第三章 研究方法
3.1 主成分分析(Principal Component Analysis; PCA)
3.1.3 主成分分析法之計算步驟
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3.1.3 主成分分析法之計算步驟
以下即介紹主成分分析之計算步驟，假設原始資料中存有m 個原始變數與 n 個 觀測樣本，則計算步驟如下：
l 步驟一：整理原始數據變數，將其標準化。
依據原始資料構成一個矩陣X 如下：
𝑋 = $
𝒳&& ⋯ 𝒳&(
⋮ ⋱ ⋮
𝒳+& ⋯ 𝒳+(, （1）
為避免計算誤差，先將原始數據之平均值化為0 與變異數化為 1，亦可表示為 -µ，𝜎01 = (0，1) 。其標準化如下：
𝒳678 = 9:;><9̅:
: （2）
（2）式其中平均值為 𝑥̅ =∑A;BC+9:;，標準差為 𝑆6 = E∑A;BC(9+<&:;<9̅:)F。 l 步驟二：計算並求得相關係數矩陣。
依據變數間之相關係數r ，構成一個相關係數矩陣𝑅 如下：
𝑅 =
⎣⎢
⎢⎢
⎡ 1 𝑟9C9F ⋯ 𝑟9C9N 𝑟9F9C 1 ⋯ 𝑟9F9N
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑟9N9C 𝑟9N9F ⋯ 1 ⎦⎥⎥⎥⎤
（3）
（3）式其中的𝑟9N9C為變數𝑥R及變數𝑥&之相關係數，且𝑟9N9C = 𝑟9C9N。 l 步驟三：計算並求得特徵值與特徵向量
將相關係數矩陣R 代入公式如下：
|𝑅 − 𝜆𝐼| = 0 （4）
其中𝐼 為單位矩陣。
可求得特徵值為 𝜆&, 𝜆0, 𝜆Y, ⋯ , 𝜆(，且 𝜆& ≥ 𝜆0 ≥ 𝜆Y ≥ ⋯ ≥ 𝜆(。 （5）
將特徵值帶入（4）式可算得相對應之特徵向量如下：
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𝑎& = \ 𝑎&&
⋮
𝑎&(] , 𝑎0 = \ 𝑎0&
⋮
𝑎0(] , ⋯ , 𝑎R= \ 𝑎R&
⋮
𝑎((] （6）
特徵向量又稱為主成分負荷(Component Loading)，其若大於 0.75 代表相關性較 強，若介於0.50 到 0.75 間代表相關性普通，在 0.30 到 0.50 間則代表相關性較弱 (Liu et al., 2003)。林曉芳 (2014) 提出可用陡坡圖做為參考，保留特徵值大於一 知主成份個數，若第一主成份能解釋60%以上即可認定為總指標，或是前幾項主 成份能累積解釋超過70%，亦可足以代表縮減後之行為變數。
l 步驟四：求得特徵型模態 (Eigen mode)，與各模態之解釋貢獻率
因為原始變數共有 𝑚 個，故運算後可得到 𝑚 個主成份個數。為簡化大量原始 資料且用較少之變數去解釋原始資料中大部分的變異，篩選出 𝑞 個新變數取代 原先之 𝑚 個變數（q ≤ m）。這 𝑞 個主成份用來解釋原先 𝑚 個變數之變異數 比例，稱為解釋貢獻率如下所示：
𝑅0 = cCdcFd⋯dce
cCdcFd⋯dcf （7）
l 步驟五：選擇最關鍵之主成分
篩選幾個主成分之標準，則依據研究目的作為評估。若目的將原變數轉換成 彼此無相關之主成分，則主成分變數與原變數數量將一致 ;若目的為簡化資料，
則主成分變數數量將小於原變數之個數。主成分分析目標以最少數目之新成分，
使解釋原始資料變異之能力達到最有效。通常選取主成分之方式有以下兩種：
(一) 𝑅0超過某一水準：如果已篩選的主成分能解釋超過75%，則後續篩選的主成 分對變異數的解釋小於5%就不再選取。
(二) 選取特徵值大於 1 的主成份，再藉由特徵值對主成分之個數畫陡坡圖(Scree Plot)，若其斜率明顯變化時之點位即為所求。
經篩選後所保留之 𝑞 個新主成分中，特徵值最大之新成分即稱為第一主成分，
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特徵值次大者則稱為第二主成分，依此類推，即可取得對原始資料變異解釋能力 較高之 𝑞 個主成份。
若將（6）式之特徵向量代入原始資料中得線性方程式，各主成份形式如下所示。
第一主成份：𝑃𝐶&= 𝑎&&𝑥&+ 𝑎&0𝑥0+ ⋯ + 𝑎&(𝑥( 第二主成份：𝑃𝐶0 = 𝑎0&𝑥&+ 𝑎00𝑥0+ ⋯ + 𝑎0(𝑥( ⋮
第 𝑚 主成份：𝑃𝐶( = 𝑎(&𝑥&+ 𝑎(0𝑥0+ ⋯ + 𝑎((𝑥( （8）
其中𝑃𝐶6為主成分分數 (Component Score)。