「二元一次聯立方程式」文字題型錯誤

在方程式的學習相關研究中，文字題行為當代數學教育探討的重要主題 (Lewis, 1989)。小學時期，文字題型即經常出現於數學課程當中，然而文字題型 比起一般計算題型或填充題型更加複雜，且經常以生活化的題材呈現並用語言去 描述數學問題(Cummins, 1991)。時代變遷，配合當代時事，文字題型相對變化多 端，如何將文字題行轉換為數學算式，對該年齡的學生而言相對困難；除將文字 題型轉換為數學算式外，符號運算規則與數學物件學習更成為學生認知歷程的負 擔。

學生遇到方程式文字題時，首要條件為了解問題敘述與情境，接著回憶或連 結至相關問題的基礎，然後試著建構出可以表徵此問題的模式，最後根據這個或 這些表徵推論出結果（唐淑華，1989）。多數學生之所以會對此一類問題感覺到

困難，主因就在於剛開始時，如何將文字轉換成數學算式或方程式(Lewis &

Mayer , 1987)。唐淑華(1989)的研究發現，數學理解能力與文字題型的各項解題能 力，均高度相關，這顯示數理理解能力較偏向語文能力層次。此外，也另有他人 研究顯示數理能力與閱讀能力或語文能力並沒有顯著相關（范金玉，1986）。

近年來有關方程式文字題型的研究大多注重「問題表徵」(problem representation)和「問題解決」(problem solution)(Hutchinson, 1993; Maccini &

Hughes, 2000; Sebrechts, Enright, Bennett, & Martin, 1996, Maccini, Mulcahy, &

Wilson, 2007)。方程式文字題型通常會於題目陳述時詳細呈現題目中的目標與限 制。但題目中仍有其他限制經常隱藏於問題的某些情境中，所以解此類題型的難 處之一在於如何發現這些隱藏的問題與限制，並將其組織成一大架構(Sebrechts et al., 1996)。學生遇到文字題型時，必須以自己的方式去詮釋或轉譯此問題的敘述，

進而用自己的方法或語言去表達出已知的事實。

學生們亦必須認識、了解專有名詞的意義，例如:單位（台尺；公尺）或等差 數列等類似的專有名詞，在問題轉換成算式過程中，找到足夠的線索亦成為另一 個困難的來源，例如已知條件與題目所要求的答案單位不同（時速與分速）。Lewis 和 Mayer (1987)的研究中顯示數學解題歷程中，將問題轉換為內在表徵(internal representation)的過程是造成學生解題最大困擾的重要因素，特別為包含關係語句 的方程式文字題，例如:「我是你的 3 倍與我多你 3 倍」此兩句話就有所差異。即 使是現代大學生，在轉換句子成為方程式方面，也出現不少的錯誤(Clement, Lochhead, & Monk, 1981)。例如:「學生人數是老師人數的 5 倍」經常出現的錯誤 為“5S=T”，研究者稱為“逆轉(reversal)的錯誤”。

Hinsley, Hayes, & Simon(1977)曾提及解決問題強的人會以問題分類做為解題 基礎的方式。他們也發現解決問題強的學生在得到問題敘述後可以分類出問題的 形式。這是一種專家知識的特徵之一，並且相當好用(Glaser, 1991)。Mayer (1982) 發現這類問題形式出現的頻率與學生正確回憶問題有正相關。相較成功與不成功 的解題者，成功解題者會以基本結構非表面特徵來分類這些問題(Silver, 1979)。

Muth (1991)研究發現，多數學生會將題目中所有資訊視為有效訊息，這成為他們 在問題整合上的困難。

於解題方面，當他們做解題及驗算答案時，多數的解題者傾向確認明確的解 題計畫，以觀察他們解題過程的成功。Lester (1985)的研究發現解題能力較差的 人習慣使用關鍵字來做為算式或運算符號，在將問題中出現的數字做運算。通常 他們在解題的時候，也以直覺來解題，認為只有一種解題方式，並不會想到有其 他解題方式(Briars, 1983)。

許多學者研究文字題型語句表達方式發現，影響學生理解題意的變數有三，

分別為：1.表達用語、用字為明示或暗示；2.未知數與已知數的關聯性；3.題目中 條件的排列順序(De Corte, Verschaffel, & De Win, 1985; Mestre, 1988, Orosco, Swanson, O'Connor, & Lussier, 2011)。De Corte 等學者(1985)的研究發現，題目說 明越清楚，學生答題越容易。故想解題目，必須先了解題目才能進行解題。Chaiklin (1989)認為方程式文字題會有四個歷程：讀懂題目、形成內在表徵、組織問題、

列出方程式。袁媛(1983)的研究則指出認知層次的差異，在文字題型解題能力上 有顯著差異；顯示出認知層次為影響學生解文字題型的重要因素。

王如敏(2003)研究國二學生在一元一次方程式的基本概念及應用問題的解題 情形與錯誤類型。結果發現在一元一次方程式的應用問題中，程度不同的學生在 學答題表現上有顯著差異；填充題型對於中間程度的學生幫助最大，因為其引導 的陳述方式有效提升學生的解題；多數學生在解題時沒辦法達到第一層次，由此 也可見多數學生在了解題意並把文字轉換為算式此一步驟已經出現很大的困 擾；而多數學生通常解題的方式也只有一個，若使用研究者設計之解題步驟與學 生解題之策略有所衝突時，學生經常會放棄作答。

林清山與張景媛(1994)研究中發現國中學生在解方程式應用題時，在問題轉 譯、問題整合、解題計畫及監控，和解題執行四方面容易發生錯誤概念。多數學 生在學習方程式時，並未有正確的「等價概念」(the concepts of equivalent

equations)，指學習到如何運用轉換方式來解題。意即學生接受填鴨式教學，以機

械化方式解題，但並未真正了解算是真正意義。

綜合上述，我們可以了解七年級學生剛開始接觸方程式之代數領域，學習文 字題型將產生許多不同的學習困難與錯誤類型，這些困難與錯誤多數發生在如何 將文字轉譯為算式或內在表徵，所以為有效提升學生於文字題型上之解題能力，

必須先教導學生如何讀懂題目，了解問題的敘述，才能對問題產生適合的策略來 解題。

現今代數課程從國小時期即利用符號，如：甲、乙、□……等開始建立起學 生對未知數的觀念，七年級時當學生熟練正負數與分數四則運算後，開始進入以 x、y、z……做為未知數的代數領域其中方程式單元是國中學生學習代數之課程 中最主要的課題之一，包含一元一次方程式、二元一次聯立方程式以及一元二次 方程式等單元。而研究者在進行本研究方程式補救教學，首先遇到的問題是要選 擇一元一次方程式單元，或是二元一次聯立方程式之單元。

研究者經過評估後，先是針對正式綱要所編排的教科書來做為分析，意即根 據教育部 2008 年公布之國民中小學九年一貫教學學習領域課程綱要之版本，挑 選出三個版本，分別為南一版、康軒版與翰林版之教科書。在正式綱要教科書排 版之中，七年級上學期首先學習一元一次方程式單元，一年級下學期則是學習二 元一次方程式、二元一次聯立方程式單元，根據研究者的經驗，當學生學習如何 以二元的方程式來解文字題時，學生普遍會反應，用聯立方程式之列式比起一元 一次方程式之列式容易得多。

研究者根據南一版、康軒版與翰林版三個版本之教科書之中一元一次方程式 單元之文字題型進行分析，發現：此三版本之教科書之一元一次方程式問題中皆 有六成以上的問題也可以用二元之方式來列式並解答，如表 1：

表 1 教科書一元一次方程式文字題型之列式分析

南一版 康軒版 翰林版

比例 62.5％ 76.9％ 85.7％

基於以上之分析結果，研究者決定以二元一次聯立方程式之單元來進行本研 究。