第二章 文獻探討
第五節 國一數學教材分析
程加深（例如：國中多出了最大公因數×最小公倍數=兩數乘積），而 指數律與科學記號則為整數四則運算中新加入的內容。在比的課程 內容中可發現與國小課程的重複之處為比與比值，在國小所學過與 比相關的數學知識基礎下，增加了比例式、連比例以及正比與反比 的觀念。表 3 為 106 學年度南一版國中一年級數學課程架構表。
表 3 南一版國一數學課程架構表
數學課程架構
七 年 級
上 學 期
N A S
單元一 整數的運算 1-1 數與數線 1-2 整數的加減 1-3 整數的乘除
1-4 指數律 1-5 科學記號 單元二 分數的運算
2-1 因數與倍數 2-2 最大公因數與最小公倍數
2-3 分數的加減運算 2-4 分數的乘除與四則運算
單元三 一元一次方程式 3-1 以符號列式與運算 3-2 一元一次方程式的列式
與求解
3-3 一元一次方程式的應用
下 學 期
N A S
單元一 二元一次聯立方程 式
1-1 二元一次方程式 1-2 解二元一次聯立方程式 1-3 二元一次聯立方程式的
應用
單元二 平面直角座 標系 2-1 直角坐標平面 2-2 二元一次方程
式的圖形 單元三 比例
3-1 比例式 3-2 連比 3-3 正比與反比
單元四 函數及其圖形 4-1 變數與函數
4-2 線型函數的圖 形 單元五 一元一次不等式
5-1 不等式 5-2 解一元一次不等式
二、比的意義與範例
兩組數量存在的對應關係是多樣的，例如：兩個量分別為個數
和價錢是一種數量關係，兩個量分別為三角形的邊長和周長，也是 一種數量關係。在數學上，具有對應關係的兩組數量 X 和 Y，可以 表示為Y＝f（X）。而比則是用來描述兩個量 X 與 Y 存在有某一種 特定倍數關係的一種表示法；或是並置的兩量具有對應關係的紀錄。所以，要用比來描述兩量的關係時，兩量必須存在有某種對應關係，
兩數量的比才具有意義。
我國目前現行的國中小數學教材中，與比例相關的教學結構，
如圖 1 所示，其中比例觀念中的比例尺、比值以及相關的放大、縮
小與約分、擴分為國小數學教科書的內容。比和比值的基礎觀念雖 然國小內容也有提及，其延伸出的三個子觀念：比例式、連比例、
正比與反比則為目前國中七年級的數學教科書內容，而這三個子觀 念不但需要國小所學的比例知識外，還加入了代數的運算。
國小階段
國中階段
圖 1 比例觀念結構圖
教育部在 2017 年 12 月所公布的十二年國民基本教育課程綱要 中，數學領域課程手冊初稿第五版有提到，國一下學期數學第三章 比例（流水號：N-7-9），比、比例式、正比與反比相關之基本運算 與應用問題，教學情境應以有意義之比值為例。先備知識為N-6-6 比與比值：異類量的比與同類量的比之比值的意義；理解相等的比 中牽涉到的兩種倍數關係（比例思考的基礎）；解決比的應用問題。
國中比與比例式單元的基本說明如下：
1. 比、比例式常用來表明數量間的比例關係，和其關係密切的有
比值、倍數的概念。2. a、b(b ≠ 0)兩數的比記為 a：b，且該比的前項為 a、後項為 b。
比例觀念
比 比例尺
比值
比例式 連比例 正比與反比
3. 若 a：b 和 c：d 為相等的比，則記為a：b = c：d，該式稱為比
例式。4. 若a：b = m：n，則a：m = b：n且a = mk，b = nk，k ≠ 0。
5. 若數值 x 改變時，數值 y 也隨之改變，且 y 值恆為 x 值的k 倍
(k ≠ 0)。此時 x、y 的關係為y = kx，稱 y 和 x 成正比。6. 若數值 x 改變時，數值 y 也隨之改變，且 x 和 y 的乘積為一個
固定的數（不為 0）。此時 x、y 的關係為xy = k(k ≠ 0)，稱 y 和 x 成反比。7. 比例問題在日常生活中或自然科技中有很廣泛的應用，因此國
中學習比例，其中最重要的是能認識那些問題可用比與比例式來 解決。常見的比例問題有：折扣、加成、利率、匯率、密度、濃 度、速度、比例尺等。三、比例問題的結構
Lamon（1993, 1994）將比的情境問題語意結構分為四類：1. 部 分與整體（part-part-whole）、2. 放大/縮小（stretchers/shrinkers）、3.
良好的合成量（well-chunked measures）及 4. 關係的集合（associated sets）。今將各種語意結構說明如下：
1. 部分與整體：
以兩個量來說，當其中一量是另一量的分量時，或兩量皆
為整體的分量時，兩個量所具備的對應關係。例如：班上男生 人數與全班人數即為部分－整體關係；或班上男生人數與班上 女生人數即為部分－部分關係。
2. 放大/縮小：
將一個量擴大（或縮小）為另一個量，兩量的關係即為放 大/縮小關係。例如：正三角形的邊長與周長的關係。
3. 良好的合成量：
兩個數量的對應關係所形成的新數量。例如：距離和時間 相除後所得到的量，其意義為速率。質量和體積相除後所得到 的量，其意義為密度。
4. 關係的集合：
當兩量間的對應關係不明確，必須人為約定才能確定其固 定的對應關係。例如：大人吃兩碗飯、小孩吃一碗飯。
本研究設計的擬題教學所使用的單元主要內容為：3-1 比例式、
3-2 連比、3-3 正比與反比以及 3-4 總複習。旨在探討不同能力學生 在擬題教學上的表現，並透過學生的擬題作品分析不同能力學生對 於作品的難易度認知為何。由上述資料可以看出，Lamon（1993）
的四種語意結構的包容性較廣，國中教材中比例所涉及的兩個數量 的對應關係，例如：密度、濃度、速率等，可以歸類在良好的合成
量；比值則可以劃分在部分與整體亦可算是對應關係；連比例則是 具有部分與整體及關係的集合兩種類別；正比與反比也是涉及到關 係的集合及放大/縮小兩種類別。因此，本研究將學生的擬題結構分 為：比、比值、比例式、對應關係、等比互換、連比例、判別關係
（正比關係式或反比關係式）共 7 類。如表 4 所示：
表 4 研究者對比例問題結構的分類
Lamon 四種語意 類別 範例
部分與整體 比（前項、後項） 一元與五元硬幣的個數比為 3：10（前項為 3、後項為 5）
比值（倍數） 4：2 的比值為 2（前項是後項的兩倍）
放大/縮小 比例式 a：b = c：d
良好的合成量 對應關係 折扣、加成、利率、匯率、密度、濃度、速度、比例尺等
關係的集合
等比互換 2 位男生的重量等於 3 位女生的重量，
則男生重量：女生重量= 3：2
連比例 a：b = 3：2；b：c = 2：5 則 a：b：c = 3：2：5
判別關係 正比關係式：y = kx(k ≠ 0)
反比關係式：xy = k(k ≠ 0)
四、學生比例擬題的差異
學生在解兩組數量的關係問題習慣把焦點關注在數字之間的關 係， Verschaffel、De Corte 與 Lasure（1994）設計了一個真實情境 問題給10 到 12 歲的學生解題，結果發現有 90％的 10 到 12 歲的學 生習慣以學校的文字題解法來回答，學生沒有從真實情境中去考慮
情境的干擾因素。解比例問題時，忽略真實情境的因素不只是學生，
對於成年人也一樣，Cramer、Post 與 Currier（1993）給 33 位職前教 師解題，結果發現有 32 位教師是以數字成倍數關係來解題。
這樣的現象可能是來自於學校的解題經驗，在學校，學生都只 是解正規的數學問題，教師從來不曾提供機會讓學生遇到不符合真 實情境的數學問題。相關的研究也發現，學生以比例方法解不可類 推的情境問題的情況隨著年級增加而更嚴重，Van Dooren、De Bock、
Evers 與 Verschaffel（2006）指出有 30％的三年級學生，51％的六年 級學生以比例方法解不可類推的情境問題，因此，學生在學習比與 比值概念前，有必要先讓學生知道解相等的比之問題前，需要考慮 題目情境的真實性（林碧珍, 2010）。
Lamon（1993）的研究結果發現：對學童而言，最容易的問題 為兩量為關係的集合，也就是人為約定的關係，其次為部分－整體 關係，再者為良好的合成量，放大縮小則是最難的題型。
Marja van den Heuvel-Panhuizen、Middleton 與 Streefland （1995）
的研究中，讓五年級學生分別寫出一個簡單與困難的百分比問題，
再將問題分類（文字、情境、圖形、長條圖、表格等）統計出學生 認為簡單與困難的題型。研究結果發現：學生認為簡單的題目中，
百分比都是易於劃分的整數（例如 50%），困難的題目則是複雜的百 分比數字與複雜的問題結構。在各類問題結構中，統計結果發現同 一類的問題出現在簡單與困難的比例十分相近。在 A、B 兩個班級 的統計結果顯示，A 班學生認為容易的題型是情境問題，共佔 56%
的比例，而認為情境問題是困難的學生佔了63%；B 班學生認為容 易的題型是文字題，共佔 41%的比例，而認為情境問題是困難的學 生佔了41%。
由上述文獻可以發現，學生在比例的擬題上，往往會忽略數量 的合理性（Verschaffel、De Corte 與 Lasure, 1994；Van Dooren、De Bock、
Evers 與 Verschaffel, 2006），學生對於簡單與困難題目的認知上，可 能會由於老師上課的方式或課本內容的影響，讓學生以相同的題型 來表現不同難度的比例擬題（van den Heuvel-Panhuizen、Middleton 與 Streefland, 1995）；其中，簡單題目的特徵為已知條件是易於計算 的數量，而困難題目的特徵為數量及敘述較為複雜（Lamon, 1993）。
因此，本研究以 5 個班的國一學生共 150 位為對象，挑選國一下第 三單元比這個章節為主題，讓學生分別寫出簡單與困難的題目各一 題，收集並分析學生對於簡單與困難題型的認知，同時比較不同能 力學生在簡單與困難題型上的表現有何差異。
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