研究動機與目的

第一節 研究動機與目的

壹、研究動機

台灣地區國小階段數學課程中分數概念的教學，一向以等分的教材為出發，

分數的啟蒙教學活動是把一個整體(單位量)等分割成為 n 等份，再合成其 m 份，

引入命名為 n 分之 m，再以「兩量並置」之分數符號來表徵記為 m/n(周筱亭,黃 敏晃,2001；國立編譯館,1993)，分數詞所蘊含的是部分與整體比較的「部分－

整體關係」之意義。研究者曾經在一次國小三年級數學科分數加減單元的示範教 學中，為了先瞭解學童的先備經驗，設計了「一個披薩，平分成 6 塊，1 塊可以 說是幾個披薩？」的問題，請學生回答，幾乎全班學生都能正確回答出答案是「1/6 個」，並且能說出「平分成 6 塊，其中的 1 塊，是 1/6 個披薩」。

為檢驗學童分數數詞及分數數字的意義，研究者又將學生以五或六人分成一 組，設計了一個離散量情境的分數操作題：

由於各組人數不同，部分組別無法將 6 個果凍完整分完，因此，與學生約定 果凍要一個一個的分，不可以再切開來分。學生在操作活動後，有 1 個、1/6 盒、

1/5 盒三種答案，雖然未產生因餘量再分而使得單位分數內容物出現非整數個物 的問題，部分組別卻出現了「單位量」受題目訊息影響改變的錯誤。

情境：每一組發給一盒果凍，每盒中裝有 6 個果凍。

佈題：請每一組把果凍一個一個的分給同組的小朋友，每個人分到的要一 樣多，每人最多可以分到幾盒果凍？

認為答案是「1/6 盒」的小組對於分數數詞分別有：「分給 6 個人，每人拿到 1 個，所以是 1/6 盒」、「一盒有 6 個果凍，每人拿到 1 個，所以是 1/6 盒」及「1 組有 6 個人， 1 個人拿到 1/6 盒」三種說法。學生的說法中，分數詞中分母的數 字所對應的意義有「6 個人」和「一盒有 6 個果凍」兩種、分子的數字對應的也 有「每人分到 1 個」和「1 個人」兩種意義，學生所命名的分數詞中，其分母及 分子的數字參照的是哪一個量，是何種意義引發研究者探究的興趣。

五個人一組的組別，答案大部分是「1/5 盒」，小組的說法是：「分給 5 個人，

每人拿到 1 個，所以是 1/5 盒」及「分了 5 個果凍，每人拿到 1 個，所以是 1/5 盒」，其中分母的數字「5」所參照的量是被拿出來分配的「5 個果凍」以及分配 的「5 個人」。研究者將題目設計為「整體內有 M 個個物，分配給 N 人，每人得到 的完整個物一樣多，分配後有餘數」的問題，在這一次的教學活動中，學童進行 簡單分數命名時，其分數的分母數字產生了參照到「被取出分配的 5 個果凍」以 及「分配數 5 個人」兩種錯誤。因此，觸動研究者想了解學童進行分量命名時，

命名之分數的分母數字所參照的是「整體量」？還是被取出分配的數量？亦或是 分配量？

九年一貫課程正式綱要數學領域第一階段能力指標 N-1-9 的內容為：能在具 體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題(教育部,2003)。

九年一貫課程暫行綱要數學領域第一階段能力指標 N-1-7 的內容則為：在等分 好、整體 1 能明顯出現之具體情境中(包含連續量、離散量)，理解真分數之初步 意義(教育部,2000)。綱要中均強調分數概念的初步認識要在具體情境中進行，

而在教學之具體情境應包含連續量及離散量之問題情境。李曉莉(1998)的研究曾 指出二年級學童在處理離散量及連續量的分割問題採用的策略不同。由於不同問 題情境的單位量計數性質不同，學童的解題方式可能也會產生不同，因此，研究 者於使用離散量情境設計問題後，另外設計連續量情境問題，並請學生進行操作：

在約定「巧克力要一格一格的分，不可以再切開來分」後，學生經過操作活 動各自寫出答案，出現 2 片、2/12 片、2/10 片、2/6 片、2/5 片…數種答案。其 分數數字的意義說法中：分母對應到的分別是「一片有 12 格」、「12 塊」「分了 10 格」、「分給 6 個人」、「分給 5 個人」等，分子對應的是「每人分到 2 格巧克力」、

「2 格」。在這種連續量情境的題目，學童都以分到幾格巧克力為分子，但是分母 卻出現「12 格」、「12 塊」、「10 格」、「6 個人」、「5 個人」…等不同的數字及意義。

在這些答案中，有的學童以連續量的圖形來說明答案「一片有 12 格，其中的 2 格是 2/12 片」；有的學童以離散量來說明答案「總共有 12 塊，每人分到 2 塊，

是全部的 2/12」。不同問題情境(離散量與連續量)的分量命名，學童所命名的分 數詞，其分子及分母所參照的數值意義，是否也會因情境而有什麼不同？這些問 題的探討也成為本研究的動機。

以上討論的問題中，學生命名的分數，其分母（單位量）出現許多答案的同 時，也使得研究者對於學生「單位量」的概念，產生濃厚興趣。於是研究者又另 外給定「5/8 個」的分數詞，請學童擬出一個答案是「5/8 個」的分數問題，以 了解學生以什麼樣的佈題來表示出分母的「8」，有許多學生擬出類似「一個蛋糕 等分後，分給 5 個人一人一塊，還剩下 3 塊，請問 1 個人分到幾個蛋糕？」的題 目。這一類未明確描述「整體 1 被等分割成幾份」而僅提出「已知整體被分配給 數個單位後之結果」(以下簡稱「已知整體等分配結果」)的問題題型，在數學教 科書分數教材中不曾出現過。研究者很訝異學童會設計出這種題型問題，同時研 究者也懷疑學童是否能根據題目所提供的訊息，推算出整體被等分割成幾份(分 母的數字)。而這種類型的問題，似乎可以提供探討學童能否能掌握「整體量概

情境：每一組發給一片等分切成 12 格的巧克力片。

佈題：請每一組把巧克力一格一格的分給同組的小朋友，每個人分到 的要一樣多，每人最多可以分到幾片巧克力？

念(單位量概念)」很好的線索。

再者，綜觀國內目前各版本數學教科書的分數教材，題目的敘述多是給定整 體量，有的是未等分配，有的是等分配結果已知，教學活動則要求學生將分量參 照給定的整體量，用分數來表徵分量。整體等分配結果已知的問題部分，其分配 到的分量已知，學生只要用部分量直接與給定的整體量並置，即可用分數表徵分 量。整體量未等分配的問題部分，在連續量情境，學生只要將整體 1 窮盡分割即 可獲得其單位分量；在離散量情境，其已知的全部內容物數量(整體量)也都可以 被等分配完，學生透過操作活動就可以獲得分量，並用分配到的部分量與給定的 整體量並置為分數來表徵分量。在現行的教科書中，顯少有用已知的等分配結果 (分量)逆向回來算整體量的題目，也不曾出現不能窮盡分配的問題。在國外 Hart(1981)的研究發現曾指出，學童會自行重定義整體量。從研究者在教學活動 中，所觀察到在「等分配結果已知，整體量未知」，及整體等分割份數無法「整 數個」窮盡分配的「有餘數」非典型分數問題中，學生的答案受訊息影響出現改 變整體量的現象，也讓研究者對於研究學生在分數詞意義產生濃厚的興趣。

九年一貫課程暫行綱要於九十學年度正式從一年級開始實施至今，正式綱要 則於九十四學年度正式從一年級開始逐年實施。教師對所進行教學的內容需更能 確實掌握兒童概念發展、建構的邏輯順序，才能有效的進行的教學活動設計，尤 其是對小學學童在概念的學習歷程，需要相當長的時間，且不易學習的「分數」

教材。近年來小學數學教育研究中，國內學者在分數概念方面的研究已逐漸豐 富，有關分數的研究多集中於分數初始概念、等值分數概念及分數計算…之研 究，對於學童所命名之分數詞中分母與分子的數字所參照的量是何種意義之研究 則較少。因此，研究者以不同的佈題方式、不同的問題情境及不同的分配的結果，

從學童命名之分數詞中分子及分母的數字所參照的量來探討學童的分數概念。

貳、研究目的

本研究主要在於透過學童進行分量命名時其分數數詞中分子及分母所參照 的數值之意義，來探討學童掌握單位量及部分量的能力及概念。基於上述，本研 究的主要目的有：

一、探討學童在不同的問題情境（連續量及離散量）下，其分數詞中分子及分母 所參照的數值意義。

二、探討學童對「已知整體等分割的份數將其等分配」問題的分量命名，其分數 詞中分子及分母所參照的數值意義。

三、探討學童對「已知整體等分配結果」問題的分量命名，其分數詞中分子及分 母所參照的數值意義。