第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力國一學生的擬題作品所呈現的數學知識
Lesh（1987）以國家科學基金會之應用數學解題（AMPS）為依據，提出了 對比例推理（PR）和有理數（RN）概念的形成的看法。確認了在數學學習和解 題中發生的 5 種不同類型的表徵：（1）情境（real scripts）、（2）書寫符號（written symbols）、（3）圖片或圖表（static pictures）、（4）口語（spoken language）及（5）
可操縱的模型（manipulative models）；在本研究中，國一學生在擬題作品中共 呈現出以上 5 種的前 3 類表徵模式；分別是情境、書寫符號以及圖片或圖表。
研究者所預期的是，高分組學生的擬題作品所呈現的表徵應較為多樣與複雜，
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低分組學生的作品所呈現的表徵則較單一與簡單。
本章節研究者藉由蒐集研究者所任教班級學生的「解題後擬題卷」，經過彙 整並分析不同能力的國一學生在擬題作品中所呈現的數學知識有何差異。進行 擬題教學班級全部學生共計 30 位，但班級上其中一位女學生常因個人身體因素 請假，因此在3-1～3-3 解題後擬題卷僅蒐集到 29 位學生的擬題作品，3-4 則是 因為有另外一位男學生請假，因此僅蒐集到 28 位學生的擬題作品。
研究者實施擬題教學的單元為南一版國一下數學第三章比例，課本章節內 容為：3-1 比例式、3-2 連比例及 3-3 正比與反比共三節。解題後擬題卷總計有 四回，主題依序為上述的三個章節以及 3-4 總複習。以下研究者依章節順序分 四次進行討論。
壹、3-1 比與比例式解題後擬題分析
研究者所設計的 3-1 比例式的解題後擬題卷要求學生先選出下列的兩個題 目作答後，再擬出一道新的問題。
1. （x＋7）：（4x－2）的比值是 3
7求x。
2. 某校一年級男生人數的 4 倍和女生人數的 3 倍一樣多，若一年級人數有 154 人，則男、女生人數各為多少？
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3. 有 A、B 兩種食鹽水，A 的重量為 40g、B 的重量為 90g，已知兩者水的重量 比為 2：5，食鹽的重量比為 1：2，則 A 食鹽水的重量百分比濃度是多少？
一、全班擬題表現
下表為 3-1 比例式的解題後擬題卷之分析表，共計 29 位學生。
表 10 比例式解題後擬題分類表
放大縮小 良好合成
學生 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
1 1 1 1
2 1 1 1
3
4 1 1 1
5 1 1 1
6 1 1
7
8 1 1
9 1 1 1
10 1 1
11 1 1 1
12 1
13 1 1 1
14
15 1 1 1
16 1
17 1 1 1
18 1 1
19 1 1 1
20 1 1
21 1 1
22 1
23 1
24 1 1
25 1 1
26
27 1 1
28 1 1
29 1 1
次數統計： 14 11 5 2 5 1 0 7 11
2
38 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 2 2 1 2
與例題
雷同 有情境
整體與部分 關係的集合 呈現知識
統計 2 2 0 2 1 2 0 2
70
由上表可以看出，29 位學生的擬題作品所呈現的數學知識總計有 38 次，其 中有 4 位學生未擬出作品。出現較為頻繁的是學生在國小所學過的數學知識：
比與比值，在學生的作品當中分別出現了有 14 次與 11 次，而國中 3-1 比例式所 牽涉到數學知識為比、比值、比例式、對應關係及等比互換五類，共計達到了 37 次。研究者認為，由於該單元銜接國小所學之概念並發展相關之數學知識，
因此，學生在擬題作品所呈現的數學知識大約有 66%為比與比值。
二、不同能力學生的差異
接著研究者比較不同能力學生在 3-1 比例式的解題後擬題作品中的差異：
表 11 不同能力學生 3-1 解題後擬題分類表
放大縮小良好合成
高分組 比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係
H1 1 1 1
H2 1 1 1
H3
H4 1 1 1
H5 1 1 1
H6 1 1
H7
H8 1 1
H9 1 1
H10 1 1 1
H11 1 1 1
H12 1 1
H13 1 1 1
次數統計： 8 6 2 1 3 0 0 20 4 5
2 2 1 2 0
與例題
雷同 有情境
整體與部分 關係的集合 呈現知識
統計 2 2 0 2 1 2 0 2 2
71
不同能力學生擬題作品所呈現的數學知識具有比與比值的分別是：高分組 學生為 70%及低分組學生為 71.4%，但在比例式、對應關係與等比互換當中，
高分組學生擬題作品中呈現的比例有 30%，而低分組學生則是 14.2%。研究者 發現低分組的學生所擬出的作品，大多表現出國小所學過的數學知識架構，在 題目的敘述當中所使用到的數字也較為簡單，大多是數字 10 以下的比例；此外
，低分組學生能夠以改寫例題的方式擬出一道新的問題，例如 L7 所擬的題目將 例題 1 改寫為等式：「𝑥+𝑦
3𝑥−𝑦 = 4
3 」，高分組學生的擬題作品則較能夠結合國中所 學到數學知識，在作品當中加入比例式、對應關係與等比互換這三類的數學知 識。
研究者在 3-1 擬題教學進行時觀察發現，有些學生在解例題的過程當中花 費太多時間解題，導致進行擬題的時間不足，還來不及擬出問題就下課了；甚 至有高分組的學生不依指示完成兩題而解出全部三題。因此，研究者在後續三 個單元的擬題卷中，將例題部分的設計進行修改，原本的三題例題改為只有一
放大縮小良好合成
低分組 比 比值 比例式 對應關係等比互換 連比例 判別關係 L1
L2 1 1
L3 1 1
L4 1 1
L5
L6 1 1
L7 1 1
次數統計： 3 2 1 0 0 1 0 0 3
與例題
雷同 有情境
整體與部分 關係的集合 呈現知識
統計 0 1 2 1 0 1 2
7
72
題（計算題或情境問題）。目的是為了先讓學生熟悉該擬題卷單元的數學知識，
先請學生解出該道例題後，再擬出一道新的數學問題，並且進一步了解學生擬 題的因果關係，讓學生寫下為什麼會想到這一道問題的原因。
貳、3-2 連比例解題後擬題分析
3-2 連比例的解題後擬題卷當中，研究者在 3-2 連比例擬出的情境例題為：
「興翰調查班上同學上學的方式，發現走路上學和騎腳踏車上學的人數比為 3：
5，騎腳踏車上學的人和父母接送的人數比為 3：1；則走路上學、騎腳踏車上學 和父母接送的人數比為？」。學生需要先解出研究者所擬的例題後，再自行擬出 一道 3-2 連比例的數學問題。以下研究者彙整學生在 3-2 連比例的解題後擬題卷 進行分析：
一、全班擬題表現
共有 29 位學生作答了 3-2 連比例的解題後擬題卷，有 1 位學生缺席，問卷 當中有1 位學生並未作答。
73 表 12 連比例解題後擬題分類表
研究者進行擬題教學時，要求學生先解出一題例題，再擬出一道新的數學 問題，學生擬題作品中只有 5 位學生擬出與例題相似的作品，其餘學生所擬出
學生 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1 1
6 1 1 1
7 1 1
8 1 1 2
9 1 1 2 1
10 1 1 2 1
11 1 1 2
12 1 1 2 1
13 1 1 1
14 1 1 1
15 1 1 2 1
16 1 1 1
17 1 1 2 1
18 1 1 2 1
19 1 1 2
20 1 1 2 1
21 1 1 1
22 0 1
23 0
24 1 1 2
25 1 1 1
26 1 1 2
27 1 1 2
28 1 1
29 1 1
0
次數統計： 3 0 3 1 13 20 0 40 15
數學知識分類
呈現知識 有情境
統計
74
的題目與例題並未相同，大部分的學生都能夠獨立的擬出一道問題，其中也有 半數的學生（15 位）再擬題當中加入了情境，將數學知識與日常生活情境作結 合。此外，大多數學生所擬出的作品中，題目敘述的情境或算式皆與例題的架 構不同，有 50%的學生呈現在作品的數學知識與連比例有關係，同時也有一半 學生的擬題作品使用了連比例之外的數學知識；相較於 3-1 的擬題表現，學生 在作品中所呈現出的數學知識較為多元，能夠在作品中結合不同單元的數學知 識，但有 5 位學生在解例題時出現錯誤。
二、不同能力學生的差異
以下研究者比較不同能力的學生在 3-2 連比例的解題後擬題卷中，其作品 所呈現的數學知識有何差異。
表 13 不同能力學生 3-2 解題後擬題分類表
高分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
H1 1 1
H2 1 1 1
H3 1 1
H4 1 1 2 1
H5 1 1 1
H6 1 1 1
H7 1 1 2 1
H8 1 1 2
H9 1 1 2 1
H10 1 1 1
H11 1 1 2
H12 1 1
H13 1 1
次數統計： 1 0 1 1 7 8 0 18 7
因為有一些人不太懂這種題目 覺得這題不錯，需要動腦 覺得大家應該都會寫 不好說
因為老師要我出 難度適中
因為我覺得這題有深度而且還蠻難的 我爽
爽
因為我只會這一題 因為好玩
被逼的
因為我自己也不會算
數學知識分類 呈現知識
統計 有情境 為什麼會想出這題
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研究者透過上表比較發現，高分組 13 位學生所擬出的作品中，有 61.5%的 作品使用了 3-2 連比例的數學知識，有 50%的作品中具有其他單元的相關數學 知識，而低分組 8 為學生中有 1 位未擬出作品，有 50%的作品表現了 3-2 連比 例的數學知識，有 37.5%的作品包含其他單元的相關數學知識。
表 14 不同能力學生 3-2 作品數學知識差異
高分組學生作品 低分組學生作品
3-2 連比例 61.5% 50%
其他單元數學知識 50% 37.5%
情境 38.9% 37.5%
高分組學生的作品所呈現的的數學知識較廣，能夠以其他單元的數學知識 來擬出連比例的問題，作品中除了 3-2 連比例之外還會使用其他相關的數學知 識或融入情境。而低分組 8 位學生的擬題作品所包含的數學知識則較為單一，
作品中呈現的數學知識以 3-2 連比例為主，比較少結合其他單元的數學知識，
但還是有 3 位低分組學生能夠發揮創意，擬出具備日常生活情境的作品。
低分組 比 比值 比例式 對應關係 等比互換 連比例 判別關係
L1 1 1
L2 1 1
L3 1 1
L4 1 1 2
L5 1 1 1
L6 0 1
L7 0
L8 1 1 1
次數統計： 0 0 1 0 2 4 0 7 3
日璞逼我們的
老師上課講過，應該不難吧 因為我想出這題考同學 不知道
覺得基本 不知道
數學知識分類 呈現知識
統計 有情境 為什麼會想出這題 寫習作的比較方便
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除了蒐集學生的擬題作品之外，研究者還有請學生勾選或敘述為何會擬出 這題的原因，進一步了解學生在擬題時的構思或者是因果關係。研究者整理發 現，低分組學生所回答的原因包含有：基本題、想出題考同學、老師講過或是 無法解釋理由；高分組同學回答擬題的原因則包含有：好玩或有趣，甚至有些 同學能夠以題目難易來當作理由。基於以上資料，研究者發現不同能力學生在 擬題的認知上，高分組的學生能夠判別題目的難易程度（H6、H7、H11、H12 與 H13），知道簡單或是困難的題目中應該具備什麼樣的算式或敘述。也有學生 認為題目有趣及好玩，表現出對擬題的興趣與動機（H1、H4 與 H8）。在低分組 學生的回答中，L2 學生認為所擬出的作品為基本題型，而 L8 學生則認為所擬 出的作品是研究者上課講過的題目，因此覺得不難。
不同能力學生在 3-2 的擬題表現中，研究者觀察到高分組的學生能夠判別 所擬出作品的難易與結構（H7：我覺得這題有深度而且蠻難的），甚至能夠考慮 到其他同學能否解出所擬之作品（H11：因為有一些人不太懂這些題目），而低 分組的學生認為所擬出的作品是基本的觀念（L2：覺得基本），或是在課堂中強 調過的（L8：老師上課講過，應該不難吧）。高分組與中分組的學生的作品當中，
除情境外還會結合其他相關的數學知識在題目的敘述當中，低分組亦有三位學 生擬出具有情境的作品。