二元一次聯立方程式

政府在九年一貫的課程中，曾經提及數學領域希望學生可以達到以下目標：

「掌握數、量、形的概念與關係，培養日常所需的數學素養，發展形成數學問題 與解決數學問題的能力，發展以數學做為明確表達、理性溝通工具的能力，培養 數學批判分析的能力，培養欣賞數學的能力。」然而方程式的學習在數學方面佔 有一席之地，主要是在培養解決問題。而方程式題型其中文字題型，即俗稱應用 題，文字題型解題過程與解決問題過程十分相近，都是針對問題，了解問題然後 做出判斷、做出假設、列出有效的解決方法（例如：列出方程式）、運算與求解、

最後對所求出的答案做出合理的解釋與判斷。國中課程中方程式領域即包含了，

一元一次方程式、二元一次方程式與一元二次方程式，這些單元是有其先後順序 的，因此學習二次方程式前的基礎必須先扎根於一次方程式，所以學生於一次方 程式的學習是很重要的。

本研究的「二元一次聯立方程式」單元是根據九年一貫課程綱要所列出的分 年能力指標，此單元概念內容指標（以下截自：國民中小學九年一貫課程綱要 2011

學年度實施）-數學學習領域分年能力指標-資料來源：教育部國教司，2008）： 7-a-01 能熟練符號的意義，及其代數運算。

7-a-02 能用符號算式記錄生活情境中的數學問題。

7-a-03 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出一元一 次方程式。

7-a-04 能以等量公理解一元一次方程式，並做驗算。

7-a-05 能利用移項法則來解一元一次方程式，並做驗算。

7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一 次方程式。

7-a-07 能理解二元一次聯立方程式，及其解的意義，並能由具體情境中列出 二元一次聯立方程式。

7-a-08 能熟練使用代入消去法與加減消去法解二元一次方程式的解。

7-a-14 能理解二元一次聯立方程式解的幾何意義。

上述乃是屬於九年一貫課程綱要中所述的五大主題與代數領域相關之分年 指標，內容包含：數與量數與量、幾何、統計與機率，代數、連結等。七年級的 課程已逐漸進入代數領域。因此，無論是現行的課程或者是九年一貫課程，代數 領域皆是相當重要的。

在學習二元一次聯立方程式之前，學生們在前面一元一次方程式單元會先學 習到等量公理，而二元一次聯立方程式單元在前半部份會先授予二元一次方程式 與二元一次方程式之解，接著再進入本單元核心二元一次聯立方程式，而此部份 主要有兩種解法，分別為代入消去法與加減消去法，待熟練此部份計算題後，最 後課題為應用問題，及文獻探討後會提及之文字題型，而此類題型主要是用於解 決生活中的問題。

以下呈現二元一次聯立方程式教材內容分析圖：

圖 1 二元一次聯立方程式教材內容分析圖

「代數 algebra」的解釋有二：1.藉由使用變數(variables)概括所有數來推廣算 數的初等數學來分，例如代數恆等式 x+y=y+x，其中的 x 與 y 可用來代表任何數。

2.特別指使用符號代表未知數以便由算數出等運算(elementary operations)求出他 的數值(E.Borowski, 1999)。

根據上述，代數學對於國中生來說是相當重要的。「符號」即是代數的焦點，

符號在小學時期，學生經常由較具體的符號（如○、□、…），國中時期經常使用 抽象符號（如 x、y）。以符號來代表生活中的數或量時，對於未知數與變數的情 形應提供足夠的經驗。除「符號」外，「方程式」即是代數的另一個焦點，方程 式定義如下：「方程式是判斷兩個表示式具有相同值的公式；他可以是恆等方程 式（identical equatiom，通常稱為恆等式，identity）對於任何變數值都成立；亦 可是條件方程式(conditional equation)對於變數之一定取值（即方程式的根，root) 才成立。例如：4x²-9=(2x+3)(2x-3)是一個恆等式；而 2x²-3=15 則根是 x=3 或-3 之條件方程式」。在上述定義之中提及方程式的「根（解）」是不同表徵式當中的 一種共同關係，以式子而言，即滿足的數(E.Borowski, 1999)。更詳細來說，亦即 若稱一數為方程式之根（解），即這個根（解）代入此方程式之未知數後將會滿 足此方程式，使這方程式等號兩邊均相等。例如：以之一元一次方程式 3x+4=5x-8 的根(解)為 x=6，就是說將 x 以 6 代入，可以得到 3×6+4=5×6-8=22 滿足方程式。

在數學科目的教學之中，老師常常會提到「式子的解，就是代入方程式中會 滿足方程式」；在方程式之中，學生對等號的認識，並沒有等是兩邊等量（等號 的結構性），也沒有「還有」、「共有」、「得到或就是」之概念，經常純粹是由左 而右的順序（等號的程序性）的意義。然而「等號」即為「方程式」學習相當重 要之一環，又「方程式」是「代數」之核心，所以強化「不管情境或是敘述是何 程序，等號代表的都是兩邊等量」之概念是代數領能否進展相當重要之議題（南 一出版社，2010）。要使學生透過實際情境中「對於等量之物做相同之運算仍會 等量」的觀念，以便學習等量公理，利用等量公理來解決實際情境問題中所列出 之一元一次方程式，進而以兩個不同符號表示生活中的兩數，列出二元一次聯立 方程式並進行解題。

由上述課程內容指標，可以發現學生學習這些能力與概念時，必須有順序性 的學習與發展，而數學科與生活間的溝通是密切的，然而在學習的過程之中所產 生的迷思概念更為不容忽視，「早期發現早期治療」這句話用在數學科更是貼切，

若是發現得早即可及早做出防範和導正。但學者在研究中發現，多數七年級生尚 未達到形式運思的認知發展階段，且具體運思後期組與具體運思前期組的學生無 論在文字符號概念的理解或代數文字題的理解上，均出現極大的困難（袁媛，

1983）。因此，國中生於七年級上學期進行代數文字題的教學，是否應當時值得 進一步的研究。

研究者進行觀察時期，現今學校教育採用之數學教科書四大版本，包含：南 一版、康軒版、翰林版、部編版等。而在七年級學生數學教材中與本研究「二元 一次聯立方程式」相關課程的能力發展包含「以符號代表數」、「一元一次方程 式」、「解一元一次方程式」、「等量公理」、「二元一次方程式」、「二元一次方程式 的值」、「列二元一次方程式」、「解二元一次聯立方程式」、「二元一次聯立方程式 應用問題」等單元。以下分別介紹二元一次聯立方程式能力發展過程。

Rosnick (1982)曾經提及在每一科學及社會科學的領域中，符號化的過程所扮 演的角色是非常重要的。因為若能將生活中的語言和資料編輯的更有組織，並運

用較正確的符號表現出來，便可以有效地解決真實世界的許多問題（袁媛，

1983）。學習如何以符號代表數即為學習二元一次聯立方程式的首要概念，學生 必須學習的是不受到文字符號的影響，將文字符號看成數字來進行四則運算，於 南一版國中數學課本第一次中，表示「文字符號可以代表數」。現今世界大部份 國家皆以英文字母 x、y、z 等來表示未知數。郭汾派、林光賢、林福來(1989)國 中生從算數到代數的橋樑，即為使用文字符號來代表數，文字符號代表數更是數 學由抽象到形式的一個重要過程。文字符號代表數的學習在其他科學研究亦有重 大幫助。

Rosnick (1982) 稱 代 數 文 字 題 中 所 使 用 的 文 字 符 號 叫 做 「 形 容 的 數 字 (semantically laden letters)」。在台灣的數學科教育中，文字符號的出現於七年級上 學期第三章開始，學生們也是於此時開始接觸文字符號，對學生們來說這是一個 新的概念，想當然爾，不少學生為此感到恐懼，即使小學時期已學過「某數」之 概念，但是不分學生們無法接受文字符號，此時還只能接受「某數」之概念。因 此，無論學生或教師對於文字符號的學習與教學更應細心。例如：Collis (1975) 根據學生所理解的觀念，將學校課程中相關的文字符號概念細分為六個層次(文字 符號為「可算出的值(letter evaluated)」、「可忽略而不用的(letter ignored)」、「當作 物體(letter as object)」、「當作特定的未知數(letter as generalized number)」、「當作 變數(letter as variable)」)。他認為學生因為缺乏對文字符號的了解，所在解文字 符號之問題時就會發生困難，而文字符號對學生是否存在意義是學生解問題是否 覺得困難的重要因素（袁媛，1983）。

倘若學生對文字符號有部份程度上的了解後，學生就會試著將數學算式（含 文字符號）化簡，此動作將使算式更加簡單清楚；當學生能夠清楚了解算式中文 字符號的意義，進入下一主題「一元一次方程式」相關能力的學習。而所為方程 式即：含有等號的算式，例如：a=b；又如同日本數學家大村平說過「只限於特 定值的時候，才成立的等式，即稱為方程式。當被給予方程式時，找出該方程式 程式的特定值時，即稱為解方程式（李正宏譯，1990，第 36 頁）。一般而言，方

程式可以分為兩類，其一為恆等式，另一即稱做條件等式。所為恆等式：是一個 含有變數的方程式，且將任意數同時代入方程式等號兩邊的變數時皆會相等。例 如：0x=0，2(x-1)=2x-2，(x+y)²=x²+2xy+y²。數學家萊布尼茲(Leibniz, 1646-1716) 是數學符號的偉大發明者之一。他定義符號「=」用來表式相等；符號「×」用來 代表乘。經常運用簡單的代數中「恆等式」之概念來解決問題。

代數之基本問題之一即為方程式理論，主要用來解決生活中的問題在距今約 四千年前，埃及人利用方程式的概念來解答一道數學問題：已知兩數的比是 2：1，

他們的平方和 400，求這兩數分別是多少？雖然當時不懂得使用未知數，但於解 題過程中已有此概念存在。巴比倫人也使用類似概念來解決數學問題。其中較典

他們的平方和 400，求這兩數分別是多少？雖然當時不懂得使用未知數，但於解 題過程中已有此概念存在。巴比倫人也使用類似概念來解決數學問題。其中較典