、2/8、3/8、… 的數詞序列分數詞中分母及分子意義之檢驗五 8 1.把 5/12 個披薩塗上顏色，這個披薩平分成幾塊？你塗了幾塊？ 1.5/12 個中的分母和分子與單位量和部分量的連絡 (註：資料引自康軒版數學教科書第四冊(91 年版)、第五冊(92 年版)) 表 2-2-8 翰林版認識分數詞之教材安排與實例方式冊別單元實例建立情形建立單位分量或分量的分數詞五 5 1.1 張蔥油餅平分成 8 塊，1 塊蔥油餅也可以說成 1/8 張蔥油餅。 2.1 張色紙平分成 2 份後，可以說：（圖：1 份）是二分之一張（圖：色紙）。 3.1 張色紙平分給 4 個人，每人可以分得四分之一張色紙。 1.1 塊和 1/8 張蔥油餅的連絡。 2.1 份和二分之一張色紙的連絡。 3.每人分得的和四分之一張色紙的連絡。建立分數數詞序列結五 5 1.1 個蛋糕平分成 8 塊，弟弟吃了 1 塊，弟弟吃了八分之一個蛋糕。弟弟又吃了 1 塊，他共吃了幾塊？弟弟吃了幾個蛋糕？ 2.1 盒有 12 個，1 個是十二分之一盒，2 個是十二分之二盒， …… 1.1/8、2/8、3/8、…的數詞序列連結 2.1/12、2/12、3/12 、…的數詞序列。 (註：資料引自翰林版數學教科書第五冊(92 年版)) 綜合以上之分析，各版本在教科書中分數教材之安排有以下幾個趨勢： 1.認識分數詞之教材安排中分數數詞及分數數字與分數原始意義間的檢驗活