不同能力的國一學生在擬題教學的學習表現之研究

國立中山大學教育研究所 碩士論文

Institute of Education

National Sun Yat-sen University Master Thesis

不同能力的國一學生在擬題教學的學習表現之研究

A study of the learning performance of grade 7 students with different competencies during mathematics problem posing

instruction

研究生：張日璞

Jih-Pu Chang 指導教授：梁淑坤 博士

Dr. Shuk-Kwan S. Leung 中華民國 107 年 12 月

December 2018

誌謝

因緣際會之下，在中山大學附屬國光高級中學代課的我，透過本 校教育所畢業的潘怡如學姊大力推薦，報名並且順利考上了中山教育 所在職專班。如今，一轉眼就度過了三年的時間，這三年中一邊兼顧 工作又一邊兼顧學業，感謝許多老師的細心指導以及同學的熱心幫助，

每天來回往返終於完成了學業，過程雖然辛苦但收穫亦是滿滿。

論文能夠順利完成，最感謝的人就是指導教授梁淑坤老師，以及 在百忙之中抽空指導的口試委員：左太政老師與陳利銘老師。在每學 期的課程當中，梁老師除了教導許多專業的知識技能之外，在學習的 過程當中也體驗到許多新穎、有趣的上課方式，並且感受到梁老師對 指導學生的關心與督促。若沒有梁老師的諄諄教誨與細心的指導，我 可能無法順利完成論文。

同時也感謝老師的助理珮麒在課業上常常給予幫助，在她繁忙的 工作之餘還熱心的協助我處理許多事情。還有任教學校中山大學附屬 國光高級中學的體諒與包容，配合我的修課時間安排學校的課程，使 我的學業能順利完成。

最後，感謝家人的支持與鼓勵及在念書的過程中給我幫助與共同 學習的夥伴與同學，讓我能夠堅持到底順利完成論文的撰寫。因為有 你們的幫助與支持，才讓我達到人生中的一個重要的里程碑。

摘 要

本研究旨在探討不同能力的國一學生之數學擬題表現，以國一下 學期南一版數學第三單元「比例」為主題，並參考梁淑坤（1997）的 擬題分類，設計出解題後擬題以及難易擬題兩種擬題方式進行教學。

本研究聚焦在：不同能力學生的擬題作品所呈現的數學知識；

不同能力學生所擬作品的難易度以及擬題教學對不同能力學生的數 學學習動機之影響。研究者透過解題後擬題卷、難易擬題卷、個別 訪談、學習動機問卷、學生回饋單及教師觀察札記等多種方式蒐集 資料，探討不同能力學生的擬題表現差異。

本研究結果顯示：高分組學生能夠將不同單元的數學知識應用在 擬題作品中，擬題作品的數字也較複雜，而低分組學生的擬題作品所 呈現的數學知識則較少，擬題作品的數字則較簡單；不同能力學生均 認為所擬作品的難易度差異主要表現在情境細節上，但高分組學生能 夠以解題者變項或計算複雜與否來考量題目的難易；擬題教學對高 分組學生的學習環境刺激以及主動學習策略有提升，透過擬題教學 的過程也能夠提升低分組學生的學習表現。最後，研究者綜合上述 研究結果及進行擬題教學的心得與省思，針對日後數學教學提出建 議。

關鍵字：數學擬題教學、學習表現、不同能力的國一學生、比例

Abstract

The main purpose of this research was to explore the learning performance of grade 7 students with different competencies during mathematics problem posing instruction. According to the classification of the problem-posing by Leung (1997) designed “pose after-solve” and

“easy-difficult posing” related to mathematics unit on "ratio and proportion".

This study focused on three issues. First, the difference in the mathematical knowledge presented from the problem-posing products given by the students with different competencies. The second was how

students with different competencies distinguished the differences between easy and difficult problem-posing products. The third was the influence of the problem-posing instruction on the motivation of

mathematics learning of students with different competencies. This study

students; also individual interviews, learning motivation questionnaires, student feedback forms and teacher observation notes. The investigator explored the differences in the performance of the students with different competencies.

The result were three. First, the high-group students could apply the mathematics knowledge of different units in their problem-posing

products, and the number in the condition of their products was more complicated, while the mathematics knowledge of the low-group students was less, and the number was simplier. Second, all students distinguished the differences between easy and difficult of their products were mainly reflected in the situation, but the high-group students could additionally considered the conditions of problem solver variables or calculating complexity. Third, the problem-posing instruction improved the learning environment stimulation and active learning strategies of high-group students and the low-group students' learning performance.

Finally, the researcher combined the above research results and the experience and thinking of the problem-posing teaching and made recommendations for future mathematics teaching.

keyword：

mathematics problem-posing instruction, learning performance,

grade 7 students with different competencies, ratio and proportion.

目 次

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究背景與動機 ... 1

第二節 名詞解釋 ... 5

第三節 研究目的與待答問題 ... 8

第二章 文獻探討 ... 9

第一節 解題與擬題的關係 ... 9

第二節 擬題的定義與分類 ... 15

第三節 擬題教學的相關研究 ... 21

第四節 不同能力表現的差異 ... 38

第五節 國一數學教材分析 ... 43

第三章 研究方法 ... 53

第一節 研究架構 ... 53

第二節 研究對象 ... 55

第三節 研究工具及資料收集 ... 56

第四節 研究程序 ... 60

第五節 預試 ... 63

第四章 研究結果與討論 ... 65

第一節 不同能力國一學生的擬題作品所呈現的數學知識 ... 67

第二節 不同能力國一學生認為所擬作品的難易度 ... 94

第三節 擬題教學對不同能力學生數學學習動機之影響 ... 121

第四節 研究者對擬題教學活動之省思與建議 ... 127

第五章 結論與建議 ... 137

第一節 結論 ... 137

第二節 建議 ... 141

參考文獻 ... 144

附錄 ... 152

附錄一 任教班級解題後擬題卷 ... 152

附錄二 任教班級難易擬題卷 ... 155

附錄三 非任教班級難易擬題卷 ... 159

附錄四 學習態度量表 ... 162

附錄五 擬題教學回饋問卷 ... 164

圖 次

圖 2 學生 S101 預試擬題作品 ... 58

圖 3 擬題教學流程圖 ... 61

圖 4 學生真實擬題作品 1 ... 89

圖 5 學生真實擬題作品 2 ... 90

圖 6 學生真實擬題作品 3 ... 90

圖 7 學生真實擬題作品 4 ... 91

表 次

表 2 研究者整理的擬題分類 ... 21

表 3 南一版國一數學課程架構表 ... 44

表 4 研究者對比例問題結構的分類 ... 49

表 5 擬題教學流程表 ... 55

表 6 擬題教學簡表 ... 57

表 7 擬題作品分析表 ... 58

表 8 學生 S101 預試擬題作品分析表 ... 58

表 9 待答問題與研究方法 ... 62

表 10 比例式解題後擬題分類表 ... 69

表 11 不同能力學生 3-1 解題後擬題分類表 ... 70

表 12 連比例解題後擬題分類表 ... 73

表 13 不同能力學生 3-2 解題後擬題分類表 ... 74

表 14 不同能力學生 3-2 作品數學知識差異 ... 75

表 15 正比與反比解題後擬題分類表 ... 78

表 16 不同能力學生 3-3 解題後擬題分類表 ... 80

表 17 總複習擬題分類表 ... 85

表 18 不同能力學生 3-4 解題後擬題分類表 ... 86

表 19 不同能力學生 3-4 數學知識比例 ... 87

表 20 Kilpatrick（1978）數學解題變項分類表 ... 95

表 21 比與比例式難易擬題分類表 ... 96

表 22 不同能力學生 3-1 難易擬題分類表 ... 97

表 23 四班學生 3-1 難易擬題作品分析表 ... 99

表 24 四班不同能力學生 3-1 難易擬題作品分類 ... 100

表 25 四班不同能力學生 3-1 難易擬題作品數學知識百分比 ... 100

表 26 連比例難易擬題分類表 ... 102

表 27 高分組 3-2 難易擬題分類 ... 105

表 28 低分組 3-2 難易擬題分類 ... 107

表 29 四班學生 3-2 難易擬題作品分析表 ... 110

表 30 四班不同能力學生 3-2 難易擬題作品數學知識百分比 ... 111

表 31 正比與反比難易擬題分類表 ... 113

表 32 不同能力學生 3-3 難易擬題分類表 ... 114

表 33 四班學生 3-3 難易擬題作品分析表 ... 117

表 34 四班不同能力學生 3-3 難易擬題作品數學知識百分比 ... 118

表 35 四班學生難易擬題作品平均數學知識與題數 ... 119

表 36 不同能力學生學習動機達顯著細項 ... 122

不同能力的國一學生在擬題教學的學習表現之研究

第一章 緒論

本研究針對國中一年級學生實施擬題教學，探討不同能力的學 生和擬題教學的數學學習表現與學習動機之關係。藉由本研究的擬 題教學來加深與訂正學生的數學觀念，讓學生靈活應用所學到的數 學知識，同時使研究者觀察不同能力的學生在擬題教學中的表現與 差異。

第一節 研究背景與動機

台灣近來教改次數頻密，因教育潮流的改變，教師們需要嘗試 各種與以往不同的教學方式。而近期所盛行的教育方式，不外乎是 將以往由上而下的教學方法，改成由下而上，以學生當成是學習的 主體，而教師則是擔任「協助者」的角色，作為學生的學習夥伴。

學習內容也從單一的學科知識，增廣並融入多元的內容，教師在上 課時除了基本學科知識之外還會補充各種資訊與設計多樣的教學評 量，在讓學生學習課本的知識之餘，也能透過教師所安排的教學活 動，讓學生能夠獨立思考，主動探索與研究、具備解決問題的能力。

研究者近五年來在國中擔任數學科教師時發現，部分的國中生 在解數學問題時，有些學生會表現出公式化與策略化的特徵，但卻 容易忽略題目的限制；還有些學生會一股腦地將題目中的數字加以 運算拼湊出答案，雖然有時能夠得出正確的結果，但往往在過了一 段時間後，這些學生就會將所學過的計算方式或數學觀念忘得一乾 二淨。教師們是否應該尋找一個方法，讓學生的數學學習不是機械 性的運算，而是能夠理解題目所表達的意涵與相關的數學知識。

2015 年的國際學生評量（PISA）是台灣第四次參加，也是最近 期的一次；這次台灣學生在數學和科學表現維持優秀的水準，成績 均為全球第四。但是閱讀成績大幅滑落，從 2012 年第 8 名滑落至第 23 名。《PISA 2015 台灣學生的表現》（佘曉清與林煥祥, 2017）中有 寫到，對於15 歲數學學習低成就的學生而言，要改變他們長久以來 所累積的負面的數學學習經驗，進而能提升他們的學習成效，決不 是簡單的工作，應從改進學生的學習態度與動機著手，是教師們普 遍的共識。現今臺灣的教育風氣，幾乎都是考試領導教學的走向，

由 2015 台灣學生表現的數據中可以看出，此次 PISA 測驗仍顯示臺 灣學生的學習動機低落。研究者認為，我們教師對於這樣的現況除 了推動發展多元化的課程設計之外，在教學現場需要努力的是落實 將過去以教師為中心的教學模式轉換到以學生為中心，讓學生學習

學科知識的同時也進行實作與思考，讓學習變得活潑有趣，引發學 生學習的動力。

在國內最近期公布的例子，我國十二年國民基本教育總綱中提 到（教育部, 2018），十二年國教著重以人為本的全人教育，培養出 有能力、有意願進行終身學習的學習者，能解決生活情境中所遇到 的問題，並能因應社會與時代變遷而不斷自我精進。我國總綱所提 倡的精神與美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）在 1989 年的標準一致，談到教師不再 是「知識的傳遞者」而是「學生知識建構的協助者」，強調數學能力 的培養與數學概念的理解，從傳統以教師為中心轉向以學生為中心。

NCTM（1989）指出擬題（Problem Posing）這項啟發性的活動在數 學課程當中是不可或缺的。研究者同意上述的觀點，也認為擬題教 學可以令學生主動參與學習，成為學習的中心，學生需要靈活的運 用所學過的數學知識以及生活中的經驗來達到教學目標。

十二年國民基本教育數學領域課程綱要中提到，教師應引導學 生體驗生活情境與數學的連結過程，培養學生能以數學觀點考察周 遭事物的習慣，並培養學生觀察問題中的數學意涵、特性與關係，

養成以數學的方式，將問題表徵為數學問題再加以解決的習慣，以

提高應用數學知識的能力（教育部, 2018）。在擬題的過程當中，學 生需要提取所學過的數學知識並加以連結，同時也可以融入生活情 境或事物，建構出一個可行的數學問題。Keil（1965）、Stover（1982）

、Skinner（1991）及 Silver 與 Cai（1996）的研究結果均認為，擬 題教學對於學生的解題表現以及數學態度都有著正向的影響。因此，

擬題教學正是達到目前數學教學主要目標的有效策略之一，擬題教 學可使生活情境與數學問題連結，在數學課堂上運用擬題教學，可 強化學生對課程內容的了解，並且透過教師的引導、啟發或教導，

使學生能在具體問題情境中，以先備的數學知識為基礎，形成解決 問題所需的新數學概念，並有策略地選擇正確又有效率的解題程 序。

綜合上述，教師在數學教學上使用擬題教學，讓學生們自己來 設計與思考問題，能給予學生有啟發性的練習，而非機械式的反覆 練習，讓學生從這些數學擬題練習中，熟悉新學到的數學知識，並 能夠連結相關的數學知識。研究者以國一學生為對象，希望透過擬 題教學來改善學生的數學學習表現與學習動機，觀察不同能力學生 的擬題表現，並探討擬題教學對不同能力學生的數學學習動機之影 響。

第二節 名詞解釋

一、不同能力的學生

本研究以學生在國一上學期數學學期總成績為依據，將學生數 學能力以成績區分為高、中與低三組。國一上數學學期總成績計算 方式如下，第一、第二與第三次數學月考成績，其中第一次與第二 次數學月考成績各占總成績的百分之二十，第三次數學月考成績占 總成績的百分之三十，其餘百分之三十則是習作成績、隨堂測驗成 績以及上課表現與學習態度。本研究依據Cureton（1957）所提出的 在常態分配下最適當的比率來將學生分組，高、低分組所佔的比率 大約是27～33%，並調整各組人數使得各組數學總成績的分數差異 較明顯。例如：研究者任教班級學生共30 人，考量分數差距調整之 後為低分組 8 人（26.7%；調整分數較高之 2 人至中分組）、中分組 9 人與高分組 13 人（43.3%；中分組分數較高之 3 人併入高分組）。

二、擬題教學

本研究設計的擬題教學是讓學生在課堂中從已知的問題中創造 一個新的問題出來，並且利用所學過的數學知識，去建構出一個新 的問題。研究者先根據各章節的內容與觀念，先擬出一題例題，先 讓學生解出研究者所擬的例題之後，再自行設計出一題數學問題。

本研究的擬題教學主要分為三個階段：首先，階段一是讓學生解出 擬題卷上研究者所列出的問題，在學生解完研究者設計的例題後，

再讓學生應用學到的數學知識，自行設計出另一個數學題目。其次，

階段二是由研究者彙整學生的擬題作品後，於數學課時間與全班同 學共同討論，讓學生藉由討論的過程，學習欣賞他人的作品並給予 回饋，也能夠修正自己錯誤的觀念與加深印象；然後讓學生再次依 據該章節的內容，分別擬出兩題難易問題，其中一題是學生認為大 家都會的簡單問題，另外一題是學生覺得比較困難的問題。最後，

階段三是收集其他班級的兩題難易問題，以此來探討不同能力的學 生在不同難度擬題作品上有何差異。

三、擬題教學的學習表現

本研究的擬題教學的學習表現共分三方面，包括數學知識、學 生認為所擬作品的難易度和學習動機。首先，數學知識是指不同能 力的學生在階段一擬題教學時，自行擬出的數學問題，其擬題作品 所呈的比例數學知識。

其次，學生認為所擬作品的難易度則是指不同能力學生對於階 段二所擬出作品的難易認知，並於階段三收集其他班級所擬出的難 易作品來做比較。

最後，學習動機係指學生對數學擬題教學的學習動機。研究者

採用秦爾聰、劉致演、張克旭、段曉林（2015）所提出的數學學習 動機，包含有自我效能、主動學習策略、數學學習價值、表現目標、

成就目標與學習環境刺激等六個向度，共計有35題問題。透過這些 問題，我們可以理解學生的學習動機的組成，並且可以在各個向度 上檢驗學生學習動機的變化。

第三節 研究目的與待答問題

依據上述的研究動機，本研究的目的在實施擬題教學後，探討 不同能力的學生在擬題教學的學習表現之差異。擬題教學的學習表 現分三方面：（1）擬題作品呈現的數學知識、（2）學生認為所擬作 品的難易度和（3）學習動機。透過統計的方式與質性研究來分析不 同能力學生的擬題學習作品，探討擬題教學和不同能力學生的擬題 架構、數學知識及學習動機之關係。本研究探討的待答問題如下：

1. 不同能力學生的擬題作品所呈現的數學知識有何差異？

2. 不同能力學生的擬題作品難易度有何差異？

3. 擬題教學對不同能力學生的數學學習動機有何影響？

第二章 文獻探討

本研究主要探討不同能力學生的擬題作品所呈現的數學知識差 異與學生認為所擬作品的難易度。本章文獻探討共有五節，前三節依 序針對解題、擬題及擬題教學進行討論，接著在第四節討論不同能力 的表現差異，最後對國中數學教材進行分析。

第一節 解題與擬題的關係

Kilpatrick（2016）提到 GPS 指引車子以最短路徑到達目的地的 行為，就如同解題過程中的重組一樣。我們在解決數學問題時所發 生的事情，就是將題目的條件分解成多個部分或者是以另一種形式 進行改寫，再透過重組後達成解題的目標。研究者認為，數學解題 的重點應該是探究的過程，而不是目前台灣教育所呈現的公式化或 策略化的特徵。以下針對解題與擬題的關係，分述如下：

壹、解題的歷程

Polya（1945）在《How to solve it》一書中指出，解題的四個階

次，擬定計畫是找出未知數和已知數之間的關係；如果找不到關係，

就需要考慮一些相關的問題，找出解決問題的方法、策略及執行步 驟。再者，實行計畫是執行所擬定的解題方法。最後，回顧解答是 檢驗答案的合理性，並且鼓勵用各種不同的方法解題，或試著應用 到不同問題上。

Kilpatrick（1967）的研究採用 Polya 的研究模式，並要求八年 級學生在解題時以口述方式說出解題歷程的內在思維，將上述的四 個階段的解題過程，予以修正如下：

1. 能辨別問題的已知條件和目標，假設未知數、畫輔助圖形。

2. 能將問題重述，應用相關的解法，提出解題計畫。

3. 以連續漸進的方法，按照解題計畫進行解題。

4. 檢查答案及過程是否合理與無誤，或用其他解法得到答案。

二、Lester 的解題歷程

Lester（1980）把數學解題歷程分為六個階段：問題的覺察

（problem awareness）、問題的理解（problem comprehension）、目標 的分析（goal analysis）、計劃的發展（plan development）、計畫的執 行（plan implementation）、程序和解答的評估（procedures and solution evaluation）等，這六個階段雖然不同但彼此間卻有關聯性存在。

三、Schoenfeld 的解題歷程

Schoenfeld（1985）將解題分為六個步驟，依序為：閱讀、分析、

探索、計畫、執行與驗證；並且針對數學解題的表現提出了四個變 項：資源（resources）、捷思（heuristics）、控制 （control）和信念 系統（belief system）。Schoenfeld（1985）除了承續 Polya（1945）

的解題步驟以及重視各解題步驟的認知歷程之外，他又在其解題歷 程模式中提出「後設認知」（metacognition）以及「信念系統」（belief system）的概念。

四、Mayer 的解題歷程

Mayer（1992）從認知心理學的觀點，對數學解題歷程分為問題 表徵與問題解決兩部分，其中問題表徵可分為兩步驟：問題轉譯及 問題整合；問題解決則分為：解題計畫和監控及解題執行。Mayer 的 解題歷程以認知心理學角度來探討解題歷程，著重解題者面對問題 與解決問題的心理歷程分析，但未強調解題後的回顧。

綜合上述文獻，研究者嘗試參考 Polya（1945）所提出的四個步 驟：瞭解問題、擬定計劃、實行計劃與回顧解答，將解題歷程依序 劃分為四個步驟：1. 理解問題：解讀並了解題目的敘述及條件、2. 列 出算式：根據敘述及條件之間的關係列出算式、3. 計算結果：由列

出的算式中求出題目所求、4. 檢查及回顧：驗證答案及推展應用至 相似的題目。爾後，將 Polya（1945）的步驟，連結 Lester（1980）、

Schoenfeld（1985）以及 Mayer（1992）的歷程，列表如下。

表 1 解題歷程彙整表

理解問題 列出算式 計算結果 檢查及回顧

Polya (1945) 瞭解問題 擬定計劃 實行計劃 回顧解答

Lester (1980) 覺察 理解 分析 發展 計畫的執行 評估程序和解答 Schoenfeld

(1985） 閱讀 分析 探索 計畫 執行 驗證

Mayer (1992) 問題轉譯 問題整合 解題計畫和監控 解題執行

貳、解題與擬題的關係

Schoenfeld 與 Kilpatrick（2013）在美國的研究觀察到，探究是 科學教育的中心，而解題的概念存在於數學教育。相比之下，在 NCTM（1989）的數學課程及評量標準中，解題一詞並不出現在索 引中，而科學探究一詞則有一半的索引條目。研究者認為解題是指 由給定的條件當中，學生需運用他們所學過的知識與給定的條件結 合，進而解出題目的目標。

Cohen 與 Stover（1981）收集學生未解出的文字問題後，再讓能 解出問題的學生將文字轉譯換為自己的描述，並且在後續的教學當 中使用學生轉譯過的文字題。結果學生在這些問題上的解題表現有

所改善。

Stovanova 與 Ellerton（1996）認為擬題與解題息息相關，可擴 展重要數學概念與解題技巧；擬題有助於提升著重解題之「數學」

領域的學習成效。

Verschaffel、Greer 與 De Corte（2000）以餘數問題探討學生在 解題與擬題上的表現，結果發現解題與擬題之間存在著關聯性，但 由於資料收集僅有一次的關係，學生在解題上的表現比擬題好。

Leung（2001）提出，在僅收集一次資料的情況之下，香港與台 灣的學生在擬題上的表現均不理想。但透過教師的努力在不同內容 和不同年級的數學教學設計及使用擬題後，結果發現除了學生擬題 表現改善之外，還與學生的解題表現存在著緊密的關係。

梁淑坤（1995）認為解題者在解題時，也許會想出新的題目來，

然後在解新的題目時又能將所得結果整理出另一個題目來，形成一 個無止盡的擬題和解題活動。學生解題時，若在執行計算結果的步 驟遇到困難，會重新理解問題並列出新的算式，而擬題則能夠取代 解題過程當中「理解」的階段，而解出問題之後的「回想」又可再 擬出其他題目來。因此，學生在進行擬題的過程當中，對所擬的題

目架構與內容不斷的進行重組與分析，在擬題的同時也進行了解題 的步驟；在擬題完成後也可能會加入所學過的知識或改變題目所給 的條件，另外又擬出一道新的問題。在這不斷循環的過程當中，學 生擬出問題的同時，也解析了這道問題的架構與算式。

綜合上述對於擬題與解題之間的研究結果，擬題與解題之間的 確有一定的關聯性存在（Cohen 與 Stover, 1981；Verschaffel、Greer 與 De Corte, 2000；Leung, 2001），提升學生擬題表現的同時也能夠 提高學生的解題表現。因此，研究者認為解題的過程就是探究問題 的結構與組成，而擬題教學能夠有效的幫助學生解析問題構造與組 成為何。在擬題教學的過程當中，學生需要探究、推理及分析問題 的組成，將所學到的數學知識與生活經驗互相結合，組織出一個可 解的數學問題。再者，解題則是對一個數學問題進行分析後，根據 問題所給予的條件與關係列出算式來解出答案。所以，研究者認為 擬題與解題之間的確有密切的關聯性，在數學課程設計中加入擬題 教學，除了能夠訓練學生的思考能力之外，在學生發展新數學問題 的同時也會同步提升學生解決問題的能力。

第二節 擬題的定義與分類

最早有關的擬題文獻可以上溯到一個世紀前（Belfield, 1888），

Belfield 對擬題的描述是：給孩子抽象的範例，讓他們從範例改變成 為具體的題目。但是在早期數學擬題能力一直沒有受到足夠的重視

（Silver, 1994），其原因可能是數學的學習重「解題」活動，常見背 公式和各種解題技巧，學生對於反覆解題帶來學習數學的排斥心和 挫折感，成為不喜愛數學的可能肇因（Silver, 1994；Ellerton, 2013）。

美國數學教師協會在「學校數學課程和評鑑標準」（NCTM, 1989）

中提及加設擬題於課程中；我國教育部也提出了解題和擬題都是促 進數學概念理解的途徑 （教育部, 2008）。擬題的重要性由此可見一 斑，也因此，陸續有許多學者以不同的角度提出對擬題的定義。本 章節首先來探討國內外學者對於擬題的定義與其內涵，再接著討論 擬題的分類。

壹、擬題的定義

Silver（1994）指出，擬題是由已知的題目中再產生新的問題，

亦或是由生活經驗與情境中形成問題；Dillon（1982）則認為，解題 之後去尋找新的題目的過程即為擬題；Stovanova 和 Ellerton（1996）

認為擬題是根據過去的經驗為基礎，創造出新的數學題目。梁淑坤

（1994）將擬題定義為：「自己想出一個題目來」。在擬題的過程中，

擬題者需要利用自己的生活經驗和知識將情境、人物、事件、數字、

圖形等條件組織起來並建立關係，形成一個數學題目。綜合上述國 內外學者所述，本研究之擬題就是利用已知的數學知識與周遭生活 中的經驗或事件，來架構出一個新的數學問題。

傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分，然而數學運算或 計算並不只是機械式計算操作而已，所謂能熟練數學的運算或計算，

係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。

美國的課程與評鑑標準委員會將擬題教學加入課程當中，提出在數 學課程中讓學生藉由擬題活動來提升學生解題的興趣（NCTM，

1989）；我國教育部在國民中小學九年一貫課程綱要中也提到：教育 應提供學生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核 心數學題材，成為「帶著走」的能力。要發展形成數學問題與解決 數學問題的能力（教育部，2003）。透過擬題活動，可以提供學生討 論、思考與想像的機會，藉此提升學生的創造力，進而培養合作及 溝通表達的能力。

學生的擬題是依照教師提供之題目，用自己的數學知識或經驗，

想出一個全新的數學題目，則也代表擬題行為的特徵可能包含：個

人化、猜想與可信推理、解題之連接和題目粗糙性等四項特徵（梁 淑坤, 1994）。上述所謂的個人化，係指學生在擬題的過程中，能夠 應用本身所具備的數學知識、生活經驗、邏輯推理和想像力來擬出 一個題目。因此，每位學生所擬出的題目呈現多樣性，具備濃厚的 個人色彩。其次，學生在擬題的過程中，需要去建構題目的敘述、

猜想所擬出的題目是否符合現實情境，亦或是答案是否合理。再者，

解題之連接的特徵是由於擬題的情境不同，學生可能是以一段敘述、

一張圖片或一個數學概念來擬題，也有可能是由已經討論過的題目 範例為基礎，經過修改條件或情境來產生一個新的題目，因此與解 題有所連結。最後，學生在擬題的過程當中，可能因為所具備的數 學基礎或經驗不足，使得出現非題目、不可行或條件與資料不足的 結果。

根據上述學者們對擬題的定義，我們可以預見到學生所擬出的 題目可能不會非常的完美，但是學生能夠藉擬題教學的過程，跳脫 出以往被動的學習，主動嘗試運用所學的知識，進一步來思考並組 織出一個題目，讓學生透過擬題的過程，了解自己的困難所在，並 在教師的協助與引導之下，提高學習數學的態度與動機。本研究所 進行的擬題，是讓學生依據教師所給予的例題為基礎，經過修改條

件或情境來產生一個新的問題。

貳、擬題的分類

擬題的類型不外乎是在條件與目標上下功夫，下面列舉幾位學 者對於的擬題分類：

一、Reitman 的擬題分類

Reitman（1965）將擬題依據條件與目標的給定與否分為：條件

二、坪田耕三的擬題分類

坪田耕三（1987）對國小一至六年級學生，進行擬題教學，並 將學生所擬出的問題以擬題的主題分類為七種形式，分別是：

1. 模仿法或類題法：用已經學習過的題目進行擬題。

2. 算式法：用某一個公式為架構進行擬題。

3. 原理法：用四則運算或分數通分、約分等原理進行擬題。

4. 訂正法：題目中故意漏掉必要條件，或給予不必要條件後要求學

生訂正後進行擬題。

5. 實驗法：用實驗或具體的物品操作進行擬題。

6. 自由法：用自由的題材進行自由形式的擬題。

7. 題材法：用限定的題材進行擬題。（轉自梁淑坤, 1994）

三、Silver 的擬題分類

Silver（1994）將擬題依據出題基礎區分為兩類：從已知的數學 問題中創造出新的問題及從已知的經驗或情境中建構出新的問題。

四、Stovanova 和 Ellerton 的擬題分類

Stovanova 和 Ellerton（1996）依照擬題的情境將擬題類型分為：

結構、半結構及自由三類。首先結構類是將現有的題目做更改。其 次，半結構係指將過去所學過的數學知識、技巧或概念作連結，組 織新的題目。最後，自由是在給定的情境下自由擬題。

五、梁淑坤的擬題分類

梁淑坤（1997）將依據擬題的型式分為算式類、文字類、圖表 類、解法類、答案類及題目類等六類。

1. 算式類：根據所給予的算式進行擬題。

2. 文字類：根據所給予的文字敘述進行擬題。

3. 圖表類：根據所給予的圖表進行擬題。

4. 解法類：根據所給予的運算方法進行擬題。

5. 答案類：根據所給予的答案或計算過程進行擬題。

6. 題目類：根據所給予的題目進行擬題。

研究者整理上述的各學者之擬題分類，將擬題作品分為三大類：

開放類擬題作品、發展類擬題作品與結構類擬題作品。開放類擬題 作品的定義是：在擬題的表現中，學生擬題作品的架構並未受到教 師所擬的例題影響，學生能夠以不同的數學知識或概念，擬出一個 數學問題。而發展類擬題作品的定義是：在擬題的表現中，學生擬 題作品的架構與教師所擬之例題架構有部分相同，但學生在擬題的 作品中加入了其他數學的知識或概念，以教師的例題為基礎，額外 增加其他的數學知識或概念擬出的數學問題。最後結構類擬題作品 的定義則是：學生所擬出的數學問題是改寫自教師所擬例題，學生 僅改變例題的名詞或數字。如表 2 所示：

表 2 研究者整理的擬題分類

擬題分類 結構類 發展類 開放類

Reitman

(1965) 條件已知、目標已知

條件未知、目標已 知

條件已知、目標未 知

條件未知、

目標未知

坪田耕三

(1987) 模仿(類題)法

算式法 原理法 訂正法 實驗法 題材法

自由法

Silver (1994) 從已知的問題中創 造

從經驗或情境中建 構

Stovanova &

Ellerton (1996）

結構 半結構 自由

梁淑坤

(1997) 題目類

算式纇 文字類 圖表類

解法類 答案類

本研究的擬題教學中，所設計的擬題卷採用梁淑坤（1997）的 題目類，教師依據各章節的內容，選取算式類或題目類作為擬題例 題。讓學生先行解題之後再擬出一道相關的數學問題。

第三節 擬題教學的相關研究

在 20 世紀末時，提倡數學教育改革的專業報告呼籲，除了要讓 學生解決老師或教科書為他們提出的問題外，還要增加強調學生生 成問題的擬題活動（NCTM, 1989；NCTM, 1991），澳大利亞教育學

會（Australian Education Council）也認為學生應該要學習如何擬題，

並且試著解答出自己所擬的題目（Stovanova 與 Ellerton, 1996）。國 內外學者均有許多的研究顯示，讓學生產生或重寫數學問題，是改 善他們解決問題的方法和對數學的態度的有效方法。以下列舉出幾 份相關的研究文獻：

壹、 國外學者對擬題教學的研究

Keil（1965）研究八百多位六年級學生，由老師提供與數學 課本類似的情境，讓學生進行擬題，將學生分成實驗組與控制組，

實驗組每周有一堂擬題教學活動，而控制組只解課本題目。經過 十六週的實驗之後發現，實驗組的學生在解題能力上的表現高於 控制組的學生。實驗結果顯示，擬題教學對於學生的解題能力有 著正面的影響。

Brown 與 Walter（1983）在高等教育中進行擬題研究，讓學 生練習如何出一個題目，透過擬題了解學生的創意，並整理這些 題目編輯成《The art of problem posing》一書，其中說明如何 在教學中加入擬題活動，使學生能主動思考與學習。他們提出的 擬題策略是「What-if-not」，鼓勵學生在獲得答案後，首先接答

案，再來挑戰各種假設，想想看如果不是這個情況，那麼答案又 是如何，如此便又形成一個新的問題。

Stover（1982）讓國小六年的的學生利用已知的故事，再加 上其他訊息、編排訊息來改寫，結果發現學生經過這樣的活動後，

在解題的表現有明顯的進步。

坪田耕三（1987）對一到三年級的國小學生進行開放性的擬 題教學，鼓勵學生參考剛解完的問題再擬出新的問題，學生在找 出答案之後並不會就此結束探索，反而藉由更改題目的條件或數 據，主動地發現問題和分析問題。

Van den Brink（1987）讓國小一年級學生以故事的形式進行 擬題，學生在整個學年當中進行了許多次的擬題活動，呈現出許 多富有創意的擬題作品，充分讓學童發揮了想像力及創造力。

Winograd（1990）發現讓五年級學童藉著寫故事題，在小組 當中分享擬題和解題活動，的確能改善他們的解題表現。學生在 擬題的過程中表現出多樣化的型態，學生在小組合作學習中多以 任務導向完成擬題的學習活動，並在擬題過程中表現出數學信念。

Leung 與 Silver（1997）針對 63 位小學職前教師進行擬題研

究，研究的問題形式是從情境中產生的算術擬題。研究的目的是 研究未來小學教師的擬題表現，研究問題模式的差異（有無數字）

對他們擬題的影響，探討他們的擬題結構與他們的數學知識和創 造力之間的關係。研究結果顯示對擬題的進一步經驗可能會提高 未來小學教師的擬題程度，即使是那些數學背景比較薄弱的老師。

English（1998）對三年級學生的擬題能力研究中發現，學 生在數的概念與解題能力表現出不同的類型：在非例行性的情境 下，學生能夠擬出多樣化的題目；但在加法和減法的類型中，學 生擬的題目類型卻是傾向一致的，可能是受到教材中例行性題目 的影響，使得學生思考產生固化。

研究者從上述文獻中發現，不論是哪一種的擬題教學方式：

從原本的題目與答案中再擬出一題（Keil, 1965；Brown 與 Walter, 1983；坪田耕三, 1987）或是以故事形式進行擬題（Stover, 1982；

Van den Brink, 1987；Winograd, 1990；English, 1998），皆能夠令 學生較容易將數學學習與生活連結、能促發創意。擬題教學不僅 可用於提升一般學生的數學知識與能力，對於數學職前教師亦有 顯著的成效（Leung 與 Silver, 1997）。

二、不同能力學生的擬題表現

English（1997）以五年級與七年級不同數學能力的學生進 行擬題方面表現的研究。研究結果發現，擬題能力高的學生在平 時的數字計算能力並不高，但是在特殊題目的解題上表現優異，

他們擬出來的題目具有複雜性，表現出學生具備豐富的創造思考 能力。

研究指出，數學能力高的學生與數學能力低的學生之間存在 擬題的差異。Ellerton（1986）的研究提到，在擬題時能力較強 的學生似乎比能力較差的學生更能夠深思，這可以從學生明顯的 擬題計劃中得到證明（例如，如果他們在乘法問題中包含分數的 類型，那麼他們傾向於使用相消法則來簡化計算）。Krutetskii

（1976）給學生問題的一部分，並要求他們擬出一道問題。研究 結果顯示，高能力的學生可以從給定的信息中「看到」那些「自 然而然地跟隨」的問題，而低能力的學生即使給出了提示也不會 這樣做。Cai（1998）以 181 位美國與 223 位中國的六年級學生 進行了跨文化的比較，研究針對不同文化下的擬題和解題的認知 分析。研究結果顯示，即使中國學生在計算能力上優於美國學生，

但是在擬題表現上卻有許多相似之處。

基於以上的研究中可以發現，在擬題上表現優秀的學生並不 一定要是數學能力高的學生，對於計算或者是一些例行性的題目 進行擬題教學時，不同能力的學生在擬題教學的表現有許多相似 之處（Cai, 1998），但是在擬題的過程中，學生若能夠在擬題時 深思、發揮創意思考（Ellerton, 1986；English, 1997），或是能夠 理解題目背後的意涵，從題目敘述中衍伸出問題（Krutetskii, 1976），則這些學生所擬出的題目比起其他學生更具有特殊性與 複雜性。本研究將探討不同能力學生所擬的作品，其中所呈現的 數學知識以及學生對於所擬作品的難易認知有何差異或表徵。

三、教師在擬題教學中的任務

Skinner（1990）在《What’s your problem？》一書當中分 享了自己在擬題教學時的樂趣與經驗，並在書中整理出學生的作 品、與學生的互動以及進行擬題教學的過程。他強調上課的佈題 必須是自己擬出的，並且擬出的題目需要動腦筋才能解出來，太 簡單的題目反而達不到擬題教學的成效。此外，學生在解別人擬 的題目時，可以反問擬題者，而擬題者藉由他人的疑問，從中發 現自己擬出的題目之漏洞或缺失，有助於釐清觀念。

Borba（1994）以 200 位八年級學生做為研究對象，透過小

組的方式進行擬題，在為時九週的課程中，每個小組必須選定一 個主題，並且以這個主題擬出一個題目來，再由小組成員合作去 解他們所擬的題目。以觀察、訪談以及學生的數學日記來分析結 果後發現，許多學生認為擬題活動讓他們感受到學習的自主權，

能夠自由地選擇自己有興趣的題材。研究者也發現到，在小組擬 題的過程中，教師必須適時的引導，才能讓學生分工合作，完成 小組的任務。

擬題教學可以讓學生透過討論、互動、思考和想像的機會，

不但能夠提升學生的創造能力，進而更可以培養團體合作，以及 溝通、表達的能力（Stover, 1982；Winograd, 1990；Skinner, 1990；

Borba, 1994）。在進行擬題教學時，透過教師適時的引導與協助，

讓學生依據教師所給的條件，利用解題、擬題的循環教學，對於 學生釐清數學概念與正確計算有很大的幫助（Skinner, 1990；

Borba, 1994）。

貳、 國內擬題教學的研究

一、國小低年級的擬題教學研究

周幸儀（2002）以國小二年級學生為對象，利用合作擬題教

陳佩琦（2003）以36位國小二年級學生為研究對象，並有同 年級另一班35位學生做為對照組，挑選數與計算為主題進行擬題 教學，並有算式、圖畫及文字三種擬題類型。結果發現，透過擬 題教學，學生在擬題與解題速度及正確率都有明顯進步，圖畫與 文字類的擬題表現均優於算式類，實驗組學生的數學解題能力表 現明顯優於對照組。

康滋容（2005）以26位國小二年級學生為研究對象，並有同 年級另一班26位學生做為控制組，挑選兩位數加減為主題進行擬 題教學，比較在教材類型與非教材類型中的解題表現。結果發現，

在教材與非教材類型的解題能力、問題表徵與問題解決能力以及 擬題能力的流暢性與變通性上，實驗組學生表現都顯著優於控制

組的學生。

國內學者對低年級學生的擬題教學研究中，結果發現低年級 的學生已具備一定的擬題與解題能力，並能夠搭配自己熟悉的情 境，呈現出有趣並富有創意的擬題作品。透過擬題教學的實施，

學生在數學概念、擬題能力及解題能力的表現上，均有明顯的進 步，學生在不同類型的擬題與解題能力也都有所提升（周幸儀, 2002；陳佩琦, 2003；康滋容, 2005）。

二、國小中年級的擬題教學研究

楊惠如（2000）以40位國小三年級學生為對象，挑選了包含 有乘法、除法與分數等共7個單元進行擬題教學，並以「初試啼 聲」、「漸入佳境」及「步入軌道」來描述進行擬題教學上所經歷 的三個階段，透過這三個階段的教學，老師和學生都歷經了成長 與學習，在最後階段能夠讓學生回家進行擬題，不僅透過擬題提 升學生的學習興趣，也讓老師了解學生的日常生活，增進學生家 庭中親子間的互動。

林群雄（2004）以35位國小三年級學生為對象，透過行動研 究的方式，探討教師的專業成長與擬題教學的困難和適用的擬題 素材。結果發現，擬題教學能夠提升學生的學習興趣、動機和自

信，教師引導討論的能力也同時獲得成長。

郭賢忠（2007）以27位國小四年級學生為對象，挑選數與計 算為主題內容，進行5~6人一組的擬題教學，探討擬題教學對學 生學習產生的影響。結果發現，擬題教學提升了學生擬題能力與 學習態度之外，還能夠促進親子互動，讓家長更了解學校的課程。

對於三、四年級的學生來說，研究發現擬題教學可以提升學 生的學習興趣、動機和自信，還可以啟發學生的創造力、增進師 生關係與促進親子共學（楊惠如, 2000；林群雄, 2004；郭賢忠, 2007）。擬題教學除了提升學生數學學習態度、增加學習的信心 與興趣外，也讓學習轉變成以學生為本位，老師則擔任從旁協助 的腳色（林群雄, 2004；郭賢忠, 2007）。

三、國小高年級的擬題教學研究

徐文鈺（1996）以104位國小五年級學生為對象，將學生分 為合作擬題組、個別擬題組以及控制組三組，三組學生接受每週 兩節課，為期六週的分數課程教學。結果發現，合作擬題組對於 複雜的「部分/整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力以及 分數擬題能力的流暢性、精緻性與獨特性上，效果均優於其他兩 組的表現，但是在分數概念的增進效果上，三組並無顯著差異。

吳進寶（2005）以35位國小五年級學生為對象，挑選整數四 則混和運算進行擬題教學，每週學生對同一題目進行擬題與解題 各一次，共計八週。結果發現，學生對擬題教學的接受程度很高，

參與學習的意願也很強，對數學也產生了學習的樂趣和信心，但 學生在三步驟的四則混和運算表現較差，運算錯誤最大的因素是 學生程序性知識不夠熟練。

趙坤川（2006）以32位國小六年級學生為對象，選取小數加 減運算及大小比較進行擬題教學，每周利用晨間活動或彈性課程 三節課來進行為時九週的擬題教學。結果發現，學生大多數擬出 的可行題目為改變題目的數字及內容事物，題目呈現多樣性的發 展，但改變題目結構者較少；學生表現在解擬題階段相較高於解 題階段，也顯露出樂於學習的態度。

顏素蘭（2009）以都市31位國小五年級學生與鄉鎮12位國小 五年級原住民學生為研究對象，以文字題、算則題及開放題三種 擬題類型，以四則運算為主題進行跨文化的擬題教學比較。結果 發現，在文字題的類型上不論是原住民學生或者都市學生皆能夠 擬出可行且適中的題目，但開放題目類型對學生來說要擬出適中 的題目較不容易；學生的擬題內容則受到文化背景的不同而有所

差異，但擬題教學皆讓學生對於數學學習產生更多的興趣，也提 高了學生數學概念與思考能力。

綜合以上國內學者對國小學生實施擬題教學的結果，研究者 發現在實施擬題教學之後，不同階段能力的學生均能夠透過老師 的引導下完成擬題：低年級學生以圖畫或用口頭方式擬題（陳佩 琦, 2003；康滋容, 2005）；中年級學生則是邀請家長共學（楊惠 如, 2000；郭賢忠, 2007）；高年級學生對於制式類型的擬題（文 字、算式）大多數都能夠自行擬出可行且適中的題目（趙坤川, 2006；顏素蘭, 2009），且能夠藉由合作擬題轉換複雜的數學概念 與表徵（徐文鈺, 1996）。在教師事前詳細的準備之下，擬題教學 不僅能讓國小學生提高數學的學習動機與興趣，也使得學生藉由 擬題教學的過程釐清數學概念（徐文鈺, 1996；楊惠如, 2000；周 幸儀, 2002；陳佩琦, 2003；林群雄, 2004；康滋容, 2005；吳進寶, 2005；趙坤川, 2006；郭賢忠, 2007；顏素蘭, 2009）。

四、國中的擬題教學研究

劉芳妃（1998）以國中一年級學生為研究對象，探討學生學 習合作擬題時的情意層面和擬題能力。研究結果顯示，小組合作 擬題活動提供學生溝通學習的機會，加強學生社會化的發展，並

且在擬題的活動，學生在欣賞別人的擬題後，可進一步提出自己 的看法，從中培養出學生的批判能力。（轉自黃雲卿, 2015）

莊美蘭（2003）以國中一年級學生為研究對象，在國一下學 期對國一上學期的數學單元進行合作擬題與個別擬題的教學活 動，探討適合進行擬題活動之單元以及合作擬題與個別擬題之差 異。結果發現：負數、體積、容積與容量最容易進行擬題教學，

而在四則運算、數量關係上學生的擬題能力評分則較低；合作擬 題可以提供學生同儕互動與討論的機會，個別擬題則是能讓學生 激發個人擬題創意、增加自我成就與發現自己在數學觀念上的錯 誤。

方文鋒（2009）以兩班國中一年級學生為研究對象，一班施 以擬題教學作為實驗組，另一班則作為對照組，挑選一元一次方 程式為主題進行合作擬題教學，探討擬題教學對學生的影響以及 可能遭遇的困難。結果發現：實驗組學生在假設、列式的學習表 現以及數學的學習態度上顯著高於對照組，遭遇的問題則分別列 出了授課進度、擬題內容、小組合作關係與課後觀念記憶四類。

研究者透過上述的結果發現，對國中的學生來說合作擬題教 學可以提供學生良好的討論氛圍、增加數學觀念溝通和釐清的機

會，也能夠以合作學習的方式增進低成就學生的參與感（莊美蘭, 2003）。學生在結構題所擬出符合條件的題目高於非結構題，雖 然最後在概念保留表現上實驗組與對照組學生並無顯著差異，但 在延後測平均上實驗組高於對照組（方文鋒, 2009）。學生所呈現 的擬題作品則大多與周遭生活相關、有些則運用時事新聞或同儕 之間感興趣的話題融入（莊美蘭, 2003；方文鋒, 2009）。有關於 學習興趣、動機方面的提升與國小學生擬題教學的研究差異不大，

但在成就表現上似乎未達到相似的結果，反而在國中擬題教學對 學習成效的影響較低。

五、高中及大學的擬題教學研究

謝佩真（2004），以122位高中二年級學生為研究對象，其中 一班39位學生為實驗組，另外兩個班級為控制組，探討高二學生 排列組合擬題教學對解題表現之影響。結果發現：擬題教學對於 中分組的學生在解題表現與觀念澄清上有顯著進步，而高分組與 低分組可能分別因為進步空間不大與學生本身學習興趣偏低，因 此沒有明顯的差異。

吳欣諺（2007）以100位五專護理科學生為研究對象，挑選 點滴滴數計算與基本測量進行合作擬題教學研究，最後以各組擬

出的可行問題作為紙筆測驗內容。結果發現：擬題教學能夠幫助 學生了解醫護數學的實際應用，學生在擬題教學中會主動搜尋相 關資料，再經由文字的題組，由小組擬出問題並試著解答問題，

透過創新思維能力較強的組員去激發其他小組成員的思考。

廖經益、翁瑞峰、曾憲雄、陳明溥（2012）以36位高中二年 級重修班學生為研究對象，挑選算幾不等式及三角測量為主題，

每周有解題活動、擬題活動與擬題講評各占1小時，進行為時12 週的MIST（Mathmatic Item Structure Table）擬題教學。結果發 現：學生透過MIST模板的協助，將問題解構成情境（S）、已知 值（G）、變數（V）、特徵關鍵字（K）與解題策略的數學算式

（F）來進行擬題活動，可以提升學生的理解力、學習成就與動 機，老師也能夠透過MIST擬題教學了解學生的學習障礙，但對 於應用多個概念解題的三角測量、排列組合或繪圖操作等數學問 題，皆不宜或無法應用數學試題結構表MIST於解題與擬題教學 上。

黃雲卿（2015）以34為高職二年級學生為對象，挑選機率問 題為擬題教學的主題，進行7節課的擬題教學。結果發現：學生 皆能夠擬出可行的題目，且有98%的學生能夠成功的解出擬題問

題。大部分的學生能夠接受擬題活動，並認為擬題活動可以激發 自己的想像力，也更能夠理解數學。

梁淑坤（1995）以65位職前教師與127位在職教師為對象，

以三種擬題實驗類型（包含數值、文字敘述、包含符號）探討他 們在擬題上的表現。結果發現，職前教師與在職教師在擬題的數 量上並無差異；對於三種不同的擬題類型上，包含數值的類型相 較於其他兩類，容易為教師們所接受；文字敘述的類型中，教師 們會自行提供資料、或擬出資料不足甚至不可行的題目；包含符 號的類型中，教師們則依然傾向寫出非題目、非數學或不可行的 題目。

葉丙成、賴以威（2014）在《葉柄成的機率驚艷：當數學遇 上文學，學生考不好也會笑著離開》一書中闡述葉丙成教授在數 學機率課的擬題活動。首先先將學生進行分組，讓他們為作業出 題，題目就像關卡，讓各組之間互相攻破關卡，並設立了網站讓 學生看到每一組攻破了多少題目，則落後的組別就會有危機感，

增加競爭感也成功引起學生學習動機。（轉自黃雲卿, 2015）

研究者在高中及大學的擬題研究結果發現，若學生能夠主動 意識到擬題教學的主題對本身將來有一定的必要性時，例如：職

業需求或擬題列入試題時（梁淑坤, 1995；吳欣諺, 2007），學生 對於擬題的學習態度與興趣皆較佳。而透過適當的手段來分析簡 化題目後，對於低成就的學生來說也能夠有效的提高學習動機

（廖經益、翁瑞峰、曾憲雄、陳明溥, 2012；葉丙成、賴以威, 2014）。

根據以上各個不同學習階段、能力與背景的擬題教學研究，

研究者發現對不同的能力與背景的學生來說，皆有適合其進行擬 題教學的方式，國小所進行的擬題教學大多以四則運算為主題

（楊惠如, 2000；周幸儀, 2002；陳佩琦, 2003；林群雄, 2004；康 滋容, 2005；吳進寶, 2005；趙坤川, 2006；郭賢忠, 2007；顏素蘭, 2009），讓學生結合日常生活經驗來進行；而國中、高中的擬題 教學大多選定一個主題來進行（方文鋒, 2009；謝佩真, 2004；黃 雲卿, 2015）。此外，廖光遠、張澄清（2016）蒐集擬題教學成效 之實驗研究，其中提供情意學習 17 筆及學業成就 34 筆之效果 量，將 2,421 個樣本納入分析。其研究結果顯示，擬題教學對 學生之情意及學業成就上具有正向效應，擬題教學在情意及學業 成就的提升，皆優於傳統講述式教學法，且對於學業成就的提升 效果更佳。

本研究選取國一數學下學期第三章比例為主題進行擬題教

學，以教師所給予的例題為基礎，讓學生結合自己的學習經驗發 展出新的問題，讓學生連結生活情境與數學問題，強化學生對課 程內容與數學知識的了解，並探討不同能力學生的擬題作品與其 數學知識的表現有何關係。透過教師事前詳盡的規劃與事後的分 析，利用不同的工具與方法，一步步找出學生在數學學習中所遇 到的問題，藉由同儕的帶領、幫助與鼓勵，也都能夠達到提升學 生學習態度、動機及學習表現的成效。

第四節 不同能力表現的差異

Krutetskii（1976）的研究發現了高低能力的學生對問題結構的 看法上，在量化和質性的調查中都有差異。具體來說，研究指出了 有能力的學生具備某些能力差的學生所沒有的能力，這些能力包括：

（a）在問題敘述中區分相關信息與情節細節或不相關數據的能力、

（b）快速準確地理解問題結構的能力、（c）推論出類似的問題、（d）

能夠長時間地記住問題的正式結構。

本篇研究的目的之一是探討不同能力的學生在擬題表現上有何 差異。因此，研究者在下面列舉國外學者對不同年齡各領域中專家 與新手的表現差異之研究，試著找出差異之處。

壹、問題結構的差異

Chi（1984）以兩群 7 歲的美國兒童為對象，讓兒童對恐龍的圖 片進行分類。其中一群兒童（專家組）有著關於恐龍的大量知識，

他們可以看著恐龍圖片辨認約 10~20 種不同的名字。另一組兒童（新 手組）雖然知悉恐龍的樣子，但沒辦法準確辨認恐龍的名字。每一 位兒童都有20 張恐龍的照片並且用著簡單的問答讓他們排出他們所 想要的種類分群，並讓兒童自己解釋分類的依據。Chi 的研究結果指 出，專家兒童的分類的能力不是因為他們具有一些推理技能，而是 他們的知識已經被組織起來，並且能夠提取這個知識組織。即使在 一個簡單的知識生產任務中（描述恐龍的圖片），專家兒童的描述超 出了圖片所給出的資訊，而新手兒童的描述則是非常視覺的或可觀 察到的。

二、國中生對代數題目的認知

Silver（1979）讓 95 位具有不同語言與數學能力的八年級學生

數學能力和傾向於認知文字問題的數學結構，並在感知結構相似性 的基礎上關聯問題之間存在強烈的關係。研究結果證實，能力落後 的學生傾向於將問題相關性由情境細節決定而不是根據數學結構。

在以上的研究結果當中，研究者發現有能力的學生能夠將問題 的架構推展成類似結構的問題（Krutetskii, 1976；Silver, 1979），且 專家能夠將組織同類型的知識後加以提取應用，（Chi, 1984）。若以 此觀點來分析不同能力的學生在擬題上的表現，數學能力優秀的學 生與數學能力落後的學生，在擬出的問題結構方面或者是相關數學 知識的組織是否會呈現差異，這也是本研究想要探討的問題之一。

貳、知識基模的差異

一、計程車司機對空間及路線的認知

Chase（1983）對匹茲堡計程車司機進行了多項研究，研究對象

試包括19 條路線生成的問題：實驗室中也提供了 10 條路線和 9 個 新問題。研究結果發現，專家和新手司機在這些認知繪圖任務中（繪 製地圖、繪製井字形街道交叉點的地圖、回憶街區、在地圖上指出 街區及估計距離）都沒有任何技能差異。但在後續的實地研究當中，

專家和新手司機則表現出了差異，司機們在實驗室得到起點和目的 地，在不考慮交通狀況下，司機們被要求描述從起點到目的地的最 短路線，但若有距離較長而時間較短的路線，也被要求描述出來。

實地研究結果中， 專家的表現比新手好，專家會注意到在實驗室沒 有發現的較短路線。在研究中證實，專家對於某些不太知名的街道 之命名和識別能力比起新手強得多，專家透過了多年的經驗與訓練 而獲取更大的知識基礎。

二、大學生物理解題的知識

Chi 與 Glaser（1982）指出專家和新手解決物理問題的方式並沒 有差別，但是在問題中有多變化的物理知識的情況下，問題解決的 過程與受試者獲得的知識有相互作用。研究中通過聚類分析和直接 提問，發現專家和新手都能在一定程度上闡明其排序的依據，但專 家範疇的基礎往往是力學的主要原理，如動量守恆、能量守恆原理、

牛頓定律。初學者類別的基礎往往是文字對象，問題本身所描述的 概念，如斜面，彈簧摩擦問題。

Chi 與 Glaser（1982）表示新手難以解決問題的一個原因是他們 只激活了一個較低級別的基模，而專家則激活了更高層次的原則基 模，其中不僅包含了新手邀活的低級別的基模，但也加入更多知識 關於相關性的基模與更高層次的基模。研究結果也顯示，專家和新 手的基模內容是不同的－專家的基模包含更多的程序性知識。

從上述的研究中可以發現，專家與新手的差異在於專家具有更 豐富的基模知識（Chi 與 Glaser, 1982；Chase, 1983）。Chi 與 Glaser

（1982）研究的目標就是發現各個領域中專業知識的一般原則，而 技能表現最重要的原則是技能取決於知識基礎。在問題的分類上，

新手傾向於表面類型特徵，而專家在乎隱性或深層次的概念（Chi 與 Glaser, 1982；Chi, 1984）。

對於不同能力學生在擬題上的表現中，學生應用在擬題的相關 數學知識基模以及題目的層次上是否會有所差異？因此，對於不同 能力的學生所擬出的題目，研究者將針對不同能力學生所擬出題目 的構造進行分析，分析不同能力的學生在擬題時所使用的數學知識 以及所擬出的題目結構。

第五節 國一數學教材分析

一、國一數學課程架構

本研究以九年一貫數學能力指標（教育部, 2003）的四大主題－

數與量（N）、 代數（A）、幾何（S）與統計與機率（D）來分析南 一版國一數學教材。國一的數學教材偏重在數與量，及代數兩大主 題，且在教材的編排上並沒有加入統計與機率的部份；九年一貫數 學能力指標中，數與量在國一有 19 條細目，代數則有 18 條，幾何 和統計與機率則未列出任何細目。

接下來，再深入的探討南一版國一數學各章節，研究者發現國 一數學「整數的運算」、「分數的運算」以及「比例」這三個章節是 由國小所學過的數學知識為基礎再加深與加廣，而其餘章節依課程 內容順序有「一元一次方程式」、「二元一次聯立方程式」、「平面直 角坐標系」、「函數及其圖形」及「一元一次不等式」等五個章節，

但細看這些類似課程名稱的章節內容，研究者發現是由國小相關的 章節設計中，在類似的觀念下加深與加廣，呈現一個螺旋式的結構，

讓數學課程在國小與國中階段有適當的銜接。

舉例來說，在因數與倍數單元中，因數、倍數與質數以及公因 數與公倍數皆是國小所學過的概念，但細看內容設計仍可發現其課

程加深（例如：國中多出了最大公因數×最小公倍數=兩數乘積），而 指數律與科學記號則為整數四則運算中新加入的內容。在比的課程 內容中可發現與國小課程的重複之處為比與比值，在國小所學過與 比相關的數學知識基礎下，增加了比例式、連比例以及正比與反比 的觀念。表 3 為 106 學年度南一版國中一年級數學課程架構表。

表 3 南一版國一數學課程架構表

數學課程架構

七 年 級

上 學 期

N A S

單元一 整數的運算 1-1 數與數線 1-2 整數的加減 1-3 整數的乘除

1-4 指數律 1-5 科學記號 單元二 分數的運算

2-1 因數與倍數 2-2 最大公因數與最小公倍數

2-3 分數的加減運算 2-4 分數的乘除與四則運算

單元三 一元一次方程式 3-1 以符號列式與運算 3-2 一元一次方程式的列式

與求解

3-3 一元一次方程式的應用

下 學 期

N A S

單元一 二元一次聯立方程 式

1-1 二元一次方程式 1-2 解二元一次聯立方程式 1-3 二元一次聯立方程式的

應用