第四章 研究結果與討論
第二節 已知整體等分割的份數問題之分數詞意義
本節主要探討學生對「整體等分割份數已知」問題的分量命名，其分數詞中 分母及分子數值所參照的意義。研究者先將訪談資料進行初步的分類(參見表 3-5-2)，先分「整體等分割的份數能等分配分盡」、「整體等分割的份數等分配後 有餘數」、「整體等分割後取出部分數量平均分配」三個部分來探討學生命名的分 數詞中分子及分母數字的意義，再分析學生在「已知整體等分割的份數問題」的 分數詞意義。
壹、 「整體等分割的份數能等分配分盡」問題的分數詞意義
「整體等分割的份數能等分配分盡」類之訪談題目分為「整體等分割份數等 於等分配數(即整體等分成 N 等分，等分配數亦為 N)」及「整體等分割份數等於 等分配數的倍數(即整體等分成 N 等分，等分配數為 M，N/M 是大於 1 的整數)」
二種類型，研究者以分數詞中分母的意義及分數詞中分子的意義，二個部分分別 來探討二類題型學生的分數詞意義。
一、分數詞中分母的意義
研究者從訪談中發現，基本題型問題能正確作答的學生在「整體等分割的份 數能等分配分盡」情境之中，部分學生會出現分數詞分母的數值參照到等分配數 的情形，如 S2 學生在例 4-7 中 A1 題「一個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，
每個人可以吃到多少個蛋糕？」的問題，給了「九分之一」的答案，認為分母的 9 是指「9 個人」。B1 題「一個鬆餅等分成 6 塊，平分給 6 個人吃，每個人可以吃 到多少個鬆餅？」的問題，S2 學生的答案是「六分之一」、S4 學生的答案是「六
分之六」，兩名學生均認為分母的 6 是指「6 個人」。另外 B2 題，S2 學生的答案 是「六分之二箱」，在回答分數詞的意義時，分母也參照到等分配數「6 個人」。 上述這些反應顯示，對於「整體等分割的份數能等分配分盡」的問題，學生有將 分數詞中分母參照到等分配數的錯誤意義。
例 4-7
A1. 一個蛋糕等分成 9 塊，平分給 9 個人吃，每個人可以吃到多少個蛋糕？
TA1 ：每個人可以吃到九分之一塊蛋糕？
S2A1：嗯。
TA1 ：九是指？
S2A1：那個有九個人可以吃。
TA1 ：喔，九…我們這裡題目裡面有兩個九，一個是九塊，一個是九個人，
那你認為九是指九個人？
S2A1：嗯，九個人。
…
(卷 1 2004/06/23 訪)
B1. 一個鬆餅等分成 6 塊，平分給 6 個人吃，每個人可以吃到多少個鬆餅？
TB1 ：你的答案是？
S2B1：嗯，先六除以六，六一得六…六餘零，然後再來六分之一塊。
TB1 ：你的答案是六分之一塊鬆餅？
S2B1：嗯。
TB1 ：那六在這裡是指這六塊還是六個人？
S2B1：六個人。
…
(卷 3 2004/06/29 訪)
TB1 ：你的答案是每個人可以吃到多少個鬆餅？
S4B1：六分之六個
…
S4B1：分母的六就是平分給六個人的六然後，另外一個六，是指等分成六塊的 六。
TB1：喔，一個六是平分給六個人的六，一個六是等分成六塊的六。那這個六 (指著分母)是指六個人還是六塊？
S4B1：是指六個人。
… (卷 3 2004/06/30 訪)
B2. 12 瓶可樂裝成一箱，把一箱可樂平分給 6 個人，每個人可以得到幾箱 可樂？
TB2 ：你的答案是每個人可以得到幾箱可樂？幾箱？
S2B2：兩箱
TB2 ：兩箱啊，十二瓶可樂去分，分給六個人，一個人可以得到兩瓶可樂還 是兩箱可樂？
S2B2：兩瓶
TB2 ：兩瓶，你覺得一個人要變成得到兩瓶可樂，那一個人可以得到幾箱可 樂？六個人一個人可以得到幾箱可樂？
S2B2：六分之二箱
TB2 ：我現在也是要問看看，六是什麼意思？
S2B2：就是有六個人
….
(卷 4 2004/07/01 訪)
「整體等分割的份數能等分配分盡」問題中，「整體等分割份數等於分配數 (即整體等分成 N 等分，等分配數亦為 N)」的題型，其整體等分割份數(整體量) 及等分配數均為 N。由於題目中已告知整體等分割的份數為「N」，學生在此部分 如用分得之部份量 1 及 N 並置為「1/N」，即正確的用分數表徵分量。但是，S2 學 生在「整體等分割份數等於分配數」題型的 A1、B1 題答案均是正確的「1/N」， 其分數詞中分母的意義卻不是單位量。例 4-7 中的 A1 題，S2 學生分數答案為
「1/9」，當研究者追問分母的 9 的意義時，學生回答是「平分給 9 個人」，分母 參照到等分配數「9 個人」。在 B1 題，S2 學生給的分數答案為「1/6」，研究者提 問：「六在這裡是指這六塊還是六個人？」，學生回答是「六個人」，分母所參照 的是等分配數「6 個人」。而 S4 學生在例 4-7 的 B1 題，則出現錯誤的答案「六分 之六個」，當研究者指著分母的 6 追問其意義時，S4 學生回答「是指六個人」，其 分數詞的分母所參照的不是整體等分割份數「鬆餅等分成 6 塊」，而是等分配數
「平分給 6 個人」。從上述的訪談中顯示，S2、S4 學生在「整體等分成 N 等分，
等分配數亦為 N」的題型，出現分數詞的分母參照到等分配數的情形。
在「整體等分割的份數能等分配分盡」問題中，A2、A3、A4、B2、B3、B4 題 是「整體等分割份數等於分配數的倍數(即整體等分成 N 等分，等分配數為 M，N/M 是大於 1 的整數)」的題型，同樣的在題目中已告知整體等分割的份數「N」，學 生在此部分需透過計算或點數獲 N/M 的結果，將其計算所得的部份量及 N 並置。
如果學生將整體依分配數重新分割為 M 等份，將 1 與 M 並置為「1/M」，亦就是「子 集合/集合」的方式獲得正確答案。基本題型能正確作答的學生，此類問題有部 份學生其答案不是分得的數量和 N 並置的分數也不是「1/M」。例 4-7 中 B2 題「12 瓶可樂裝成一箱，把一箱可樂平分給 6 個人，每個人可以得到幾箱可樂？」的問 題，S2 學生在 B2 題所出現的答案是「六分之二箱」，其分數詞的分母是「6」，但 學生所回答分母的意義不是整體等分割的份數，也不是重新分割後的集合數。在 研究者的追問之下，S2 學生表示分母的 6 是指 6 個人，其分母的意義仍是等分配 數「平分給 6 個人」。
從前述的訪談結果發現，基本題型能正確作答的學生在「整體等分割的份數 能等分配分盡」的情境，多能正確用分數表徵分量。但從 S2、S4 學生的訪談內 容也顯示，學生的分數詞的意義，除了會出現部份量和單位量混用單位詞的情形 外，也會出現將分數詞之分母參照到等分配數，將所得的部分量和等分配數並置 成分數的錯誤。
二、分數詞中分子的意義
在「整體等分割的份數能等分配分盡」的問題中，研究者的訪談發現，分數 基本題型能正確作答的學生，在 A2、A4、B1、B2 等問題中，部分學生出現將分 數詞之分子參照到等分配數的情形。如例 4-8 中 A2 題「8 個布丁裝成一盒，把一
盒布丁平分給 4 個人，每個人可以得到幾盒布丁？」，S3 學生的答案是「八分之 四盒」，其分數詞的分子參照到等分配數「4 個人」。A4 題「10 個雞蛋裝成一盒，
把一盒雞蛋平分做成 5 個蛋餅，每一個蛋餅要用到幾盒雞蛋？」的問題，S3 學生 的答案是「十分之五盒」，其分數詞的分子參照到等分配數「5 個蛋餅」。另外在 例 4-8 的 B1 題「一個鬆餅等分成 6 塊，平分給 6 個人吃，每個人可以吃到多少 個鬆餅？」問題中，S4 學生出現「六分之六個」的答案，在分子的意義回答分子 的 6 指的是等分成 6 塊，將分數詞的分子參照到整體量「6 塊鬆餅」的情形。上 述的這些現象反映了，對於「整體等分割的份數能等分配分盡」的問題，學生有 以等分配數為部份量的情形。
例 4-8
A2. 8 個布丁裝成一盒，把一盒布丁平分給 4 個人，每個人可以得到幾盒布 丁？
TA2 ：你的答案是…
S3A2：八分之四盒。
…
TA2 ：因為他說一盒裝八個布丁，那你分子為什麼寫四呢？
S3A2：嗯…分子是四。因為…因為裡面有四，那個他說要平分給四個人。
TA2 ：四呢是指…
S3A2：那個，有四個，要平分給四個人。
…
(卷 1 2004/06/24 訪)
A4. 10 個雞蛋裝成一盒，把一盒雞蛋平分做成 5 個蛋餅，每一個蛋餅要用 到幾盒雞蛋？
TA4 ：每一個蛋餅要用掉幾盒雞蛋，你的答案是？
S3A4：十分之五盒
…
TA4 ：是有十個雞蛋，那五呢？
S3A4：五，平分做成五個蛋餅
…
(卷 2 2004/06/28 訪)
B1. 一個鬆餅等分成 6 塊，平分給 6 個人吃，每個人可以吃到多少個鬆餅？
TB1 ：你的答案是每個人可以吃到多少個鬆餅？
S4B1：六分之六個
…
TB1 ：這個 6(指著分子)是指等分成 6 塊嗎？
S4B1：對。
…
(卷 3 2004/06/30 訪)
B2. 12 瓶可樂裝成一箱，把一箱可樂平分給 6 個人，每個人可以得到幾箱 可樂？
TB2 ：你的答案是每個人可以得到幾箱可樂？
S3B2：十二分之六箱
…
TB2：12 瓶是一箱可樂。6 呢？6 是指什麼 S3B2：6 是指平分給 6 個人。
…
(卷 4 2004/07/01 訪)
「整體等分割份數等於分配數」的 A1、B1 題，學生解決此類問題需先透過 計算或點數獲得部分量為「1」。研究者從訪談中發現，分數基本題型能正確作答 的學生，此類型問題學生多能判斷出分子為「1」，並知覺「1」是所得部份量，
僅 S4 學生在 B1 題出現分子是「6」的錯誤答案。在例 4-8 的 B1 題，S4 學生出現
「六分之六個」的答案，當研究者進一步追問「這個 6(指著分子)是指等分成 6 塊嗎？」時，學生給予肯定的答案：「是」。在整體等分割份數和等分配數相同的 情況下，S4 學生出現將分子參照到整體量「6 塊鬆餅」的情形。此反應顯示，該 生將分子參照到整體量「6 塊鬆餅」。但其分數詞中分子參照到整體量的錯誤情 形，在後續的訪談中並未再出現，因此，該生這種反應究竟是偶發性的錯誤，或 是其分數概念中存有特定的迷思，從本研究有限的資訊中仍無法判斷中。
A2、A3、A4、B2、B3、B4 題是「等分份數等於分配數的倍數(即整體等分成
N 等分，等分配數為 M，N/M 是大於 1 的整數)」的題型，學生處理此部分需先透 過計算或點數獲得部分量，再用分得之部份量及 N 並置為分數。或將整體依分配 數重新分割為 M 等份，而以「子集合/集合」的方式，將 1 與 M 並置為「1/M」。 在例 4-8 的 A2 題，S3 學生的答案為「八分之四盒」，不是「2/8」，也不是「子集 合/集合」意義的「1/4」。當研究者追問分子為什麼寫 4 時，學生回答「因為要 平分給四個人」，其分數詞的分子參照到等分配數「4 個人」。在 A4 題，S3 學生的 答案是「十分之五盒」，當研究者追問分子數字 5 的意義時，學生回答「是平分 做成 5 個雞蛋」，其分數詞的分子參照到等分配數「5 個蛋餅」。另外，在 B2 題「12 瓶可樂裝成一箱，把一箱可樂平分給 6 個人，每個人可以得到幾箱可樂？」的問 題中，S3 學生的答案是「十二分之六箱」。對於研究者追問分子的 6 是指什麼的 問題，學生回答「6 是指平分給 6 個人」，其分數詞的分子同樣是參照到等分配數
N 等分，等分配數為 M，N/M 是大於 1 的整數)」的題型，學生處理此部分需先透 過計算或點數獲得部分量，再用分得之部份量及 N 並置為分數。或將整體依分配 數重新分割為 M 等份，而以「子集合/集合」的方式，將 1 與 M 並置為「1/M」。 在例 4-8 的 A2 題，S3 學生的答案為「八分之四盒」，不是「2/8」，也不是「子集 合/集合」意義的「1/4」。當研究者追問分子為什麼寫 4 時，學生回答「因為要 平分給四個人」，其分數詞的分子參照到等分配數「4 個人」。在 A4 題，S3 學生的 答案是「十分之五盒」，當研究者追問分子數字 5 的意義時，學生回答「是平分 做成 5 個雞蛋」，其分數詞的分子參照到等分配數「5 個蛋餅」。另外，在 B2 題「12 瓶可樂裝成一箱，把一箱可樂平分給 6 個人，每個人可以得到幾箱可樂？」的問 題中，S3 學生的答案是「十二分之六箱」。對於研究者追問分子的 6 是指什麼的 問題，學生回答「6 是指平分給 6 個人」，其分數詞的分子同樣是參照到等分配數