綜合討論

本研究中，以分數基本題型能正確作答學生為訪談對象，欲探討這些學生在 不同情境、不同題型的分數問題，其分數詞的意義。以下就個別學生的分數詞意 義、各種不同題型學生的分數詞意義表現及本研究結果與相關文獻之綜合比較進 行討論。

一、不同學生之分數詞意義

本研究中受訪學生的分數詞各有不同意義，並顯現出不同的單位量概念問 題。S3 學生在不同情境、不同題型的題目都能正確使用單位詞，但在分數詞的意 義部分，分子及分母都出現參照錯誤的情形。在「整體等分割份數已知」題型，

「離散量情境」中有半數以上題目，其分數詞之分子均參照到等分配數。在分母 意義部分，S3 學生在「整體等分配結果已知」題型，也有將近半數的題目，其分

數詞的分母參照到等分配數。而在「整體等分割後取出部分數量平均分配」，及

「整體等分配結果已知，且等分配結果有餘數」這類「有餘數」的問題，S3 學生 每一題的答案，卻都出現餘數不計入單位量，分數詞的分母參照到取出分配的部 分數量(或分配出去的數量)的錯誤，甚至出現以等分配數和取出分配的部分數量 並置為分數，分數詞分子及分母都參照錯誤的情形。整體而言，S3 學生對於不 同類型的分數問題，分數詞會出現不同的錯誤意義(參見附錄七-1)。S3 學生雖然 在基本題型能正確作答，但在本研究中卻出現多種錯誤的分數詞意義，由此可見 S3 學生的「單位量概念」存在許多問題。

S2 學生在單位詞部分，「連續量情境」及「離散量情境」都有單位量和部份 量混用使用單位詞或無法確認單位詞之情形，在不同情境出現的頻率部份，S2 學 生在連續量情境中出現單位詞渾淆高於離散量情境。在分數詞的意義部分，S2 學 生對於部分量的知覺能力較佳，除了有一題出現分數詞的分子參照錯誤外，分子 大部份能正確的參照到已知或計算所得的部分量。在分母的意義部分，S2 學生在 離散量及連續量問題情境都有半數以上的題目，出現分母參照到等分配數的問題 (參見附錄七-2)。且特別的現象是，這些題目不論 S2 學生答案正確與否，其分 數詞的分母都參照到等分配數，在上述的情形顯示 S2 學生的「單位量概念」並 不完備。此種現象值得注意的是，學生對於典型的分數問題，或許能正確的用兩 量並置的方式以分數表徵分量，但其分數詞意義可能只是「部分/等分配數」的 兩量並置而已；而不是分數意義的「部分－整體」關係。

S4 學生在訪談中未曾出現單位詞混淆的情形。在分子意義部分，S4 學生對 於部分量也有不錯的知覺能力，除了有一題偶發的出現分子參照到「整體等分割 份數」的錯誤外，其分數詞之分子亦均正確的參照到等分配數。而在分母意義部 分，S4 學生在「整體等分配結果已知」的題型有近半數的題目，其分數詞的分母 參照到等分配數；而在「整體等分割後後取出部分數量平均分配」，及「整體等

分配結果已知，且等分配結果有餘數」這類「有餘數」的問題，S4 學生則均出現 餘數不計入單位量，分母參照到取出分配的部分數量(或分配出去的數量)的錯 誤。從上述 S4 學生在不同題型的反應顯示，學生的分數詞意義會受題目中提供 得訊息及餘數的影響而產生不同錯誤(參見附錄七-3)。上述 S4 學生所出現不同 分母數值參照錯誤的反應，多出現在教科書中並未曾出現的非典型分數問題中，

在本研究中，S4 學生是因缺乏這些類型問題的學習經驗，而出現這種錯誤答案，

或是對於此類問題學生有分數詞概念理解的問題，則有待進一步的研究。

S1 學生在分數單位詞部分，對於不同情境、不同題型的問題都能正確使用單 位詞。在分數詞意義部分，其分子均能正確的參照到分得的部分量。在分母意義 部分，大部分的問題也都能知覺單位量，分母正確的參照到整體等分割的份數。

對於「整體等分配結果已知，且等分配結果有餘數」的問題，S1 學生在計算時能 將餘數計入單位量，分母正確的參照到整體量。在所有受訪學生中 S1 學生的對 單位量的知覺能力最佳。但在「整體等分割後取出部分數量平均分配」的題型中，

同樣是有餘數的問題，雖然題目中已明確告知整體等分割的份數，S1 學生的答案 則均出現以取出分配的部份數量為分母的錯誤(參見附錄七-4)。Hunting 在研究 中 將 單 位 型 態 分 為 單 位 量 已 知 及 單 位 量 未 知 兩 個 系 統 ( 黃 權 貴 ,2002;

Hunting,1983)。從上述 S1 學生的訪談反應顯示，面對有餘數的問題，學生在單 位量未知系統比在單位量已知系統反而容易掌握單位量。而 S1 學生僅在「取出 部分數量平均分配」的問題，分母參照錯誤的反應，是因教科書中並未出現這類 非典型的分數問題，學生因學習經驗不足而有這種答題現象，或是對於此類問題 學生有特定的迷思，仍有待後續的研究進一步探討。

二、分數詞意義受題目隱藏部分量或未指名部分量影響

對於整體等分割份數已知且沒有餘數的題型，這類整體量等分配後能窮盡的

問題，題目所敘述的等分割份數就是分母所需參照的整體量。在本章第二節的討 論中發現，除了 S2 學生分數意義是「部分/等分配數」的兩量並置，而有分數詞 分母意義錯誤的情形之外，其餘三位學生分數詞的分母都能正確的參照到整體等 分割份數。在分子意義部分，大部分的受訪學生也能透過計算獲得部分量，正確 地將分數詞的分子參照到分得的部分量。但本研究仍發現 S3 學生在「離散量情 境」中的多個問題，其分數詞之分子參照到等分配數。研究者從學生分數詞的分 子參照到等分配數的問題中發現，當部分量已知時，學生能正確的將分數詞的分 子參照到分得的部分量。當題目中隱藏部分量或未指名部分量時，部分學生會自 行更改分數詞分子的意義，將分子參照到題目中的等分配數；而在離散量情境又 比連續量情境容易出現分子參照錯誤的情形。

三、分數詞意義受隱藏單位量或未指明單位量影響

隱藏單位量或未指明單位量的問題，在本研究中屬於分得份數已知的題型。

除「整體 1(單位量)」外，還出現「等分配數為 M」及「每一單位分得的份數」

兩個訊息。在本研究受訪學生此類型的答案都能以 M 為分母，但三名受訪學生在 回答分數詞的分母意義時，將分母參照到了等分配數。除了在受訪學生個人的分 數詞意義的討論中，S2 學生的分數意義是「部分/等分配數」的錯誤型態外，另 外 S3、S4 學生也在單位量未知的問題中出現分母參照到等分配數的錯誤。從上 述問題學生分數詞的分母參照到等分配數的錯誤中發現，如果題目中隱藏單位量 或未指明單位量，部分學生則會受題目訊息的影響，自行更改分數詞分母的意 義，將分母參照到題目中的等分配數。

四、分數詞意義受餘數影響

對於有餘數的問題，在「整體等分割後取出部分數量平均分配」的題型中，

除了受訪的 S3 學生在部份題目會出現分子參照到分配數的問題外；雖然分得的 部分量未知，其餘三名學生都能透過計算得到部分量，分子正確的參照到分得的 份數。而在分母的意義部分，雖然整體等分割的份數是已知的，受訪學生分數詞 中分母的參照卻都出現錯誤。S2 學生因分數意義是「部分/等分配數」的兩量並 置，在有餘數的題目，仍出現分母參照到等分配數的錯誤。其餘三名學生在「整 體等分割後取出部分數量平均分配」的題型中，則出現分母參照到取出分配的部 份數量的情形。在「平分給 M 個人，每個人分到 a 等分，a＞1、剩下 b 等分」之 題型，除了 S2、S3 學生在多個訊息的影響下，分子的參照各有 1 題出現偶發性 的錯誤外，其餘二位學生都能正確的將分子參照到分得的部份量。在分母意義部 分，除 S2 學生仍出現分數詞的分母參照到等分配數的問題之外，S3、S4 學生則 將分數詞的分母則參照到被分配出去的總量。

從受訪學生的這些現象顯示，對於「有餘數」的問題，學生會受題目中餘數 及題目提供訊息的影響，自行更改給定的單位量，或餘數不計入單位量。分數詞 的分母參照到等分配數或「取出分配的部份數量(分配出去的總量)」。這種現象 值得注意的是，在現行各版本的教科書的中，「有餘數」分數問題是部曾安排進 入分數教材的非典型分數問題。因此，對於整體等分割份數就是等分出去的數 量，這種基本題型能正確作答的學生，教師在教學活動中，往往很難在學生的答 案中發現其單位量概念問題。本研究中，學生將餘數不計入單位量的表現，就反 映出了，學生的單位量概念中，以等分出去的數量為單位量的錯誤。

五、學生有正確分數詞意義之非典型分數問題

本研究中設計許多與教科數中分數問題不同的題型，來探討學生的分數詞意 義。研究者發現在連續量情境屬非典型分數問題的「整體等分成 N 等分，等分配

數為 M，N/M 有餘數」題型，受訪學生均能透過乘法或除法的計算獲得部份量後，

將分數詞的分子及分母正確的參照到部份量和整體量。即使 S2 學生有分數意義 是「部分/等分配數」的錯誤，但在本類題型 S2 學生對分母的意義說明，反而都 能正確的參照到整體等分割的份數。

在「已知單一單位得到的份數及分配後的餘數」的問題，題目的敘述中提出 了該單位分配到的部份量（分量）及餘數，此種問題所分得的部份量已知，整體 等分割份數未知。雖然不是典型的分數題型，受訪學生在四個問題都能先將分量

在「已知單一單位得到的份數及分配後的餘數」的問題，題目的敘述中提出 了該單位分配到的部份量（分量）及餘數，此種問題所分得的部份量已知，整體 等分割份數未知。雖然不是典型的分數題型，受訪學生在四個問題都能先將分量