第四章 研究結果與討論
第二節 不同能力國一學生認為所擬作品的難易度
本章節針對擬題教學階段二的難易度擬題中，學生的難易擬題作品進行分 析，研究者蒐集任教班級中不同能力學生的擬題作品，以及另外一位教師所任 教的四個班級學生之難易擬題作品進行比較，旨在探討不同能力學生的擬題作 品難易度之差異。研究者分三次進行比較，以國一下數學第三章比例的三個章 節依序進行。
Chartoff（1977）與 Silver（1979）的研究調查共同確定了學生對相似問題排 序行為的三個向度：數學結構、情境的細節及問題形式。研究者想要了解，學 生對問題結構的看法是否與相似問題的排序有關係，不同能力的學生在面對所 擬出的作品時，是以何種角度來覺察所擬作品的難易度。
Krutetskii（1976）與 Silver（1979）的研究結果均顯示，無論是作為學生能 力的標準或教師的判斷，學生的數學能力和認知文字問題的數學結構，並在感 知結構相似性的基礎上關聯問題之間存在強烈的關係；該研究結果證實，能力 最差的學生傾向於將問題相關性視為更多地由情境細節決定而不是根據數學結 構。因此，令研究者大膽的猜測，不同能力學生對所擬出作品的難易度認知，
可能與作品所呈現的數學結構、情境的細節及問題形式有關。能力較差的學生
95
對於難易度的判斷是否無視問題中的背景細節或問題形式？而能力較高的學生 對問題難易度的認知是以何種向度區分？
Kilpatrick（1978）對數學解題研究的變項進行分類，本研究主要探討的部 分在於解題者變項以及任務變項兩類，針對不同的解題者特質，其擬出作品的 難易結構與作品的背景進行討論，研究者將其彙整如表 20：
表 20 Kilpatrick（1978）數學解題變項分類表
獨立變項
（Independent Variables）
解題者變項
（Subject Variables）
個體變項
（Organismic Variables）
特質變項
（Trait Variables）
教學歷程變項
（Instructional history Variables）
任務變項
（Task Variables）
背景變項
（Context Variables）
結構變項
（Structure Variables）
格式變項
（Format Variables）
情境變項
（Situation Variables） （針對解題者的物理和心理方面）
壹、3-1 比與比例式難易擬題作品分析
一、任教班級難易擬題分類以下為研究者彙整全班 28 位學生在 3-1 比與比例式難易擬題作品的分類表：
96 表 21 比與比例式難易擬題分類表
1. 全班難易擬題作品表現
研究者透過表 21 觀察到，學生在 3-1 比與比例式的難易擬題作品中，所呈 現的數學知識主要為比與比例式兩類，學生認為簡單的作品中呈現的數學知識 為比例式占多數（51.6%），比學生認為困難的作品多了 24%。學生認為困難的 作品中呈現的數學知識則是比占多數（44.8%），比學生認為簡單的作品多了 19%。
另外一個差異較明顯數學知識則是對應關係，學生認為困難的作品中呈現對應 關係的比例約比簡單的多出 10%。
學生的難易作品中數學知識總數的差異不多，但是在情境細節上則有明顯 的落差，學生認為困難作品所表現出的情境數量約為簡單的兩倍。其中有兩位
學生 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係 學生 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
1 1 1 2 1 1 1
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1
3 1 1 1 3 1 1 2 1
4 1 1 4 1 1 1
5 1 1 5 1 1
6 1 1 6 1 1
7 1 1 7 0
8 1 1 8 1 1
9 1 1 9 1 1 1
10 1 1 10 1 1 1
11 1 1 11 0
12 1 1 12 1 1 1
13 1 1 1 13 1 1 1
14 1 1 14 1 1
15 1 1 15 1 1 1
16 1 1 16 1 1 1
17 1 1 1 17 1 1 1 3 1
18 1 1 18 1 1
19 1 1 19 1 1 1
20 1 1 2 20 1 1 1
21 1 1 21 1 1
22 1 1 1 22 1 1 1
23 1 1 1 23 1 1
24 1 1 1 24 0
25 1 1 25 1 1
26 1 1 26 1 1 1
27 1 1 27 1 1 1
28 1 1 28 1 1
次數統計： 8 4 16 1 2 0 0 31 7 次數統計： 13 2 8 4 1 1 0 29 15
25.8% 12.9% 51.6% 3.2% 6.5% 0.0% 0.0% 25.0% 44.8% 6.9% 27.6% 13.8% 3.4% 3.4% 0.0% 53.6%
數學知識分類
情境 數學知識分類
情境
擬出簡單的問題 擬出困難的問題
呈現知 識統計
呈現知 識統計
97
高分組的學生未擬出困難的作品，經研究者個別訪談得知這兩位學生認為本單 元並沒有困難的題目。
2. 不同能力學生的差異
表 22 不同能力學生 3-1 難易擬題分類表
在不同能力學生的難易擬題作品當中，不同能力學生的難易擬題作品在數 學知識差異度與情境細節的表現差異與全班呈現的情況類似，學生作品在情境 的表現上，高分組學生認為困難的作品其情境題數量為簡單的 2 倍，而低分組 學生更是達到了 3 倍；此結果與 Lesh（1987）的研究結果一致。
研究者更進一步分析，不同能力學生的難易擬題表現在數學知識結構上的 差異。研究者發現，高分組學生認為困難的作品當中，題目敘述會結合比與對
高分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係 高分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
H1 1 1 2 H1 1 1
H2 1 1 2 1 H2 1 1 2 1
H3 1 1 1 H3 1 1 2 1
H4 1 1 H4 1 1 1
H5 1 1 H5 1 1
H6 1 1 H6 1 1
H7 1 1 H7 0
H8 1 1 H8 1 1
H9 1 1 H9 1 1 1
H10 1 1 H10 0
H11 1 1 H11 1 1 1
H12 1 1 1 H12 1 1 1 3 1
H13 1 1 H13 1 1
次數統計： 5 2 6 1 1 0 0 15 3 次數統計： 6 2 3 3 0 1 0 15 6
33.3% 13.3% 40.0% 6.7% 6.7% 0.0% 0.0% 23.1% 40.0% 13.3% 20.0% 20.0% 0.0% 6.7% 0.0% 46.2%
數學知識分類
情境 數學知識分類
情境
擬出簡單的問題 擬出困難的問題
呈現知 識統計
呈現知 識統計
低分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係 低分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
L1 1 1 L1 1 1 1
L2 1 1 2 L2 1 1 1
L3 1 1 1 L3 1 1
L4 1 1 L4 1 1
L5 1 1 L5 1 1 1
L6 1 1 L6 1 1
次數統計： 1 1 5 0 0 0 0 7 1 次數統計： 3 0 3 0 0 0 0 6 3
14.3% 14.3% 71.4% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 14.3% 50.0% 0.0% 50.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 42.9%
擬出簡單的問題 擬出困難的問題
數學知識分類
情境 數學知識分類
呈現知 情境 識統計
呈現知 識統計
98
應關係或百分比的結構，來增加作品在條件上的層次（H2、H3、H4 及 H12）；
若作品的數學知識為比或比例式的結構時，可以觀察到高分組學生會增加未知 數的數量，或條件中呈現的數字較大（H1、H5、H6、H8 及 H13）。
低分組學生所認為的困難題作品中，有情境的作品所呈現出的數學知識較 多，研究者發現該類作品改寫自講義例題或數學習作（L1、L2 及 L5）；低分組 學生以比例式呈現的作品中，則會在未知數後面以＋、－數字的方式作為作品 的條件（L4、L6），例如 L6 學生所擬：「（x－1）：3＝（x＋1）：6」。
整體來說，由於 3-1 比與比例式所涉及的數學知識較少，不同能力學生的 難易擬題所用到的數學知識差異不大，學生所認知的難易程度大多表現在問題 是否具有情境細節以及條件的層次上。研究者好奇的是，不同能力學生對於難 易作品的認知是依據情境還是作品的數學知識架構，因此在後面兩單元的難易 擬題卷當中，提供學生選項勾選原因，或是請學生補充寫出理由。
二、非任教班級難易擬題分類
研究者請國一另一位數學老師於其任教的四個班級所蒐集之學生難易擬題 資料，每班有 30 位學生總人數為 120 人，回收之樣本共計有 111 份。資料收集 時間為每單元教完之後的下一周空白課程或數學課上課時間，目的在於比較不 同能力學生難易擬題作品的表現差異。該難易擬題共進行三次，主題內容依序
99
為 3-1～3-3，擬題卷上請學生擬出該單元簡單及困難的問題，並且請學生試著 補充簡單或困難的問題。表 23 為另外四個班級學生在 3-1 比與比例式難易擬題 作品分析表：
表 23 四班學生 3-1 難易擬題作品分析表
根據表 23 可以看出，其他班級 111 位學生在 3-1 難易擬題當中，差異較明 顯的部分為擬題是否有情境背景；學生認為簡單的作品中，具有情境的作品所 約為總數的 28.9%，學生認為困難的作品當中具有情境的作品約為總數的 92.7%。
另外在數學知識差異較顯著的部分在比例式以及對應關係兩類，學生擬題作品
比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係
102n=27 103 n=30
104 n=28
106 n=26
次數總計 122 70 86 18 32 1 0 329 253 73
擬出簡單的問題 數學知識分類
題數 情境 班級
N=111
數學知 識總計
76 27
23 10 17 4 5
44 20 18 7 8
50 22
31 28 29 5 14 1 73 12
24 12 22 2 5 54 12
97 59 108
65
比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係
102n=27 103 n=30
104 n=28
106 n=26
次數總計 90 39 10 99 31 3 0 272 219 203
擬出困難的問題 數學知識分類
題數 情境 班級
N=111
18 8 3 27 12
33 14 4 27 9
20 9 1 22 3
3 50 41
71 68
45
19 8 2 23 7
53 50
數學知
識總計 87 55 62 68
44
100
中比例式所佔總數學知識的百分比約為：簡單 26.1%、困難 3.68%，對應關係所 佔總數學知識的百分比約為：簡單 5.5%、困難 36.4%。與研究者預期中有差異 的是，平均每題所用到的數學知識，學生認為簡單的作品平均為 1.3、困難的作 品平均為 1.24，學生認為困難的作品每題所包含的數學知識平均略低於簡單的 作品。
四個班級不同能力學生所呈現的 3-1 難易擬題作品如下：
表 24 四班不同能力學生 3-1 難易擬題作品分類
接著研究者觀察四個班級中不同能力學生的難易擬題作品，並將其所呈現 之數學知識比例彙整如表 25 所示：
表 25 四班不同能力學生 3-1 難易擬題作品數學知識百分比
比% 比值% 比例式% 對應關係% 等比互換% 情境%
簡單 困難 簡單 困難 簡單 困難 簡單 困難 簡單 困難 簡單 困難 高分組
N=49 39.9 35.8 18.9 14.6 21.7 4.1 7.0 39.0 12.6 6.5 34.5 96.94 低分組
N=29 30.9 25.4 24.5 10.2 28.7 6.8 3.2 35.6 11.7 18.6 22.4 79.6
比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係 比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係
102 102
n=13 n=13
103 103
n=16 n=16
104 104
n=9 n=9
106 106
n=11 n=11
次數總計 57 27 31 10 18 0 0 143 113 39 次數總計 44 18 5 48 8 0 0 123 98 95
擬出簡單的問題 擬出困難的問題
高分組 N=49
數學知識分類 數學知
識總計 題數 情境 高分組
N=49
數學知識分類 數學知
識總計 題數 情境
21 6 8 5 4 44 36 16 18 9 3 13 3 46 36 35
5
16 8 7 2 4 37 29 15 15 26 26
10 7 6 2 9 34
0 12 1 33
12
24 4 5 1 1 8 1 16 13
3
10 6 10 1 1 28 24 4 6 1 15 3 28 23 22
比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係 比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係
102 102
n=4 n=4
103 103
n=6 n=6
104 104
n=12 n=12
106 106
n=7 n=7
次數總計 29 23 27 3 11 1 0 94 67 15 次數總計 15 6 4 21 11 2 0 59 49 39
擬出簡單的問題 擬出困難的問題
低分組 N=29
數學知識分類 數學知
識總計 題數 情境 低分組
N=29
數學知識分類 數學知
識總計 題數 情境
8 5 3 0 3 19 14 5 3 0 1 3 1 8 8 6
1
3 2 2 0 0 7 6 1 1 6 6
12 13 16 3 5 1 50
0 4 1 7
15
33 6 7 4 1 8 5 2 27 21
1
6 3 6 0 3 18 14 3 4 2 6 4 17 14 12
101
由表 25 可以發現，不同能力學生的難易擬題作品所呈現的差異與全體學生 的相似，學生認為困難的題目中多數重複的為濃度以及數量變化後的比例（如：
數量的增減、水合併倒入其他杯子等）兩種類型，數量變化後的比例問題在高 分組的困難擬題作品當中所出現的次數較多，而低分組學生則是普遍認為與濃 度相關的作品較難。
研究者根據上述結果推測，高分組學生能夠以 Kilpatrick（1978）所提到的 背景變項以及結構變項來分辨所擬作品的難易度，而低分組學生大多是以背景 變項來區分所擬作品的難易度。
研究者任教班及與另外四班學生對於所擬作品難易度的認知差異，主要在 於學生作品所呈現的情境比例上，其次則是學生認為難易作品中所呈現數學知 識的類別所有不一樣。研究者推測，其原因是因為另外四班學生進行擬題的時 間為下周的空白課程或是數學課，該時間已經考完並檢討過 3-1 的考卷，因此 學生在難易擬題作品上大多擬出與考卷類似的問題。
貳、3-2 連比例難易擬題作品分析
在細心觀察各組表現後，研究者統整任教班級 29 位學生的難易擬題作品，
同時彙整其他班級學生的難易擬題作品來觀察不同能力學生在難易擬題上的差 異。